pizhurin_a_a_pizhurin_a_a_modelirovanie_i_optimizaciya_proce

управляемыми факторами служат толщина и ширина пилы, шаг ее зубьев и управляемые факторы производственного варианта. При решении проект­ ного варианта отыскивают оптимальные параметры станка, инструмента и режимы пиления. Управляемыми факторами здесь являются диаметр пильных шкивов, расстояние между центрами шкивов, скорость резания, установленные мощности приводов механизмов резания и подачи и управ­ ляемые факторы производственно-проектного варианта.

Во всех трех вариантах задачи к неуправляемым факторам относят­ ся порода и влажность распиливаемой древесины, высота пропила и сум­ марная длина произведенных распилов.

Был обоснован выбор трех критериев оптимальности: максимума производительности П обработки, минимума ее себестоимости С, а также минимума поперечных отклонений у ленточной пилы. Третий параметр в значительной степени определяет точность размерообразования пиломате­ риалов. Обозначим через X вектор элементов решения для рассматривае­ мого варианта задачи: X = {х\,х2,..., хп).

Тогда целевые функции, соответствующие выбранным критериям оптимальности, можно записать в общем виде:

Конкретный вид функции f\ и f2 определяется по методике, из­ ложенной в п. 4.4.7. Для определения функции fo разработана методика, сочетающая использование теории тонкостенных стержней с методом ко­ нечных элементов.

В число ограничений задачи вошли качественные ограничения по шероховатости поверхности вырабатываемых пиломатериалов:

а также конструктивно-технологические ограничения: по мощности резания

(11.91)

по мощности подачи

(11.92)

;vnojl= / 6( * ) ^ n o J ;

по прочности ленточных пил

где Х а ~ суммарные напряжения ленточной пилы;

по работоспособности межзубовых впадин

где и2- подача на зуб.

В правых частях всех этих ограничений стоят предельно допусти­ мые значения соответствующего параметра. Явный вид перечисленных ог­ раничений получен по результатам экспериментальных и теоретических исследований ряда авторов.

Следует учесть, наконец, простейшие ограничения на диапазоны варьирования переменных:

(11.95)

Совокупность соотношений (11.87) - (11.95) представляет собой математическую модель многокритериальной оптимизационной задачи. Для ее решения был использован подход, состоящий в исключении некон­ курентоспособных допустимых решений и построении множества Парето (п. 2.3). Применительно к данной задаче рассмотрим две точки X и X й из множества (11.95). Предположим, что для них справедливы следующие неравенства, хотя бы одно из которых строгое:

Тогда говорят, что точка X 1безусловно лучше, чем точка X", а точка X " соответственно безусловно хуже, чем X'. Точка X" называется эффек­ тивной или принадлежащей множеству Парето, если не существует точки X из множества (11.95), безусловно лучшей, чем X". Если же такая точка X' существует, то точка X" называется неэффективной. Таким образом, точ­ ки, принадлежащие множеству Парето, не улучшаемы по всем критериям одновременно. Поэтому решение задачи следует отыскивать только среди эффективных (паретовских) точек, из неформальных соображений. При этом число эффективных точек, как правило, намного меньше исходного числа допустимых решений.

Для приближенного построения множества Парето использовалось

зондирование факторного пространства Фп, определяемого неравенст­ вами (11.95). Иными словами, в этом пространстве по определенному ал­ горитму выбирались точки, равномерно охватывающие все пространство. В каждой из этих точек проверялось выполнение ограничений, и вычисля­ лись значения целевых функций, что позволило выделить паретовские точки. Казалось бы, для этого достаточно воспользоваться сеткой с шагом, постоянным по каждой координате. На самом деле этот способ оказывает­ ся неэффективным уже для я, равного или больше двух. Наилучший спо­

соб зондирования обеспечивается применением так называемых равно­ мерно распределенных последовательностей. Этот способ был запро­ граммирован и применен для решения задачи.

