All lectures pdfs / Диф.уравнения / Лекция_15

Теорема 3. Между двумя последовательными нулями одного решения уравнения 2го порядка лежит точно один нуль другого решения того же уравнения, линейно-независимого с первым. Иными словами, нули линейно-независимых решений разделяют друг друга.

Теорема 4 (Теорема сравнения). Пусть заданы два уравнения вида (10):

y00(x) + Q(x)y(x) = 0;

z00(x) + q(x)z(x) = 0; x 2 [a; b]

и Q(x) ¸ q(x) на [a; b]. Тогда между двумя последовательными нулями решения второго уравнения найдется, по крайней мере, один нуль решения 1го уравнения. Иными словами, решение 1го уравнения колеблется быстрее.

Рассмотрим краевую задачу следующего вида:

8

>y00(x) + Q(x; ¸)y(x) = f(x); x 2 (a; b);

<

¸ некоторый, вообще говоря комплексный параметр. Поскольку, вместо уравнения 2го порядка мы можем рассмотреть систему

то краевая задача (2) есть частный случай краевой задачи из §13

(N = 2; M = 1), при этом: L = (l1; l2); R = (r1; r2). Пусть в (2): f(x) ´ 0; Q(x; ¸) = ¸¡q(x), q(x) - непрерывная функция на [a; b],

величины l1; l2; r1; r2 не зависят от ¸ и l12 + l22 =6 0, r12 + r22 6= 0. Пусть, далее

Тогда задача (2) перепишется в виде так называемой краевой задачи Штурма-Лиувилля (З.Ш.Л.):

если она при ¸ = ¸0 имеет нетривиальное решение y = y(x; ¸0), которое называется собственной функцией.

Пример. Пусть в (3): q(x) ´ 0; ® = ¯ = 0; a = 0. Пусть ¸ · 0. Тогда все решения уравнения y00 + ¸y = 0 неколеблющиеся и следовательно граничным условиям y(0) = y(b) = 0 удовлетворить не могут. Иными словами, при ¸ · 0 нет собственных значений. Пусть ¸ > 0. Тогда, общее решение уравнения будет (положим

¸ = a2)

y(x) = C1 sin(ax) + C2 cos(ax):

Отсюда:

y(0) = C2 = 0; y(b) = C1 sin(ab) = 0:

- собственные функции.

Обсудим, теперь, некоторые свойства собственных функций и собственных значений.

1) Все собственные функции, соответствующие собственному значению ¸0, пропорциональны, т.е. представимы в виде: C1y(x; ¸0). В самом деле, если y(x; ¸0) - собственная функция, то любая функция вида C1y(x; ¸0) - тоже будет удовлетворять уравнению и краевым условиям. Предположим, что нашлась собственная функция !(x; ¸0), линейно-независимая с y(x; ¸0). Тогда, любое решение

уравнения

y00(x) + [¸0 ¡ q(x)]y(x) = 0

что и требовалось доказать.

3) Все собственные значения З.Ш.Л вещественные. Допустим противное: ¸0 - комплексное собственное значение, а y(x; ¸0) - собственная функция:

= ¡(¸0 ¡ ¸0)y(x; ¸0)y(x; ¸0):

Так как ¸0 =6 ¸0, то

Zb Zb

y(x; ¸0)y(x; ¸0)dx = jy(x; ¸0)j2dx = 0;

a a

т.е.

y(x; ¸0) ´ 0:

В §13 было показано, что все собственные значения З.Ш.Л. суть нули целой аналитической функции

где y1(x; ¸); y2(x; ¸) - два линейно-независимых решения уравне-

ния

y00 + [¸ ¡ q(x)]y = 0:

Там же было указано, что если собственные значения (или что то же самое, что нули функции ¢(¸)) существуют, то их не более чем счетное число и они изолированы.

Для задачи (3) существование собственных значений можно доказать и своим путем. Приведем, также, без доказательства уточненную теорему сравнения (она используется при доказательстве следующей теоремы 5).

Теорема 40 (Уточненная теорема сравнения.) Пусть заданы два уравнения вида (10) на [a; b]:

y00 + Q(x)y = 0; z00 + q(x)z = 0

с дополнительными начальными условиями Коши:

y(a) = z(a) = sin ®; y0(a) = z0(a) = ¡ cos ®

и пусть Q(x) > q(x) на [a; b]. Тогда решение Задачи Коши y(x) имеет на [a; b] не меньше нулей, чем z(x), причем если нули z(x); y(x) перенумеровать при продвижении от a к b, то kый нуль y(x) расположен левее kго нуля z(x). Иными словами, если мы увеличим коэффициент Q(x) в (10), то все нули решения сдвинутся влево.

Теорема 5 (Теорема осцилляции). У Задачи ШтурмаЛиувилля существует бесконечно много (счетное число) собствен-

ных значений ¸0 < ¸1 < ¸2 < ::: < ¸n < ::: ( lim ¸n = 1), причем

n!1

собственные функции yn(x) = y(x; ¸n) имеют ровно n нулей на

[a; b].

Вместо З.Ш.Л. (3) будем далее рассматривать З.Ш.Л. более

ния ¸ = 0.

Определение. Функцией Грина З.Ш.Л. (30) будем называть функцию g(x; s), удовлетворяющую условиям:

1)g(x; s) непрерывна при a · x; s · b;

2)при x =6 s:

[p(x)gx0 (x; s)]x ¡ q(x)g(x; s) = 0;

3) Функция Грина g(x; s) удовлетворяет краевым условиям:

g(a; s) cos ® + gx0 (a; s) sin ® = 0; g(b; s) cos ¯ + gx0 (b; s) sin ¯ = 0;

4) при x = s gx0 (x; s) испытывает разрыв 1го рода: gx0 (s + 0; s) ¡ gx0 (s ¡ 0; s) = p(1s):

Докажем, теперь, существование и единственность функции Грина. Рассмотрим такую задачу Коши:

и найдем решение ее y1(x). Тогда очевидно (!?), что все решения уравнения (p(x)y0)0 ¡ q(x)y = 0, удовлетворяющие первому (левому) краевому условию y(a) cos ® + y0(a) sin ® = 0 выражаются в

виде: C1y1(x). Аналогично через y2(x) обозначим решение задачи

при этом все решения уравнения (p(x)y0)0¡q(x)y = 0, удовлетворяющие второму (правому) краевому условию y(b) cos ¯+y0(b) sin ¯ = 0 выражаются в виде: C2y2(x). Кроме того, эти решения (т.е. y1(x) и y2(x)) линейно-независимы, ибо в противном случае они являлись бы собственными функциями З.Ш.Л. (30), отвечающими собственному значению ¸ = 0„ а это противоречит нашему предполо-

жению. Определим функцию Грина g(x; s) так:

(

b

где ®;b ¯ - пока произвольные постоянные. При этом ясно, что усло-

b

вия 2), 3) выполнены автоматически. Если ®b = ¯, то выполнено и условие 1). Потребуем, также, выполнения условия 4):

®b fy20 (s)y1(s) ¡ y2(s)y10 (s)g = ®Wb (s) = p(1s);

т.е.

1

®b = W (s)p(s):

Здесь W (x) - определитель Вронского, причем по формуле Лиувилля:

чем и заканчивается доказательство существования. Заметим, что окончательный вид функции Грина не зависит от выбора решений