Егупова МВ_пратико_ориентированное обучение математике в школе как предмет методической подготовки учителя

Математическая модель, согласно математическому энциклопеди-

ческому словарю, это «приближенное описание какого-либо класса явле-

ний внешнего мира, выраженное с помощью математической символики»

[180, с.343]. Как известно, построение математической модели опирается на систему предположений (гипотез): о форме рассматриваемого реально-

го тела, о пропорциональности заданных величин и т.д. Выбор гипотезы – один из наиболее важных этапов построения модели. Именно это опреде-

ляет степень ее адекватности реальному объекту. В истории науки имеется немало примеров неправильных гипотез. Например, широко известны многочисленные гипотезы о форме Земли. Как следствие, при анализе ма-

тематических моделей, построенных на основании таких гипотез, были сделаны неверные выводы.

Общий подход к построению математической модели изучаемого объекта описан А.Д. Мышкисом [207] и состоит в выделении тех его ха-

рактеристик, которые с одной стороны содержат более или менее полную информацию об объекте, а с другой допускают математическую формали-

зацию. Математическая формализация означает, что выделенным характе-

ристикам объекта возможно поставить в соответствие подходящие матема-

тические понятия. Тогда обнаруженные и предполагаемые связи между отдельными частями изучаемого объекта могут быть записаны с помощью математических отношений. В результате получается математическое опи-

сание изучаемого объекта, т.е. его математическая модель. С одной из древнейших математических моделей, геометрией Евклида, учащиеся и знакомятся в школе. Прямые, плоскости, фигуры и т.п. являются моделями окружающего нас пространства.

Как показал проведенный нами анализ научных исследований

(А.А. Самарский, А.П. Михайлов, И.И. Блехман, А.Д. Мышкис, А.Н. Тихо-

нов, Д.П. Костомаров, Н.Н. Моисеев и др.), для решения прикладных задач необходимо не только широкое знание математики и ее методов, но и пред-

ставление о том, как эти методы могут быть использованы в других науках.

221

А.Д. Мышкис приводит трехэтапную схему применения метода ма-

тематического моделирования [207, с.9]. Сначала уточняется суть пробле-

мы, сформулированной на языке другой науки – строится содержательная модель объекта. Затем эта содержательная модель переводится на фор-

мальный математический язык (первый этап). Далее построенная матема-

тическая модель изучается, по сути, решается полученная математическая задача (второй этап). Результат решения снова переводится на язык той науки, на котором была сформулирована исходная проблема (третий этап).

А.Н. Тихонов разделяет процесс математического моделирования на четыре основных этапа: первый – установление законов, связывающих объекты модели; второй – решение математических задач внутри постро-

енной модели; третий – согласование результатов наблюдений или изме-

рений параметров реальных объектов с теоретическим исследованием по-

строенной модели; четвертый – уточнение и модернизация модели на ос-

новании результатов, полученных на третьем этапе [180, с. 343]. Очевидно,

приведенные подходы не противоречат друг другу.

Процесс построения математической модели связан с применением

рациональных рассуждений. В прикладной математике «рациональное рассуждение» И.И. Блехман понимает следующим образом: «такое рассу-

ждение может включать физические соображения, ссылки на интуицию,

различные более или менее правдоподобные упрощения, решения матема-

тических задач и ссылки на теоремы на чисто дедуктивном уровне, вычис-

ления...» [30, с. 93].

Известно, что математическое моделирование является ведущим ме-

тодом изучения окружающей действительности и играет фундаменталь-

ную роль в многочисленных приложениях математики, выступая генерато-

ром наиболее прогрессивных направлений в развитии науки и техники.

Математическое абстрагирование естественнонаучной, инженерной, эко-

номической, социальной проблемы позволяет глубже проникнуть в суть рассматриваемого явления, чем непосредственное наблюдение или экспе-

222

риментальное исследование. Как указывает Н.Н. Моисеев, «наука только и может иметь дело с моделями, с приближенным описанием действитель-

ности, отражающими те или иные стороны реальной действительности.

