pizhurin_a_a_pizhurin_a_a_modelirovanie_i_optimizaciya_proce

ло бы предположение о случайном характере спроса. Такие системы управления запасами называются стохастическими. Иногда их рассмат­ ривают как системы массового обслуживания (заявкой является требова­ ние на получение товаров со склада) и изучают с помощью методов этой теории. Методы управления запасами разрабатываются также для систем с разветвленной структурой, предполагающей наличие нескольких складов,

идля многопродуктовых систем, где объектом хранения является не один,

анесколько видов товаров.

222

Глава 7

КАЛЕНДАРНОЕ И СЕТЕВОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ В ДЕРЕВООБРАБОТКЕ. ПОНЯТИЕ О ФУНКЦИОНАЛЬНО-СТОИМОСТНОМ АНАЛИЗЕ

7.1. Методы календарного планирования

7.1.1.Общие сведения и простейший пример

Взадачах календарного планирования решается вопрос об опти­ мальной последовательности выполнения тех или иных операций. В тех­ нологии деревообработки, в частности в мебельном производстве, это ча­ ще всего относится к порядку запуска в обработку различных деталей. В лесопилении актуальна задача определения оптимальных размеров и по­ рядка запуска на распиливание партий пиловочного сырья с различными размерно-качественными характеристиками. При этом сортиментный план производства пиломатериалов должен быть выполнен с наименьшими за­ тратами. В такой постановке задача календарного планирования оказалась увязанной с задачей оптимального управления запасами (см. п. 6.5).

Задачи календарного планирования изучаются теорией расписаний. Здесь термин «расписание» соответствует понятию календарного плана, то есть последовательности проведения некоторых операций. Эти задачи ока­ зались весьма сложными с математической точки зрения, поэтому точные решения получены лишь для самых простых случаев. Формально задачи календарного планирования можно свести к задачам целочисленного про­ граммирования, но сам по себе этот прием не слишком облегчает их реше­ ние.

Рассмотрим вначале элементарную задачу об одном станке. Пусть на некотором оборудовании должны последовательно пройти обработку п деталей с различной длительностью, которая предполагается известной. Каким должен быть оптимальный порядок их запуска? Здесь и далее мы будем считать, что затрат на переналадку оборудования нет. Ясно, что об­ щее время обработки всех п деталей будет одним и тем же при любой по­ следовательности их запуска. Однако при этом окажется различным сред­ нее время ожидания обработки для одной детали. Эту величину разумно принять в качестве критерия оптимальности задачи. Решение здесь оче­ видно: запуск деталей должен производиться, начиная с той детали, для которой длительность обработки минимальна, в порядке возрастания этой величины. Аналогичным образом поступает администратор, приема у ко­ торого ожидают посетители. Желая уменьшить среднее время пребывания их в очереди, он пропускает сначала тех посетителей, чьи вопросы можно решить за минимальное время.

7.7.2.Задача о двух станках

Вэтой задаче общее время обработки деталей уже зависит от по­ рядка их запуска. Имеется п деталей, каждая из которых должна последо­ вательно пройти обработку сначала на первом, затем на втором станке.

Предполагается заданным время ty обработки i-й детали на j -м станке, / = 1 , 2 у = 1,2. Требуется найти порядок запуска деталей, при кото­ ром общая длительность их обработки на обоих станках минимальна.

Эта задача решена С. Джонсоном. Им доказана оптимальность сле­ дующего правила, определяющего порядок запуска деталей в обработку. Вначале детали, подлежащие обработке, условно делят на две группы. В первую группу относят детали, для которых ta < ta, то есть те, время обра­ ботки которых на первом станке не превышает времени обработки на вто­ ром станке. Остальные детали образуют вторую группу. Вначале следует обрабатывать детали первой группы в порядке возрастания длительности их обработки на первом станке. Затем должны обрабатываться детали вто­ рой группы в порядке убывания времени их обработки на втором станке.

Пример. Определить оптимальный порядок запуска в обработку пяти деталей

(п = 5), для которых величины ty, мин, показаны в табл. 7.1.

