All lectures pdfs / Диф.уравнения / Лекция_8
.pdf
§8. Система неоднородных линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Непрерывная зависимость решений от параметра.
В этом параграфе рассмотрим Задачу Коши для линейной неоднородной системы уравнений с постоянными коэф-
фициентами:
(
|
|
|
(1) |
|
y(0) = y0 2 CN (или RN ): |
||
Здесь f(t) = |
BfN (t)C |
- вектор-функция правых частей, причем |
|
0.f1(t) |
1 |
||
|
@ |
A |
|
fi(t); i = 1; N - непрерывные функции от t на отрезке [¡T; T ]; A - квадратная матрица порядка N с постоянными коэффициентами,
y = y(t) = B@. CA - вектор искомых функций,
0y10 1 yN (t)
y0 = B@. CA - вектор начальных данных.
yN0
Пусть Задача Коши (1) имеет непрерывное и непрерывнодифференцируемое решение y = y(t); t 2 [¡T; T ]. Умножим систему y0 = Ay + f(t) слева на невырожденную матрицу e¡tA.
e¡tAy0 = e¡tAAy + e¡tAf(t):
1
Лекция №8, НГУ, ММФ, 2009 |
|
|
|
|
2 |
|||
Поскольку |
|
|
|
e¡tAA = Ae¡tA |
||||
|
|
|
|
|||||
и |
|
|
|
¡e¡tA¢0 = ¡Ae¡tA; |
||||
то |
|
|
|
|||||
e¡tAy0 ¡ e¡tAAy = e¡tAy 0 = e¡tAf(t) |
||||||||
Проинтегрируем полученное |
выражение: |
|||||||
£ |
|
¤ |
|
|||||
0 |
t |
|
£ |
|
¤ |
0 |
t |
|
Z |
|
d |
|
e¡sAy(s) ds = Z e¡sAf(s)ds |
||||
|
|
|
||||||
|
ds |
|
||||||
или |
Zt e¡sAf(s)ds: |
e¡tAy(t) ¡ y(0) = |
0
Умножим обе части полученного равенства слева на невырожденную матрицу etA. В итоге получим:
Zt |
|
y(t) = etAy0 + e(t¡s)Af(s)ds: |
(2) |
0 |
|
Итак, если решение Задачи Коши (1) существует, то оно задается формулой (2). Обратно, непосредственной подстановкой легко проверить, что вектор-функция y = y(t), задаваемая формулой (2), удовлетворяет системе y0 = Ay + f(t) и начальным условиям
y(0) = y0.
Легко показать единственность построенного решения (2) Задачи Коши (1). Предположим противное, что одной и той же правой части f(t) и одним и тем же начальным данным y0 соответствует два решения: yI(t) и yII(t), т.е.
8
< dyI;II = AyI;II
:yI;IIdt (0) = y0:
Лекция №8, НГУ, ММФ, 2009 |
3 |
Тогда, разность
y(t) = yI(t) ¡ yII(t)
есть решение следующей Задачи Коши:
(y0 = Ay; t 2 [¡T; T ]; y(0) = 0;
решением которой, очевидно, является y(t) ´ 0, т.е. yI(t) ´ yII(t) на отрезке [¡T; T ].
