All lectures pdfs / Диф.уравнения / Лекция_9

дифференцируемое решение y = y(t). Тогда

dtd [(y(t); y(t))] = dtd £jjy(t)jj2¤ = (y0(t); y(t)) + (y(t); y0(t)) =

=(A(t)y(t) + f(t); y(t)) + (y(t); A(t)y(t) + f(t)) =

=(A(t)y(t); y(t)) + (y(t); A(t)y(t)) + (f(t); y(t)) + (y(t); f(t)) =

= (B(t)y(t); y(t)) + 2Re(f(t); y(t)); где B(t) = A(t) + A¤(t) = B¤(t),

2Re(f(t); y(t)) = (f(t); y(t)) + (f(t); y(t)). p

Поскольку jjBjj = ¸max(B¤B) = maxfj¸min(B)j; j¸max(B)jg (см. Упражнение 1 к этому параграфу),

jjBjj = jjA + A¤jj · jjAjj + jjA¤jj = 2jjAjj

(см. Упражнение 2 к этому параграфу),

2Re(f; y) · 2j(f; y)j · 2jjfjj ¢ jjyjj · jjf(t)jj2 + jjy(t)jj;

то

dtd Z2 · jjBjjZ2 + L2 + Z2 · C1(M)Z2 + N2;

где Z = jjy(t)jj, L = jjf(t)jj, C1(M) = 2M + 1.

Умножив обе части полученного неравенства на eC1t и интегрируя полученное выражение (полагая, что 0 · t · T ), в итоге получим:

или более грубое неравенство:

Используя прием из §2 с заменой ¿ = ¡t, получим аналогичную оценку и при ¡T · t · 0. Итак, при всех t 2 [¡T; T ]

Как и в §2, покажем, как с помощью полученных оценок доказать единственность решения Задачи Коши (1) (если оно существует). Предположим противное: одним и тем же векторам y0; f(t) отвечают два решения yI(t); yII(t). Их разность ¢(t) = yI(t) ¡ yII(t) есть решение следующей Задачи Коши:

(¢0 = A(t)¢; jtj · T;

(5)

¢(0) = 0:

т.е. yI(t) ´ yII(t) на отрезке [¡T; T ].

Рассмотрим теперь Задачу Коши для однородной системы (т.е.

Предположим, что Задача Коши (10) однозначно разрешима при любом векторе y0. Тогда, как и в случае линейных систем с постоянными коэффициентами, можно утверждать, что:

а) Все решения линейной системы y0 = A(t)y образуют линейное пространство.

б) Размерность этого пространства равна N, т.е. размерности пространства начальных векторов y0.

в) N линейно-независимых решений системы y0 = A(t)y можно построить, решив N раз Задачу Коши (10) и взяв в качестве начальных данных N линейно-независимых векторов y0.

Пусть y[k](t); k = 1; N - какая-либо совокупность линейно-независимых

1; N. Ясно, что как и в случае линейных систем с постоянными коэффициентами, если det Y (0) 6= 0, то и det Y (t) 6= 0, jtj · T . Точно

так же можно утверждать, что если det Y (0) = 0, то det Y (t) = 0 при всех t 2 [¡T; T ]. Очевидно, что матрицу Y (t); det Y (t) =6 0 можно назвать фундаментальной матрицей решений для системы y0 = A(t)y. Любое решение Задачи Коши (10) выражается так:

XN

y(t) = Y (t)C = Cky[k](t);

k=1

0C1 1

где C = B@. CA, при этом вектор C следующим образом выража-

CN

ется через вектор начальных данных y0: C = Y ¡1(0)y0, т.е. решение Задачи Коши (10) записывается так:

Сама же фундаментальная матрица решений системы y0 = A(t)y

есть решение следующей Задачи Коши для матричной системы

(

(7)

Как и в случае линейной системы с постоянными коэффициентами справедлива формула (типа формулы (8) из §3), связывающая det Y (t) и det Y0. В самом деле, если мы снова вычислим производную от ¢(t) = det Y (t) (см. §3), то получим:

т.е.

где ¢(0) = det Y0. Формула (8) носит название формулы Лиувилля. Она обобщает аналогичную формулу, полученную для систем с постоянными коэффициентами.

Вернемся к формулам (6). Поскольку (см. неравенство (4)):

Z = jjy(t)jj · e12 C1(M)jtjZ0;

то

Используя фундаментальную матрицу Y (t), получим формулу для решения Задачи Коши (1). Умножим систему y0 = A(t)y + f(t) слева на Y ¡1(t). В итоге получим (см. Упражнение 3 к этому параграфу):

Это еще один вариант априорной оценки для решения Задачи Коши (1).

Кратко остановимся на случае одного линейного неоднородного уравнения высокого порядка с переменными коэф-

где a (t); i = 1; N; F (t) - непрерывные функции от t на отрезке [¡T; T ]. Как и в случае линейного уравнения высокого порядка с постоянными коэффициентами, Задача Коши (11) может быть сведена к Задаче Коши вида (1):

Понятно, что если Задача Коши (100) однозначно разрешима, то однозначно разрешима Задача Коши (11) (в силу эквивалентности этих задач). При F (t) ´ 0 (т.е. f(t) ´ 0) фундаментальная

при этом любое решение уравнения Lx = 0 представимо так:

XN

x(t) = Ckxk(t):

k=1

Заметим, что вронскиан W (t) = det ©(t) =6 0, причем по формуле Лиувилля 9

=

a1(s)ds;; (12)

Упражнения к §9

1. Доказать, что для эрмитовой матрицы A:

jjAjj = maxfj¸min(A)j; j¸max(A)jg:

2. Дана система y0 = A(t)y; t 2 [0; T ] с непрерывными коэффици-

ентами на отрезке [0; T ]. Пусть ¸max(B) · 0 на отрезке [0; T ], где B = A + A¤. Доказать, что для решения Задачи Коши (10) (если

оно существует): (y0 = A(t)y; t 2 (0; T ];

y(0) = y0

справедлива априорная оценка:

Z = jjy(t)jj · Z0 = jjy0jj; t 2 (0; T ]:

3. Рассмотрим следующие задачи:

(X0(t) = A(t)X(t); jtj · T; X(0) = IN

Показать, что Y (t) = X¡1(t).

4. Пусть любое решение Задачи Коши

(y0 = By; t 2 R1; y(0) = y0

где B - матрица с постоянными коэффициентами, таково, что jjy(t)jj = jjy0jj. Показать, что это справедливо тогда и только тогда, когда