Согласно алгоритму Джонсона следует включить и первую группу детали № 1 и 4, а во вторую - № 2, 3, 5. Оптимальный порядок обработки деталей следующий: 4, 1, 3, 5,2.

Удобной формой представления календарных планов является график Ганта, изображенный на рис. 7.1 для найденной оптимальной последовательности запуска де­ талей. Здесь каждому станку соответствует своя ось времени t, на которой отрезками прямых отмечают промежутки, в течение которых данный станок занят обработкой той или иной детали. Как видно из графика, второй станок будет простаивать по 1 мин пе­ ред обработкой четвертой, первой и третьей деталей, а также 3 мин перед обработкой пятой детали. Обработка всех деталей займет 22 мин.

7.7.5. Некоторые обобщения алгоритма Джонсона и

рекомендации по составлению расписания

Значительно больший практический интерес представляло бы ре­ шение задачи, подобной задаче о двух станках, для произвольного количе­ ства т станков, на которых должны последовательно пройти обработку п деталей. Эта задача до сих пор не решена. Для конкретных значений п, т а ty можно пытаться получить ее решение перебором различных вариантов

запуска. Однако уже при относительно небольших величинах п и т объем вычислений при этом оказывается настолько велик, что подобный перебор не доступен даже для современных ЭВМ. Вместе с тем, анализируя алго­ ритм Джонсона для задачи о двух станках, можно извлечь из него реко­ мендации, применимые и к общему случаю последовательной обработки деталей на п станках при произвольном т.

В самом деле, в алгоритме Джонсона фактически совмещены три идеи, способствующие сокращению общего времени обработки [24]:

Рис. 7.1. График Ганта

1) обрабатывать раньше те детали, у которых время обработки на первом станке минимально;

2) обрабатывать раньше те детали, у которых время обработки на последнем станке максимально;

3) обрабатывать раньше те детали, для которых узкое место нахо­ дится дальше от начала процесса обработки. Узким местом для данной детали называется станок, на котором обработка этой детали занимает наибольшее время.

Каждое из этих правил логично. Применение первого из них спо­ собствует скорейшему вовлечению в обработку второго станка. Второе правило позволяет уменьшить конечный простой первого станка. Третье правило способствует быстрейшему «проскакиванию» к концу технологи­ ческой линии тех деталей, для которых обработка на первом станке зани­ мает меньше времени, с тем, чтобы освободить первый станок деталям, для которых он является узким местом.

Первое и второе правила можно обобщить, если предположить, что порядок обработки деталей, принятый для первого станка, не обязательно сохраняется для последующих станков. К сожалению, при т > 2 эти пра­ вила не совместимы друг с другом: последовательность обработки, най­ денная с использованием одного из них, не будет соответствовать другому правилу. Поэтому при решении конкретных задач для трех и более станков

рекомендуется испробовать сначала каждое из этих правил поочередно, а в качестве окончательного варианта выбрать ту последовательность, которая оказалась лучшей, исходя из минимума суммарного времени обработки. Численные эксперименты показали, что наиболее эффективным чаще все­ го оказывается применение первого правила.

Наряду с тремя приведенными правилами существуют и другие ре­ комендации по составлению хорошего расписания. Так, отмечена эффек­ тивность следующего, четвертого правила: пропускать вперед детали, для которых общая длительность обработки на всех станках максимальна.

Пример. На мебельно-деревообрабатывающем комбинате изготавливали фут­ ляры для настенных и настольных часов. Имеется семь деталей футляров, каждая из которых должна последовательно пройти обработку на четырех станках: 1) рейсмусо­ вом; 2) фуговальном; 3) торцовочном: 4) фрезерном. Наименования деталей: 1 - верти­ кальный брусок дверки; 2 и 3 - нижний и средний бруски дверки; 4 - верхний брусок; 5 - нижняя доска; 6 - штанга; 7 - планка. В табл. 7.2 приведена длительность обработ­ ки каждой детали на каждом из станков, мин.

Всоответствии с рассмотренными выше правилами можно рекомендовать сле­ дующие варианты запуска деталей в обработку (табл. 7.3).