Используя формулу (2), получим оценку для решений Задачи
Коши (1). В самом деле, имеем: |
|
|
|
|
||||||
jj |
y(t) |
jj |
= |
¯¯etAy0 |
+ |
t e(t¡s)Af(s)ds¯¯ |
· jj |
etAy0 |
+ |
|
|
|
¯¯ |
Z |
|
¯¯ |
|
jj |
|||
|
|
|
|
¯¯ |
0 |
|
¯¯ |
|
|
|
t |
|
|
|
¯¯ |
|
t |
¯¯ |
|
|
|
|
|
|
¯¯ |
|
¯¯ |
|
|
|
||
|
|
|
|
¯¯ |
|
|
¯¯ |
|
|
|
+ |
¯¯ |
|
|
e(t¡s)Af(s)ds¯¯ |
|
|
|
|
|
etA |
|
|
|
|
y0 |
|
|
+ |
¯ |
|
e(t¡s)A |
|
|
f(s) ds¯ |
|||||||||||||||
|
¯¯Z |
|
|
|
|
|
|
¯¯ |
· jj |
|
|
|
jj ¢ jj |
|
|
jj |
|
|
|
¯Z |
¯¯ |
|
|
|
¯¯ |
¢ jj |
|
jj |
|
¯ · |
|
||||||||
|
¯¯ |
0 |
|
|
|
|
|
|
¯¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
¯ |
¯¯ |
|
|
|
¯¯ |
|
|
|
|
|
|||
|
¯¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
¯¯ |
|
|
|
¯¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯¯ |
|
|
|
|
|
|
t |
¯¯A |
jj |
|
y0 |
|
|
+ |
¯ |
|
|
|
t |
|
s |
¯ A |
jjds¯ |
M0 = |
|
|
|
|
¯ |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
· |
ej |
j¢jj |
|
|
jj |
jj |
|
|
ej |
|
¡ |
j¢jj |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯Z |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
ejtj¢jjAjj |
¯ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
= ejtj¢jjAjj |
jj |
y |
|
¯ |
+ M |
|
|
|
|
¡¯ |
|
; |
|
|
|
|
|
(3) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jjAjj |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0jj |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где |
M |
0 |
max |
|
f(s) |
jj. Заметим, что (3) справедливо и в особом |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= s [ |
¡ |
T;T ] jj |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ejtj¢jjAjj ¡ 1 |
||||
|
|
|
|
A = 0 |
|
|
|
A |
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
случае |
|
|
, т.е. jj |
jj |
|
|
|
|
(надо при этом выражение |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
jj |
A |
jj |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
заменить на jtj, см. Упражнение 2 к этому параграфу). Неравенство (3) можно огрубить так:
jjy(t)jj · C1(T; M); |
(30) |
где
C1(T; M) = (1 + M)eT M ¡ 1;
Лекция №8, НГУ, ММФ, 2009 |
4 |
M = max(M0; jjy0jj; jjAjj):
При выводе оценки (30) мы воспользовались очевидным неравенством (см. Упражнение 3 к этому параграфу):
ejtj¢jjAjj ¡ 1 · eT M ¡ 1 при jtj · T; jjAjj · M: jjAjj M
Замечание 1. Если начальные данные в (1) задаются при t =
t0; t0 2 (¡T; T ), то оценки (3); |
(30) перепишутся так: |
|
|||||||||
jj |
y(t) |
jj · |
ejt¡t0j¢jjAjj |
jj |
y |
0jj |
+ M |
0 |
ejt¡t0j¢jjAjj ¡ 1 |
(4) |
|
|
|
|
|
jj |
A |
|
|||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
jj |
|
|
|
|
jjy(t)jj · C2(T; M); |
|
|
|||||||
|
|
|
|
(40) |
|||||||
где
C2(T; M) = (1 + M)e2T M ¡ 1:
Пусть вместо Задачи Коши (1) мы имеем две следующие Задачи
Коши: |
¡ |
¢ |
0 |
0 |
|
2 ¡ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||||
|
yI |
= AyI + fI(t); t [ T; T ]; |
|
|
|||||||
|
(¤) (yI(tI) = yI; tI |
|
( T; T2);¡ |
|
|
|
|||||
|
¡ |
¢ |
0 |
|
0 |
|
2 ¡ |
|
|
|
|
|
yII |
|
= AyII + fII(t); t 2 [¡T; T ]; |
|
|||||||
(¤¤) (yII(tII) = yII; tII |
( T; T ): |
|
|
|
|||||||
Если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ = yI(t) ¡ yII(t); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!(t) = fI(t) ¡ fII(t); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
± = y0I ¡ y0II; ¤ = AI ¡ AII; |
