All lectures pdfs / Диф.уравнения / Лекция_1

уравнений (а, именно с этих примеров мы начнем изучение теории обыкновенных дифференциальных уравнений в нашем курсе) являются так называемые линейные уравнения с постоянными коэффициентами, т.е. когда в (1) функция F линейна по отношению к y; y0; :::; y(n):

причем коэффициенты a1; :::; an - некоторые постоянные (вещественные или комплексные). Кроме этого, мы обозначили в (2) через L дифференциальный оператор

действующий на функцию y = y(t).

Итак (2) - это линейное однородное обыкновенное дифференциальное уравнение порядка n с постоянными коэффициентами. Если вместо (2) мы рассматриваем уравнение с

где f = f(t) - известная функция от t, то уравнение (4) - линейное неоднородное.

Пример 1. Найти такие кривые на плоскости (t; y), чтобы тангенс угла наклона касательной (по отношению к оси абсцисс) в любой точке этих кривых равнялся бы ординате y этой точки, умноженной на некоторое вещественное число a (см. Рис. 1). Поскольку tg® = y0, то функция y = y(t) удовлетворяет линейному однородному дифференциальному уравнению первого порядка

y0 = ay:

Это уравнение можно переписать так

(e¡aty)0 = 0;

т.е.

e¡aty(t) = C;

y

y=y(t)

y0

t

Рис. 1:

где C - произвольная вещественная постоянная. Следовательно, уравнение кривых с нужным для нас свойством записывается в таком виде:

Определение 2. Решение дифференциального уравнения n-го порядка (1), зависящее от n произвольных постоянных

Ci; i = 1; n:

y = '(t; C1; :::; Cn)

называется общим решением этого уравнения. Следовательно в случае примера 1 формула (5) задает общее

решение уравнения y0 = ay.

Определение 3. Задачей Коши для (1) называется задача о нахождении на интервале (a; b), так называемого частного решения y = '(t) уравнения (1), удовлетворяющего n начальным условиям при t = t0; t0 2 (a; b):

'(t0) = '0; '0(t0) = '1; :::; '(n¡1)(t0) = 'n¡1;

где y0 - некоторая заданная постоянная. Легко видеть, что имея на руках формулу общего решения (5) уравнения y0 = ay, можно решить Задачу Коши (6). В самом деле, полагая в (5) t = t0, мы

получаем, что

C = y0e¡at0;

т.е. искомое решение Задачи Коши (6) имеет следующий вид:

Геометрический смысл решения Задачи Коши (6) ясен: из всех кривых, описываемых формулой (5) надо выбрать такую, которая проходит через заданную точку (t0; y0) (см. формулу (7) и Рис. 1). Заметим, что решение Задачи Коши (6) определено при всех t 2 R1, а также для любых t0 2 R1; y0 2 R1.

Наряду с одним уравнением порядка n мы будем в нашем курсе рассматривать и системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Мы не будем приводить здесь строгого определения таких систем, а ограничимся рассмотрением нескольких важных примеров систем дифференциальных уравнений.

Здесь y1;2 = y1;2(t) - неизвестные функции. Обозначим через y(t)

вектор-функцию с компонентами y1;2(t):

à !

y(t) = y1(t) : y2(t)

В таком случае (8) удобно переписать в так называемом вектор-

или

y0 = Ay;

Ã!

В общем случае систему линейных уравнений с постоянными коэффициентами для N неизвестных функций y1(t); :::; yN (t) за-

aij - элементы матрицы A, вещественные (или комплексные) числа. Покомпонентная запись системы (9) состоит, естественно, из N уравнений следующего вида:

dyi dt

Понятно, что (90) - однородная система, система же

dydt = Ay + f(t);

0f1(t) 1

где f(t) = B@. CA - заданная вектор-функция, неоднородная. fN (t)

Наконец, наряду с (9), (10) будем рассматривать так называе-

Из (110) следует, что на самом деле систему (11) можно переписать в векторном виде. Действительно, обозначим через y[k](t); k = 1; N следующие вектор-функции:

т.е. вместо (11) мы получили вновь систему вида (9).

Перейдем теперь к заключительной части этого параграфа, в которой приведем некоторые, необходимые нам в будущем, сведения из теории матриц. Пусть, как обычно, RN ¡ N-мерное вещественное евклидово пространство, CN ¡ N-мерное комплексное

пространство. Далее, пусть мы имеем вектор-функцию

0y1(t) 1

y = B@. CA; причем при любом t 2 R1 : y(t) 2 RN (или CN ).

yN (t)

Как известно, для векторов из RN (или CN ) можно ввести длину (норму):

Заметим, что мы привели формулу для скалярного произведения векторов в общем случае, когда x; y 2 CN . Напомним, что скалярное произведение векторов x; y обладает следующими очевидными свойствами:

а) (y; x) = (x; y), где черта сверху обозначает комплексное сопряжение;

б) (®y; x) = ®(y; x); ® 2 C1; в) (y; ®x) = ®(y; x); ® 2 C1; г) jjyjj = 0 , y = 0:

В нашем курсе мы часто будем пользоваться известными неравенствами Куранта:

где B = B¤ - эрмитова матрица (B = (bij); B¤ = (bji); i; j = 1; N), ¸min(B); ¸max(B) - наименьшее и наибольшее собственные числа эрмитовой матрицы B. Заметим, что все собственные числа

эрмитовой матрицы B вещественные. Докажем неравенства (13). С этой целью вспомним известное утверждение из теории матриц о том, что любая эрмитова матрица B может быть приведена к

диагональному виду с помощью некоторого унитарного преобразования U = U(B) (U¡1 = U¤): B = U¤DU; D = diag(¸1; :::; ¸N );

где ¸i = ¸i(B); i = 1; N - собственные числа матрицы B, при-

чем ¸1 = ¸min(B); ¸N = ¸max(B). Тогда (By; y) = (U¤DUy; y) = (DUy; Uy) = ¸1jz1j2 + ::: + ¸N jzN j2, где

0z1 1

z = B@. CA = Uy: zN

С другой стороны

(мы считаем, что диагональные элементы матрицы D расположены в порядке возрастания). Поскольку

jjzjj2 = (z; z) = (Uy; Uy) = (U¤Uy; y) = (y; y) = jjyjj;

то из (14) следуют неравенства (13), что и требовалось доказать. Кроме нормы (длины) вектора y 2 RN (или CN ) можно ввести, также, норму матрицы A = (aij); i; j = 1; N. В теории матриц даются определения различных норм матрицы A. Наиболее ходовыми являются: операторная и эвклидова нормы матрицы A

(последняя называется еще Фробениусовой нормой матрицы

A).

Определение 4. Операторной нормой матрицы A называют

Заметим однако, что исходя из определения 4 очень трудно вычислить норму конкретной матрицы A. С этой целью преобразуем правую часть формулы (15):

r

=max(A¤Ay; y):

jjyjj=1

В приведенной здесь цепочке преобразований мы вначале сделали замену z = jjyyjj, а потом вернулись к прежнему обозначению:

y = z. Понятно, что матрица A¤A - эрмитова и A¤A ¸ 0, поскольку эрмитова форма

(A¤Ay; y) = (Ay; Ay) = jjAyjj2 ¸ 0:

Заметим далее, что эрмитова форма (A¤Ay; y) - непрерывная функция от y, определенная на компакте jjyjj = 1. Поэтому она достигает на этом множестве своего максимального и своего минимального значений. При этом в силу (13)

В отличии от операторной нормы матрицы A Фробениусова нор-

Наконец, в конце параграфа, в качестве упражнения докажем