Математическая модель – это лишь специальный способ описания, позво-

ляющий для анализа использовать формально-логический аппарат матема-

тики. Изучение математических моделей – это основной метод познания,

используемый в естественных науках» [199, с. 5].

Проведенный анализ показывает, что учитель может через знакомст-

во с основами метода математического моделирования показать школьни-

кам на доступном для них уровне значение математики для других наук и проиллюстрировать влияние проблем, возникающих в различных сферах практической деятельности, на развитие самой математики, на расширение арсенала математических моделей. Подбор доступных для понимания учащимися содержательных примеров подобной математической деятель-

ности в естествознании, технике и т.п. затруднен из-за ограниченности имеющихся у них сведений в этих областях. Частично решить эту пробле-

му учитель может, подбирая примеры из обыденной жизни. Ведь решени-

ем прикладных задач занимаются не только специалисты-математики. Мо-

дели и моделирование лежат в основе познавательных процессов человека.

Применение математических методов для изучения закономерностей ре-

альной действительности, для изменения окружающего мира сводится, по существу, к исследованию математических моделей.

Отметим, что математика применяется не непосредственно к реаль-

ному объекту, а к его математической модели. При изучении реального объекта, выявляются его свойства, которые могут быть описаны на языке той или иной науки. Таким образом, утверждает А.Д. Мышкис [207, с. 8],

строится механическая, или физическая, или биологическая, или социаль-

ная модель объекта. Это его содержательная модель – собственно при-

кладная задача, в которой подобран упрощенный объект, который с одной стороны отражает основные свойства исходного объекта, с другой стороны

223

допускает достаточно простое математическое описание. При построении содержательной модели не учитывается ряд несущественных для достиже-

ния заданной цели свойств реального объекта.

На основе сказанного составим такое представление о прикладной задаче, поставленной в науке: прикладная задача возникает при изучении реального объекта с заранее заданной целью, при этом способ достиже-

ния этой цели может быть неизвестен. Прикладная задача является со-

держательной моделью реального объекта, отражающая отдельные его характеристики. В прикладной задаче выделены исходные данные и сфор-

мулировано то, что необходимо найти, установить согласно цели иссле-

дования этого объекта.

В качестве резюме, выделим особенности применения метода мате-

матического моделирования, которые следуют из проведенного анализа и могут быть учтены при обучении школьников приложениям математики.

Будем руководствоваться следующими выводами, полученными нами на основе анализа работ математиков и педагогов, упомянутых выше. Перед непосредственным построением математической модели объекта, т.е. под-

бором математического аппарата для его исследования должен быть осу-

ществлен переход от реальной ситуации к ее содержательной модели, а

также сформулирована совокупность гипотез о свойствах (физических,

химических, биологических и т.д.) объектов содержательной модели, их взаимодействии между собой и с окружающей средой, т.е. построена их концептуальная модель. Выбранная математическая модель должна удов-

летворять ряду требований. Это требования адекватности (соответствия математической модели реальному объекту); точности; достаточной про-

стоты; полноты; продуктивности (доступности исходных данных – в спра-

вочниках или эмпирическим путем). Рядом авторов выделены принципы построения моделей, их типы, требования к математической модели [181], [207], [266], [314]. Проанализировав результаты этих исследований, мы ре-

зюмировали ряд особенностей метода математического моделирования,

224

которые могут быть использованы учителем при обучении школьников практическим приложениям математики.

1. Математика применяется не к реальному объекту, а к его содержа-

тельной модели.

2. У одного объекта может быть несколько математических моделей.