Вситуации, когда рассматриваемое правило не даст возможности определить очередность запуска каких-либо двух деталей, обращались к одному из предыдущих правил.

Для каждой из последовательностей был построен график Ганта, и определена общая длительность обработки всех деталей. Оказалось, что лучший результат в дан­ ном случае дает применение первого правила. Общая длительность обработки при со­ ответствующей последовательности запуска равно Т = 56 мин. Второе место по эффек­ тивности заняло правило № 3: Т= 57 мин.

Грубую оценку снизу для общей длительности обработки всех де­ талей можно получить из следующих простых соображений. Предполо­ жим, что для каждого станка вычислена суммарная длительность обработ­ ки на нем всех деталей. Для рассмотренного выше примера эти данные приведены в последней графе табл. 7.2. Тогда полная длительность обра­ ботки деталей на всех станках будет во всяком случае не меньше мак­ симальной из этих величин при любом порядке их запуска. Для примера получаем оценку: Т > 37.

В частном случае, когда для всех деталей узким местом является один и тот же станок, найдено соотношение между наибольшей возмож­ ной длительностью обработки всех деталей Тmax и наименьшей длительно­ стью их обработки r min, достигаемой при оптимальном порядке запуска. Обозначим через 8 следующую величину:

$ ~ (^max—^min) / Тnin*

Рассмотрим станок, являющийся узким местом для всех деталей, и найдем детали, обработка которых на нем занимает наибольшее и наи­ меньшее время. Эти промежутки времени обозначим гтах и rmin. Доказано

[24], что

Если указанное выше предположение справедливо, то использова­ ние этого неравенства в сочетании с рассмотренными ранее рекоменда­ циями относительно определения порядка запуска позволяет оценить воз­ можности улучшения расписания по сравнению с уже достигнутыми ре­ зультатами.

7.2.Методы сетевого планирования в деревообработке

7.2.7.Задача сетевого планирования. Сетевой график

Многие организационные и технические мероприятия представля­ ют собой сложную совокупность взаимосвязанных работ. Примерами та­ ких мероприятий могут быть строительство деревообрабатывающих ком­ бинатов, реконструкция цехов, инструментальной или ремонтной служб, переход на выпуск новых видов продукции, освоение новой техники. При реализации подобных проектов возникает ряд проблем: определение ра­ циональных сроков начала и окончания той или иной работы, обеспечи­ вающих выполнение всего мероприятия за минимальное время; рас­ пределение ресурсов, вкладываемых в отдельные работы комплекса, ми­ нимизирующее суммарные затраты. В частности, отдельные работы могут стать узким местом, сдерживать проведение остальных мероприятий. Их следует выявить и выполнять заблаговременно или выделить на них до­ полнительные средства.

Для решения подобных задач разработаны методы сетевого плани­ рования и управления (СПУ). В системах СПУ исходный план реализации мероприятия представляют в виде схемы, называемой сетевым графиком. Сетевой график позволяет получить наглядное представление о порядке выполнения отдельных операций, а также о взаимосвязях между ними. Он является своеобразной моделью реализации мероприятия, на которой можно изучать последствия тех или иных решений с целью выбора наи­ лучшей стратегии управления. Как будет показано ниже, сетевой график служит удобным инструментом для отыскания узких мест и имеющихся резервов при выполнении мероприятия.

i ( j > -

аА

Рис. 7.2. Различные случаи представления работ на сетевом графике

На сетевом графике отдельные работы комплекса изображаются в виде стрелок (рис. 7.2). Результат завершения какой-либо работы называ­ ется событием. Будем обозначать работы: ah <з2,..., а события - цифрами

соответствующая работе а\ (см. рис. 7.2, а). Предположим теперь, что работа д3 может начаться не ранее, чем закончится некоторая другая работа а5. В этом случае говорят, что работа а5 предшествует работе я3, или что работа аъ опирается на работу а5. Тогда стрелка, изображающая работу аъ на сетевом графике, должна выходить из узла 5, который теперь символизирует событие, заключающееся в окончании работы а5 и в возможности начать работу аъ (см. рис. 7.2, б). Если же после завершения работы а5 можно начать сразу несколько работ: <з2, д3, а7у то все изобра­ жающие их стрелки должны выходить из узла 5 (см. рис. 7.2, в).

