12 Предельный случай апериодического разряда конденсатора
Предельный
случай апериодического разряда
конденсатора имеет место, если
сопротивление контура 
равно
критическому 
т.
е. корни характеристического уравнения
(13-34) вещественные и равные:
(13-42)
Общее решение однородного дифференциального уравнения (13-33) дается в этом случае формулой
(13-43)
На
основании (13-32) для свободного
тока 
получим:
(13-44)
При
начальных условиях 
находим
постоянные интегрирования 
Подставляя
значения 
в
соотношения (13-43) и (13-44), получаем ток и
напряжение на емкости:
(13-45)
Определим также напряжение на индуктивности:
(13-47)
Кривые
изменения 
по
форме не отличаются от приведенных на
рис. 13-18, а и б.
13. Закон Ома в операторной форме.
Пусть
имеем некоторую ветвь
(см. рис. 1), выделенную из некоторой
сложной цепи. Замыкание ключа во внешней цепи приводит к переходному процессу, при этом начальные условия для тока в ветви и напряжения на конденсаторе в общем случае ненулевые.
Для
мгновенных значений переменных можно
записать:
.
|
Отсюда |
(7) |
,
где
-
операторное сопротивление рассматриваемого
участка цепи.
Следует
обратить внимание, что операторное
сопротивление
соответствует
комплексному сопротивлению
ветви
в цепи синусоидального тока при замене
оператора р на
.
Уравнение (2) есть математическая запись закона Ома для участка цепи с источником ЭДС в операторной форме. В соответствии с ним для ветви на рис. 1 можно нарисовать операторную схему замещения, представленную на рис. 2.
|
|
|
14 Законы Кирхгофа в операторной форме. Законы Кирхгофа в операторной форме Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма изображений токов, сходящихся в узле, равна нулю
Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма изображений ЭДС, действующих в контуре, равна алгебраической сумме изображений напряжений на пассивных элементах этого контура
При записи уравнений по второму закону Кирхгофа следует помнить о необходимости учета ненулевых начальных условий (если они имеют место). С их учетом последнее соотношение может быть переписано в развернутом виде
|
.
.
.
15. Теорема разложения
Воспользуемся операторным током и запишем его решение в виде дроби:
.
Если в операторной области решение можно представить в виде отношения двух рациональных дробей, причём (n и m – степени) и если ввести краткое обозначение этих дробей N(P) и M(P), то это отношение дробей можно представить в виде:
,
где: р1, р2, р3… рm – корни уравнения М(p) = 0; А1, А2…Ак,… Ам – постоянные интегрирования.
Постоянную интегрирования А1 можно определить из условия устремления р, к р1.
Тогда в правой части вместо суммы останется А1, которую можно определить пределом:
,
где: 
.
По аналогии для Ак получим:
.
С учётом полученного выражения для Ак, операторный ток примет вид:
.
Так
как изображению 
(табл.
3.1) соответствует оригинал 
,
формула теоремы разложения для оригинала
тока примет вид:
.
Дорешаем задачу (разд. 3.3). Числитель и знаменатель операторного тока соответственно равны:
N(p)= U0, M(p) = p(r + Lp).
Определим корни уравнения M(p) = 0:
первый корень равен: p1 =0;
второй – p2 = -r/L.
Найдем производную по р от знаменателя:
.
Решение для тока примет вид:
.