Изложим подробнее процедуру перебора и анализа вариантов. Обо­ значим через G подмножество факторного пространства Ф”, во всех точках которого выполняются ограничения (11.90) - (11.94). Введем ограничения на значения критериев, которые назовем критериальными ограничения­ ми. Они имеют следующий вид:

Здесь П*(Х) - минимальное приемлемое значение производитель­ ности обработки; С*(Х) - максимальное приемлемое значение себестоимо­ сти обработки; у*(Х) - максимальное приемлемое значение поперечных отклонений пилы. Обозначим через D подмножество множества G, во всех точках которого выполняются критериальные ограничения (11.99).

Построение множества Парето осуществлялось в режиме диалога с ЭВМ. На первом этапе рассчитывали координаты точек Х{ равномерно распределенной последовательности, принадлежащей факторному про­ странству Ф". В каждой точке Х{ проверяли выполнение функциональных ограничений (11.90) - (11.94). Если все они выполнены, то данную точку относили к множеству G и отбирали в качестве пробной для расчета кри­ териев П(Х)9С(Х)9у(Х). В противном случае точку исключали из дальней­ шего рассмотрения. Для каждой из точек, принадлежащих множеству G, рассчитывали значения критериев П(Х)9С(Х)9у(Х). По каждому из них со­ ставляли таблицы испытаний, в которых значения П(Х) располагали в по­ рядке убывания, а значения С(Х) и у(Х) - в порядке возрастания. Все эти операции, включая составление таблиц, выполнялись ЭВМ.

Второй этап диалога являлся неформальным. С помощью таблиц испытаний устанавливали критериальные ограничения. Проверяли, имеет­ ся ли хотя бы одна точка, где все они выполняются. Если такая точка име­ лась, то множество D не пусто, тогда переходили к его анализу. В против­ ном случае возвращались к назначению критериальных ограничений, оп­ ределяя возможность уступок по какому-либо критерию. Если такие ус­ тупки невозможны,^ возвращались к начальному этапу решения, увеличив число пробных точек равномерно распределенной последовательности. Если множество D при этом все равно оказывалось пустым, считали, что выбранные критериальные ограничения несовместны.

После определения множества D выделяли из него точки, принадле­ жащие множеству Парето. Помечали некоторую точкуX n gD . Сравнивая ее с остальными точками из Д исключали из них те, которые безусловно хуже точки Хц. И з оставшихся выбирали непомеченную точку Ха, помеча­ ли ее и, сравнивая с другими, исключали-точки безусловно худшие, чем Ха и т. д. В конечном счете оставались только помеченные точки. Все они

принадлежат множеству Парето. На последнем этапе в результате нефор­ мального анализа среди паретовских точек отыскивалось компромиссное решение задачи.

Рассмотрим пример решения производственно-проектного вари­ анта задачи. Управляемые факторы: толщина пилы s, ширина В в преде­ лах ширины пильного шкива, напряжение натяжения а н, расстояние меж­ ду направляющими /, шаг зубьев t и скорость подачи и. Решение отыскива­ ли при высотах пропила Н = 200, 400, 600 и 800 мм для пути резания £ = 3500 м. Скорость подачи принималась постоянной, что практически не меняет пространства лучших решений. С другой стороны, постоянство скорости подачи обусловливает постоянство производительности обработ­ ки, благодаря чему число критериев снижается до двух. Величину скоро­ сти подачи определяли по специальному алгоритму как предельное значе­ ние, при котором поперечные отклонения у достигают максимально допус­ тимого значения или перестает выполняться хотя бы одно из функцио­ нальных ограничений.

Задачу решали для процесса распиливания свежесрубленной древе­ сины пихты. Считали, что эксплуатируются пилы с плющеными зубьями.

численных выше значений высот пропила испытывали 128 точек, соответ­ ствующих начальному участку равномерно распределенной последова­ тельности. Скорость подачи принимали равной 60 м/мин при Н = 200 мм; 30 м/мин при Н = 400 мм; 15 м/мин при Н = 600 мм; 7 м/мин при Н = 800 мм. По 16, 32, 38 и т. д. точкам последовательности вычисляли коэффици­ ент корреляции между критериями у и С. Если бы корреляционная связь между критериями была достаточно велика, то один из них можно было исключить из рассмотрения, упростив задачу. В данном случае этого не произошло.