Фрагмент сетевого графика, изображенный на рис. 7.2, г, означает, что ни одна из работ я7 и а%не может начаться раньше, чем закончатся две работы: а5 и а$. Узел 5 здесь соответствует событию, заключающемуся в окончании работ а5 и а6 и возможности начать работы а7 и <з8-

Возможны случаи, когда у двух или у большего числа работ совпа­ дают как непосредственно предшествующие им, так и следующие за ними работы. В этом случае параллельное изображение соответствующих стре­ лок не допускается, а вводится дополнительный узел и так называемая фиктивная работа. На рис. 7.2, д это работа <2(2_з>, изображенная пунктир­ ной стрелкой. Фиктивной работе приписывается нулевая длительность, роль ее состоит только в изображении логической связи между событиями.

Еще один случай введения фиктивной работы изображен на рис. 7.2, е. Из него следует, что работа д3 опирается на две работы: а\ и а2, в то время, как работа д4 опирается только на а2. Длины стрелок и величины углов между ними берутся произвольным образом. На сетевом графике должен быть единственный узел 0 (рис. 7.3), символизирующий начало выполнения мероприятия. Он имеет только выходящие стрелки. Требуется также наличие единственного завершающего события и соответствующего конечного узла К, символизирующего окончание всех работ комплекса.

Этого легко добиться с помощью введения фиктивных работ (см. рис. 7.3, б, где конечным узлом является узел 6). Конечный узел имеет только входящие стрелки. В качестве примера на рис. 7.3, а изображен в укрупненном виде сетевой график строительства производственного здания.

Исходной информацией для построения сетевого графика служит перечень работ комплекса. Для каждой из них в нем должны быть указаны работы, непосредственно предшествующие данной, т. е. те, окончание ко­ торых позволит ее начать. Такой перечень обычно оформляют в виде так называемой структурной таблицы. Примером ее служат графы 2 и 3 табл. 7.4. Из них видно, например, что к работе ахможно приступить не раньше, чем закончится работа <я7. Аналогичным образом, работа а2 опирается на три работы: а\, а9, а\0.

Строить сетевой график непосредственно с помощью такой табли­ цы неудобно, поэтому предварительно работы комплекса упорядочивают. В ходе этой операции их следует перенумеровать так, чтобы работа с меньшим номером всегда предшествовала работе с большим номером. Процедуру упорядочивания выполняют в следующей последовательности. Сначала из списка работ выбирают те, которым не предшествует ни одна работа. Такие работы называют работами первого ранга. Далее среди ос­ тавшихся отыскивают работы, опирающиеся на одну или несколько работ первого ранга. Им присваивают ранг 2. К работам третьего ранга относятся те, которые опираются хотя бы на одну работу второго ранга, и т. д. Ранги, присвоенные работам из рассматриваемого примера, приведены в графе 4

табл. 7.4.

В соответствии с полученными рангами работы нумеруют заново. В новой нумерации будем их обозначать: Ъ\, • Вначале, начиная с еди­ ницы, присваивают номера работам 1-го ранга, затем - работам 2-го ранга и т. д. При этом безразлично, в каком порядке присваивать номера ра­ ботам одного и того же ранга. Новая нумерация работ приведена в графе 5

табл. 7.4.

Структурная таблица с упорядоченными работами примет вид табл. 7.5.

Из нее видно, что в новой нумерации каждая работа опирается лишь на работы с меньшим номером, что позволяет легко построить с ее помощью сетевой график. Построение начинается с узла 0. Далее в поряд­ ке нумерации последовательно строят изображения работ. Из узла 0 будут выходить стрелки, соответствующие работам 1-го ранга (в данном приме­ ре - б],..., 64 или, в старой нумерации, а3, а5, а7, дц). Затем строят опираю­ щиеся на них работы 2-го ранга и т. д. Сетевой график, построенный по табл. 7.5, приведен на рис. 7.3, б.