Создаваемая модель должна отражать те свойства реального объекта, ко-

торые входят в проблему его исследования. Для исследования реального объекта могут быть использованы математические модели различных ти-

пов. Для исследования различных объектов может быть использована одна модель. (Принцип множественности моделей)

3. Соответствие математической модели реальному объекту относи-

тельно и имеет рамки применимости. (Требование адекватности модели реальному объекту)

4. Если выбранные математические средства позволяют провести ис-

следование реального объекта в приемлемые сроки и экономно по затра-

там труда и средств, то выбранная модель является достаточно простой.

(Требование достаточной простоты)

5. Модель должна давать возможность с помощью математических методов получить необходимую информацию о реальном объекте. (Свой-

ство полноты математической модели)

6. В большинстве случаев сложный объект возможно расчленить на ряд агрегатов (подсистем), для адекватного математического описания ко-

торых оказываются пригодными стандартные, хорошо изученные матема-

тические модели. (Принцип агрегирования)

7. Оценка результатов исследования математической модели проис-

ходит по следующим направлениям: верификация (проверка адекватности результата поставленной задаче); оценка точности и единственности по-

лученных результатов.

Это, хотя и схематичное, описание особенностей математического моделирования дает представление о способе его применения для «матема-

225

тического понимания природы» [13], о направлениях формирования спо-

собности к такой деятельности. Способность математически исследовать окружающую действительность не является отличительным качеством спе-

циалистов-математиков. Этой способностью в той или иной степени необ-

ходимо обладать каждому: для правильной ориентации в реальных ситуа-

циях, для принятия решений, адекватных поставленной проблеме и т.д.

Таким образом, представления о математическом моделировании имеют общекультурную и общеобразовательную ценность и составляют математическую культуру каждого – и ученика, и учителя. Подтвержде-

нием этому мнению служат исследования многих ученых: математиков,

методистов, педагогов, психологов.

Представления о модели, математической модели, методе математи-

ческого моделирования, его этапах, особенностях, принципах построения математических моделей составляют методологическую основу обучения школьников практическим приложениям математики. Поэтому перечис-

ленные сведения включены нами в методическую систему подготовки учителя к практико-ориентированному обучению математике в школе.

2.4.2.Значение математического моделирования

впрактико-ориентированном обучении математике в школе

Внастоящее время методологический аппарат моделирования как метода познания достаточно хорошо исследован. Определены понятия

«модель» и «моделирование», имеются различные классификации целей моделирования, определены этапы построения модели (Н.Я. Виленкин,

Ю.А. Гастев, Л.Д. Кудрявцев, А.Г. Мордкович, В.А. Стукалов, Л.М. Фрид-

ман и др.). В обучении математике понятие моделирования (математиче-

ского моделирования) используется в нескольких аспектах:

1. Как принцип обучения (В.В. Давыдов). Автор считает, что по-

скольку математика занимается изучением математических структур, ко-

226

торые могут быть моделями реальных объектов, то в основу изучаемого курса математики должен быть положен принцип моделирования.

2. Как средство обучения (Е.С. Муравьева). Автор предлагает ис-

пользовать возможности моделирования для выделения и фиксации таких свойств изучаемых объектов, которые недоступны непосредственному на-

блюдению.

3. Как метод обучения (Р.А. Низамов, А.А. Шибанов, А.А. Реан, В.С.

Карапетян, В.А. Тайницкий). По мнению авторов, математическое модели-

рование способствует развитию мышления и познавательных способно-

стей школьника, поэтому его использование целесообразно во всех формах учебного процесса.

4. Как метод преподавания (Н.В. Кузьмина). Учитель может исполь-

зовать принцип моделирования в качестве приема объяснения нового ма-

териала, средства передачи знаний и формирования умений и навыков, их обобщения и систематизации, инструмента контроля и коррекции знаний.

5. Как цель обучения и эффективное средство реализации ряда педа-

гогических задач (Л.Г. Петерсон). Моделирование выступает как инстру-

мент решения практических задач и как средство формирования представ-

лений о математическом объекте как о модели реального процесса.