После завершения первого этапа диалога были построены полигон и гистограмма частот распределения значений критериев. Они послужили обоснованием для формирования критериальных ограничений. Для высот пропила Н = 600 и 800 мм были установлены следующие критериальные ограничения: у < 2,7 мм; С < 3 к/м при Н = 600 мм; у < 2,5 мм; С < 5 к/м при Н ~ 800 мм. В пределах этих ограничений составили «усеченные» таб­ лицы испытаний критериев, расположив их в порядке ухудшения значений

(см. табл. 11.4).

С помощью таблиц испытаний выделили пространство Д во всех точках которого соблюдаются критериальные ограничения по у и С. Эти точки приведены в табл. 11.5.

тельно, соответствующие решения обладают хорошей устойчивостью.

Т а б л и ц а 11.4

Т а б л и ц а 11.5

11.6.Решение оптимизационных задач

сприменением ЭВМ

Практические задачи оптимизации достаточно сложны и, как пра­ вило, решаются на ЭВМ. Поэтому возникает вопрос о выборе метода ре­ шения задачи и его программной реализации. Ответ на него зависит преж­ де всего от того, насколько часто приходится решать данную задачу. Если она должна быть решена единственный раз, то достаточно найти любую программу, пригодную для решения подобных задач, независимо от того, что применяемый метод, может быть, не самый лучший и что на получе­ ние решения будет потрачено из-за этого несколько больше машинного времени. Если такая программа не найдена, то приходится ее составлять,

используя, по крайней мере для начала, простейший метод. Если задача должна решаться многократно, например, при функционировании АСУ, то необходимо, напротив, обоснованно выбрать метод решения, учитывая, с одной стороны, особенности задачи - размерность, основные свойства це­ левой функции и функций в ограничениях; с другой - характеристики ме­ тодов - скорость сходимости, объем памяти ЭВМ. Так, при выборе метода решения задач нелинейного программирования одно из общих правил можно сформулировать следующим образом: если производные целевой

функции вычисляются ценой приемлемых затрат, то чем больше они бу­ дут использованы при решении задач, тем лучше.

После того, как метод решения задачи выбран, возникает вопрос о его алгоритмической и программной реализации. При этом необходимо иметь подпрограммы для решения вспомогательных задач. В процессе вы­ числений на ЭВМ, как правило, получают лишь приближенный результат, поэтому следует обоснованно задать значения параметров, определяющих точность их решения, и критерий останова. Оптимизационный процесс следует прервать, если:

а) требуемая точность решения задачи достигнута; б) скорость движения к экстремуму слишком мала; в) процесс начал расходиться.

При написании программы возникают вопросы, связанные с выбо­ ром языка, на котором она составляется, организацией массивов информа­ ции и др. Программы такого рода составляются программистами высокой квалификации или заимствуются. В последнем случае могут оказаться по­ лезными пакеты научных подпрограмм, которыми располагают многие вычислительные центры.

367

Литература

1.Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование экспери­ мента при поиске оптимальных условий. - М.: Наука, 1976. - 279 с.

2.Акоф Р., Сасиени М. Основы исследования операций. - М.: Мир, 1971. -553 с.

3.Альтшуллер Г.С. Творчество как точная наука. - М.: Советское радио, 1979.- 184 с.

4.Бухтияров В.П. Технология производства мебели. - М.: Лесная про­ мышленность, 1987. - 264 с.

5.Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по матема­ тической физике. - М.: Наука, 1972. - 688 с.

6.Вагнер Г. Основы исследования операций. В 3 т. - М.: Мир, 1973. -

Т. 1 - 355 с.; Т. 2 - 488 с.; Т. 3 - 501 с.

7.Вентцель Е.С. Исследование операций. - М.: Советское радио, 1972. - 552 с.

8.Вентцель Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методоло­ гия. - М.: Наука, 1980. - 208 с.

9.Виллистон Эд. Производство пиломатериалов. - М.: Лесная промыш­ ленность, 1981. - 384 с.