|
|
|
|
|
|
|||||
¢yII = yII(tI) ¡ yII(tII); |
|
|
|
|
|
|
|
||||
то |
(¢(tI) = ¡¢yII |
+ ±; tI;II 2 (¡T; T ):2 |
|
¡ |
|
||||||
(¤ ¤ ¤) |
|
|
|||||||||
|
¢0(t) = AI¢(t) + ¤yII(t) + !(t); t |
[ |
|
T; T ]; |
|||||||
Лекция №8, НГУ, ММФ, 2009 |
5 |
Полученные выше оценки (4); (40) позволяют сразу написать для Задачи Коши (***)
|
|
|
|
|
jj¢(t)jj · e2T jjAIjjjj¢(tI)jj+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
max |
|
|
!(s) |
|
+ ¤ |
max |
yII |
s |
)jj¾ |
e2T jjAIjj |
|
|
1 |
|
|
|||||
|
|
jj |
jj |
|
|
|
AI |
|
¡ |
|
· |
|
||||||||||
|
+ ½s2[¡T;T ] |
|
jj |
jj s2[¡T;T ] jj |
|
( |
|
|
jj |
|
|
|
||||||||||
· |
|
©jj¢ |
|
jj + jj |
jjª + |
½s2[¡T;T ] jj |
|
)jj + C2 |
|
|
jj |
|
|
¢ |
||||||||
e2T M |
|
( |
( |
|
|
|
|
)jj¤jj¾ |
||||||||||||||
|
II |
|
|
± |
|
max |
|
! s |
|
|
|
|
T; M |
|
|
|
|
|||||
¢e2T M ¡ 1; M
где M = max(M0I; M0II; jjy0Ijj; jjy0II; jjAIjj; jjAIIjj). Чтобы завершить вывод нужной нам оценки, нам осталось оценить только jj¢yIIjj. Так как
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tI |
|
|
|
|
|
|
tI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
II |
|
|
Z |
|
|
d |
|
II |
|
|
Z |
© |
|
II |
|
II |
|
|
|
II |
|
ª |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
¢y |
|
= |
|
|
ds |
y |
|
(s)ds = |
|
|
A |
|
y |
|
(s) + f |
|
(s) |
ds; |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II |
|
|
|
|
|
|
|
|
II |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jj |
¢yII |
jj · ¯ |
|
|
tI |
f |
MC2 |
(T; M) + M |
g |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
tII ; |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
ds¯ = C3(T; M) tI |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
¯t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
II |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C3(T; M) = M(1 + C2(T; M)): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Итак, окончательно получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
jj¢(t)jj = jjyI(t) ¡ yII(t)jj · K(T; M)¢ |
|
|
|
|
|
|
(5) |
|
||||||||||||||||||||||||
tI |
¡ |
tII |
|
|
|
yI |
¡ |
yII |
|
AI |
¡ |
AII |
|
|
|
|
max |
|
fI s |
) ¡ |
fII |
s ; |
|
|||||||||||||||
¢ ½j |
|
|
j + jj |
|
0 |
|
0 |
jj + jj |
|
|
|
jj + s2[¡T;T ] jj ( |
|
( )jj¾ |
|
|||||||||||||||||||||||
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(T M)e |
|
M¡ 1 |
; e2T M¡ 1¾ |
|
|||||||||||
K(T; M) = max ½e2T M ; e2T M C3(T M); C2 |
|
: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2T M |
|
|
|
|
M |
|
|
|
|||
Лекция №8, НГУ, ММФ, 2009 |
6 |
Оценка (5) означает, что решение Задачи Коши (1) непрерывным образом зависит от: начальных данных, коэффициентов матрицы A, правой части в том смысле, что малое изменение последних ведет к малому изменению самого решения.
Обычно факт, доказанный нами, формулируется в виде теоремы о непрерывной зависимости решений Задачи Коши
(1) от параметра, входящего в коэффициенты матрицы A, правой части и начальных данных. Итак, пусть мы имеем следующую За-
дачу Коши:
(y0 = A(¹)y + f(t; ¹); t 2 [¡T; T ]; ¹ 2 [¡m; m]; 0 < T; m < 1
y(t0) = y0(¹); t0 = t0(¹); t0 2 [¡T; T ]; ¹ 2 [¡m; m]: |
(6) |
Далее будем полагать, что:
1: f(t; ¹) - непрерывная вектор-функция в области
-= f(t; ¹) j jtj · T; j¹j · mg :
2.Матрица A(¹) имеет непрерывные по ¹ коэффициенты на отрезке [¡m; m].