6. Как средство активизации познавательной деятельности в учеб-

ном процессе (Е.С. Муравьев, В.С. Абатурова).

7.Как один из методов решения задач (Е.С. Канин, Ф.Ф. Нагибин).

8.Как способ исследовательской деятельности, обучение приемам которого способствует реализации дидактического принципа научности. (И.Я. Мешкова).

9.Как эвристический метод учебного познания (А.Г. Мордкович,

Л.В. Вилькеев).

В последнем аспекте объединены все вышеперечисленные подходы.

А.Г. Мордкович считает, что с точки зрения места, роли и выполнения функций в учебном процессе моделирование может выступать как:

227

а) форма познавательной деятельности; б) один из способов поиска реше-

ния задач; в) средство формирования новых знаний; г) способ наглядного воплощения усвоенных знаний. Опираясь на такой подход, А.Г. Мордко-

вич выдвинул концепцию школьного курса алгебры, идейной основой ко-

торого являются понятия: «математический язык», «математическая мо-

дель», при этом «математика предстает перед учащимися не как набор раз-

розненных фактов, которые учитель излагает только потому, что они есть в программе, а как цельная развивающаяся и в тоже время развивающая дисциплина общекультурного характера… Методология новой концепции заключается в следующем: каждый год обучения ориентирован на кон-

кретную модель реальной действительности» [203]. Считаем, что подобная концепция может быть реализована и на материале школьного курса гео-

метрии. Частичная реализация этой идеи имеется в сконструированной на-

ми линии практических приложений математики в школе.

Проблема разработки методики обучения математическому модели-

рованию школьников также неоднократно освещалась в учебно-

методической литературе. Приведем некоторые устоявшиеся положения этой методики.

А.Я. Блох предложил три основных способа использования в обуче-

нии метода математического моделирования [31]:

1)При введении конкретных понятий, при этом выделяется два типа введения понятий – модельный и формальный.

2)При решении текстовых задач. Их роль связывается с отработкой приемов по переводу условия, заданного текстом, на язык формул; обра-

щается внимание на тривиальность этих задач с точки зрения модельной деятельности в целом, поскольку их условия допускают полное, адекват-

ное отображение на уровень модельных представлений. Особая роль в от-

ражении идеи математического моделирования приписывается задачам,

фабулы которых допускают неоднозначность перевода на язык математи-

ки.

228

3) Для использования зависимостей, выражающих естественнона-

учные закономерности. Компоненты математического моделирования мо-

гут быть отработаны при установлении соотношений между математиче-

скими особенностями формул, и соответствующими содержательными по-

нятиями, и явлениями, выражаемыми этими формулами.

А.Я. Блох при исследовании методических аспектов понятия матема-

тической модели выделяет два «слоя» [31]. Первый относится к построе-

нию математической модели объекта, который сам по себе уже является математическим. Если при решении задачи, относящейся к одной области математики, заимствуются средства из другой ее области, то появляется

внутренне-математическое моделирование. Второй связан с построением математической модели объекта, не являющегося математическим. Внеш-

не-математическое моделирование предполагает применение знаний о функциональных зависимостях, выражающих естественнонаучные или производственные закономерности. В нашем исследовании основным объ-

ектом рассмотрения является именно внешне-математическое моделиро-

вание.

Проведенный нами анализ исследований приводит к выводу о том,

что математическое моделирование в практико-ориентированном обуче-

нии математике в школе является теоретической основой для:

–выделения этапов линии практических приложений математики

вшколе (частные задачи каждого этапа сформулированы в соответствии с поэтапным обучением методу математического моделирования);

–определения прикладных математических умений школьников

(умения выделены в соответствии с четырьмя этапами метода математиче-

ского моделирования);

– классификации и выделения уровней сложности задач, связанных с практическими приложениями математики (четыре уровня сложности выделены в соответствии со сложностью выполнения этапа математизации условия задачи);

229