10.Вознесенский В.А., Ковальчук А.Ф. Принятие решений по статистиче­ ским моделям. - М.: Статистика, 1978. - 192 с.

11.Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. - М.: Мир, 1985.-509 с.

12.Гольдштейн Е.Г., Юдин Д.Б. Задачи линейного программирования транспортного типа. - М.: Наука, 1969. - 383 с.

13.Жирнов С.И., Макарова Н.С. Методические указания по дипломному проектированию лесопильно-деревообрабатывающих производств/Под ред. А.А. Пижурина. - М.: МЛТИ, 1983- Ч. II - 44 с.; Ч. III

-4 0 с.

14.Зайцев Д.А. Решение задач оперативного управления дискретным

производством на сетевых моделях Петри: Дис. канд. техн. Наук. - Донецк, 1991.

15. Калихман И.Л:, Войтенко М.А. Динамическое программирование в примерах и задачах. - М.: Высшая школа, 1979. - 125 с.

16.Клейнен Дж. Статистические методы в имитационном моделирова­ нии. - М.: Статистика, 1978. - Вып. 1. - 211 с.; - Вып. 2. - 335 с.

17.Корбут А.А., Финкельштейн Ю.Ю. Дискретное программирование. -

М.: Наука, 1969. - 368 с.

18.Крылов Г.В., Пятков В.Е. Об одном подходе к расчету выхода загото­ вок из обрезных пиломатериалов//Изв. вузов/Лесной журнал. - 1985. -

№ 2. - С. 34-39.

19.Кузнецов А.В., Холод Н.И. Математическое программирование. - М.: Высшая школа, 1984. - 221 с.

20.Лернер А.Я., Розенман Е.А. Оптимальное управление. - М.: Энергия, 1970.-360 с.

21.Мелони Т. Современное производство древесностружечных и древес­ новолокнистых плит. - М.: Лесная промышленность, 1982. - 416 с.

22.Методы алгоритмизации непрерывных производственных процессов. -М .: Наука, 1975.-400 с.

23.Основы функционально-стоимостного анализа. - М.: Энергия, 1980. - 176 с.

24.Первозванский А.А. Математические модели в управлении производ­ ством. - М.: Наука, 1975. - 616 с.

25.Пижурин А.А. Современные методы исследований технологических процессов в деревообработке. - М.: Лесная промышленность, 1972. - 248 с.

26.Пижурин А.А. Оптимизация технологических процессов деревообра­ ботки. - М.: Лесная промышленность, 1975. - 312 с.

27.Пижурин А.А., Розенблит М.С. Исследования процессов деревообра­ ботки. - М.: Лесная промышленность, 1985. - 232 с.

28.Пижурин А.А. Математическая модель задачи оптимального раскроя хлыстов на сортименты// Науч. тр./ Моск. лесотехн. ин-т. - 1985. -

Вып. 170.- С. 22-27.

29.Пижурин А.А., Розенблит М.С. Основы моделирования и оптимиза­ ции процессов деревообработки. - М.: Лесная промышленность, 1988. - 294 с.

30.Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. - М.: Наука, 1983. - 384 с.

31.Растригин Л.А. Системы экстремального управления. - М.: Наука, 1974.-632 с.

32.Растригин Л.А. Современные принципы управления сложными объек­ тами. - М.: Советское радио, 1980. - 232 с.

33.33. Розенблит М.С., Пижурин А.А. Определение оптимальной длины

бревен//Деревообрабатывающая промышленность. - 1985. - № 3.

-С. 5 - 6 .

34.Сборник задач и деловых игр по организации и управлению предпри­ ятий электронной промышленности. - М.: Высшая школа, 1985. - 208 с.

35.Таблицы планов эксперимента для факторных и полиномиальных моделей/Под ред. В.В. Налимова. - М.: Металлургия, 1982. - 752 с.

36.Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. - М.:

Мир, 1975.-536 с.

37.Чуев Ю.В., Спехова Г.П. Технические задачи исследования операций.

-М.: Советское радио, 1971. - 244 с.

38.Шеннон Р. Имитационное моделирование систем - искусство и наука.

-М .: Мир, 1978.-420 с.