3.Функция t0 = t0(¹) непрерывна по ¹ на отрезке [¡m; m].
4.Вектор y0(¹) имеет непрерывные по ¹ компоненты на отрезке
[¡m; m].
С учетом условий 1-4 можно утверждать, что существует такой модуль непрерывности !(»), т.е. такая функция !(») > 0 при » > 0 и !(») ! +0 при » ! +0, причем:
jjf(t; ¹1) ¡ f(t; ¹2)jj · !(j¹1 ¡ ¹2j); jjA(¹1) ¡ A(¹2)jj · !(j¹1 ¡ ¹2j); jjt0(¹1) ¡ t0(¹2)jj · !(j¹1 ¡ ¹2j); jjy0(¹1) ¡ y0(¹2)jj · !(j¹1 ¡ ¹2j);
¹1;2 2 [¡m; m]. С другой стороны, существует такая постоянная M, что
jjA(¹)jj; jjy0(¹)jj; jjf(t; ¹)jj · M;
Лекция №8, НГУ, ММФ, 2009 |
7 |
¹ 2 [¡m; m]; t 2 [¡T; T ]. После этого, обозначая через yI(t) = y(t; ¹1);
yII(t) = y(t; ¹2);
AI(t) = A(¹1); AII(t) = A(¹2); y0I(t) = y0(¹1); y0II(t) = y0(¹2); tI(t) = t0(¹1); tII(t) = t0(¹2);
мы переходим к ситуации описанной выше и, следовательно, мы можем воспользоваться неравенством (5), которое перепишется так:
y |
t; ¹ |
1) ¡ |
y t; ¹ |
2)jj · t |
max |
y |
t; ¹ |
1) ¡ |
y |
t; ¹ |
2)jj · |
|
jj ( |
|
( |
[ |
T;T ] jj |
( |
|
( |
|
||||
|
|
|
|
|
2 ¡ |
|
|
|
|
|
|
|
· K(T; M)fjt0(¹1) ¡ t0(¹2)j + jjy0(¹1) ¡ y0(¹2)jj+ +jjA(¹1) ¡ A(¹2)jj + jjf(s; ¹1) ¡ f(s; ¹2)jjg ·
· 4K(T; M)!(j¹1 ¡ ¹2j):
Последнее неравенство и означает, что решение Задачи Коши (6) непрерывно зависит от параметра ¹ (если выполнены условия 1-4). Такое утверждение носит название теоремы о непрерывной зависимости решений Задачи Коши (6) от параметра ¹. Заметим, что поскольку
jjy(t1; ¹) ¡ y(t2; ¹)jj · C3(T; M)jt1 ¡ t2j · K(T; M)jt1 ¡ t2j
при t1;2 2 [¡T; T ]; ¹ 2 [¡m; m], то справедлива и более общая оценка
jjy(t1; ¹1) ¡ y(t2; ¹2)jj · K(T; M) fjt1 ¡ t2j + 4!(j¹1 ¡ ¹2j)g ; t1;2 2 [¡T; T ]; ¹1;2 2 [¡m; m]:
Последнее неравенство показывает, что вектор-функция y = y(t; ¹), являющаяся решением Задачи Коши (6), будет непрерывной функцией по совокупности переменных t; ¹ в области -. Поскольку
dy(t; ¹) = A(¹)y(t; ¹) + f(t; ¹); dt
Лекция №8, НГУ, ММФ, 2009
то вектор-функция dy(t; ¹) тоже непрерывна по совокупности пе- dt
ременных t; ¹ в области -. Понятно, также, что все вышеприведенное почти дословно можно повторить и для случая, когда ¹ - векторный параметр, т.е. ¹ = (¹1; :::; ¹m).
Лекция №8, НГУ, ММФ, 2009 |
9 |
1. Докажите, что: ¯¯
¯¯¯¯Zt
¯¯
¯¯
¯¯0
Упражнения к §8
f(s)ds¯¯ |
|
¯ |
|
t |
f(s) ds¯ |
: |
|
¯¯ |
· |
¯Z |
jj |
jj |
¯ |
|
|
¯¯ |
|
¯ |
0 |
|
|
¯ |
|
¯¯ |
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
¯¯ |
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
¯¯ |
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
Здесь f = f(s) - непрерывная на отрезке [¡T; T ]; 0 < T < 1 вектор-функция.
2. Покажите, что:
¯ |
|
t |
ejt¡sj¢jjAjjds¯ |
|
8 |
e t |
|
Ajj |
|
|
1 |
|
||
|
|
|
j |
|
j¢jj |
|
¡ |
|
; jjAjj 6= 0; |
|||||
|
|
= |
|
|
A |
jj |
|
|||||||
¯Z |
|
¯ |
|
> |
|
|
|
jj |
|
|
||||
¯ |
|
|
¯ |
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
0 |
|
¯ |
|
: |
|
; |
A |
|
= 0: |
||||
¯ |
|
¯ |
|
< t |
jj |
|||||||||
¯ |
|
|
¯ |
|
|
j j |
|
|
jj |
|
|
|
|
|
3. Докажите, что:
ejtj¢jjAjj ¡ 1 · etM ¡ 1 при jtj · T; jjAjj · M: jjAjj M
4.Докажите, что Y (t) = etA непрерывно зависит от матрицы A.
Доказательство. Рассмотрим следующие Задачи Коши:
( ¡yI;II¢0 = AI;IIyI;II; t 2 [¡T; T ];
|
yI;II(0) = y0: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пусть ¢(t) = yI(t) ¡ yII(t); ¤ = AI ¡ AII. Тогда: |
|
|||||||||||
(+) ( |
¢0(t) = AI¢(t) + ¤yII(t); t |
|
[ T; T ]; |
|||||||||
¢(0) = 0: |
|
|
|
|
|
2 |
¡ |
|
||||
Из оценки (3) следует: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
¢(t) |
jj · |
M |
|
ejtj¢jjAIjj ¡ 1 |
· |
M |
|
eT M ¡ 1 |
; |
|||
|
jjAIjj |
|
||||||||||
jj |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
M |
|
|||
Лекция №8, НГУ, ММФ, 2009 |
10 |
где M = max(jjAIjj; jjAIIjj), M0 = max jj¤yII(s)jj.
s2[¡T;T ]
Поскольку
jj¤yII(s)jj · jj¤jj¢jjyII(s)jj · jj¤jj¢ejsj¢jjAIIjj ¢jjy0jj · jj¤jj¢eT M ¢jjy0jj;
то
jj¢(t)jj · jj¤jjeT M eT M ¡ 1jjy0jj = jj¤jjC(T; M)jjy0jj: M
С другой стороны
|
|
|
|
|
³ |
|
|
´ |
|
|
|
|
|
|
|
¢(t) = etAI ¡ etAII |
y0; |
|
|||||
т.е. |
|
|
|
|
¯¯³etAI ¡ etAII ´y0 |
¯¯ |
|
|
|||
|
etAI |
|
etAII |
= sup |
|
¤ C(T; M); |
|||||
|
¡ |
|
¯¯ |
|
|||||||
¯¯ |
|
|
¯¯ |
6 |
¯¯ |
jj |
jj |
|
¯¯ |
|
|
¯¯ |
|
|
¯¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
что и¯¯требовалось¯¯доказать.¤ |
|
|
|
|
|
|
|||||
5. Пусть y = y(t; ¹) - решение Задачи Коши:
(y0 = A(¹)y + f(t; ¹); t 2 [¡T; T ]; 0 < T < 1; ¹ 2 [¡m; m]; y(0; ¹) = y0(¹):
Предположим, что:
а) f(t; ¹) - непрерывная и непрерывно-дифференцируемая по ¹ вектор-функция в области -.
б) Матрица A(¹) имеет непрерывные и непрерывно-дифференцируемые по ¹ коэффициенты на отрезке [¡m; m].
в) Вектор y0(¹) имеет непрерывные и непрерывно-дифференцируемые по ¹ компоненты на отрезке [¡m; m].
Доказать, что вектор-функция Z(t; ¹) = @y(t; ¹) является непре-
@¹
рывной по совокупности переменных t; ¹ в области -.