All lectures pdfs / Диф.уравнения / Лекция_19
.pdf
§19. Критерии устойчивости и неустойчивости.
При исследовании на устойчивость тривиального решения y0(t) ´ 0 системы y0 = f(y); f(0) = 0 широко применяется следующая, принадлежащая Ляпунову теорема о критериях устойчивости и неустойчивости по линейному приближению.
Пусть f(y) имеет в окрестности точки y = 0 непрерывные пер-
вые и вторые производные. Пусть |
|
|
|
|
1¯ |
|
|||||||
|
0 |
|
|
|
: : : |
|
|
||||||
A = f (0) = |
|
|
@y1 |
@yN |
: |
||||||||
|
: : : |
|
|
: : : |
¯ |
||||||||
|
|
|
@f1 |
|
|
@f1 |
¯ |
|
|||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
B |
|
|
|
|
|
: : : |
|
|
|
|
C¯ |
|
|
|
|
@y |
|
|
|
@y |
|
|
|
|||
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
C¯ |
|
||
|
@ |
@fN |
|
|
|
|
|
A¯ |
|
||||
|
B |
|
@fN C¯ |
|
|||||||||
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
¯ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
N C¯y=0 |
|
||||
Тогда, если Re¿j(A) < 0 ; j = 0; N, то решение y0(t) ´ 0 асимптотически устойчиво. Если же есть хотя бы один корень ¿j0 с
Re¿j0 > 0, то тривиальное решение y0(t) ´ 0 неустойчиво по Ляпунову.
Это утверждение получается как простое следствие соответствующих утверждения для почти линейного уравнения (см. §18):
y0 = Ay + '(y); jj'(y)jj · qjjyjj1+!
при jjyjj · Y (q; !; Y > 0 - некоторые постоянные). В самом деле, если f(y) имеет в некоторой окрестности точки y = 0 непрерывные первые и вторые производные, которые можно предполагать ограниченными и если эта окрестность звездна относительно точки y = 0, то в этой звездной окрестности можно воспользоваться
1
Лекция №19, НГУ, ММФ, 2010 |
2 |
формулой Тейлора
N |
@fj |
|
1 |
N |
@2fj |
|
||
Xk |
|
(0)yk + |
|
|
|
X |
|
(a)ykyl = |
fj(y) = fj(0) + |
@yk |
2 |
|
@yk@yl |
||||
=1 |
|
k;l=1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
XN
=Ajkyk + 'j(y);
k=1 |
|
|
|
|
|
где a = ½y; 0 · ½ · 1. |
|
|
|
|
|
В силу очевидного неравенства |
|
jyjj2 |
|||
¯ N |
yiyj |
¯ |
· N |
N |
|
¯X |
|
¯ |
|
X |
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
i=1 |
|
¯i;j=1 |
|
¯ |
|
|
|
имеем
j'j(y)j ·
Итак, при jjyjj · Y :
причем
|
|
¯ |
|
|
|
|
N |
|
|
|
N max |
@2fj |
|
a |
¯X |
y |
2 |
|
|||
|
|
¯ |
|
|
( |
|
¯ |
|
|
· |
2 jjyjj·Y |
¯ |
|
@yl |
|
¯ |
|
|
|||
¯@yk |
|
)¯ i=1 j jj |
|
|||||||
· constjjyjj2:
f(y) = Ay + '(y);
|
jj'(y)jj · qjjyjj2: |
||
s |
|
k |
|
N |
j'j(y)j2 |
||
|
P |
|
|
j=1
Это обстоятельство позволяет переписать уравнение y0 = f(y) в виде y0 = Ay + '(y), где '(y) при jjyjj · Y удовлетворяет оценке jj'(y)jj · qjjyjj2. В этой записи уравнение y0 = f(y) является почти линейным (! = 1 > 0), и следовательно, мы можем воспользоваться критериями устойчивости и неустойчивости из x18.
Пример. Рассмотрим систему
(y10 = sin(y1 + y2); y20 = cos(y1 ¡ y2):
Лекция №19, НГУ, ММФ, 2010 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||||
Точка равновесия y1 = a1; y2 = a2 определяется из равенств: |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
( cos(a1 |
|
|
a2) |
|
|
|
|
; |
y = |
|
|
Ãa2!; |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
sin(a1 |
|
+ a2) = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
|
|
|
|
||||||||||
т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<a1 |
¡ a2 = ¼( |
2 + n); m = 0; §1; :::; n = 0; §1; :::; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
|
|
m¼; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
8 |
1 |
+ a2 = |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
8a1 = (m + n + |
|
|
) |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
>a |
2 |
= (m |
|
|
|
n |
|
1 |
) |
¼ |
: |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Матрица A имеет вид:> |
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
¡ 2 |
2 |
|
|
¡ |
¡ |
|
¶ |
||||||||||||||||
|
¡ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
µ |
|
||||||||||||
|
|
|
cos m¼ |
|
|
|
|
|
cos m¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1)m |
( |
1)m |
|
|||||||
A = Ã |
|
sin(n + |
1 |
)¼ |
|
sin(n + |
1 |
)¼! = |
|
|
|
|
|
((¡1)n+1 (¡ |
|
1)n ; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
при этом характеристическое уравнение имеет вид |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
det(A ¡ ¸I2) = ¸2 ¡ ¸[(¡1)m + (¡1)n] + 2(¡1)m+n = 0: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
При различных n; m получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
n |
четное; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1) (m |
¡ четное; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¸2 ¡ 2¸ + 2 = 0 : ¸1 = 1 + i; ¸2 = 1 ¡ i:
(
2)
n ¡ четное; m ¡ нечетное;
p
¸2 ¡ 2 = 0 : ¸1;2 = § 2:
(
2)
n ¡ нечетное; m ¡ четное;
p
¸2 ¡ 2 = 0 : ¸1;2 = § 2: