pizhurin_a_a_pizhurin_a_a_modelirovanie_i_optimizaciya_proce

4)записывается основное функциональное уравнение (5.10);

5)выполняется условная оптимизация последнего, w-го, шага, а за­ тем с помощью уравнения (5.10) - каждого из предыдущих шагов вплоть до первого;

6)процесс просматривается в направлении от S 0 до Sn, в результате

чего отыскиваются безусловные оптимальные управления на каждом шаге.

5.3.Примеры решения оптимизационных задач в деревообработке методом динамического

программирования

5.3.1.Задача о сортировании пиловочного сырья

Влесопилении бревна перед раскроем сортируют по величинам их диаметров в вершинном торце. Каждая размерная группа содержит бревна одного или нескольких ближайших четных диаметров. Бревна, входящие в одну размерную группу, распиливают по одному поставу, который рассчи­ тывают, как правило, на средний (точнее, средневзвешенный) диаметр бревен данной размерной группы. Чем меньше число четных диаметров бревен, входящих в данную размерную группу, тем лучше применяемый постав соответствует размерным характеристикам сырья. Это способствует увеличению объемного выхода пиломатериалов и, следовательно, росту получаемой прибыли.

Сдругой стороны, уменьшение числа диаметров бревен в одной размерной группе влечет за собой увеличение числа этих групп, что при­ водит к увеличению затрат на сортирование пиловочного сырья. Таким об­ разом, возникает оптимизационная задача: как разделить имеющийся запас сырья на размерные группы, чтобы величина приведенного дохода была максимальной. Этот критерий, как видно из его структуры, см. формулу (2.2), учтет как возрастание объема выпуска пилопродукции в результате увеличения объемного выхода пиломатериалов, так и затраты на сортиро­ вание пиловочного сырья.

Воспользуемся методом динамического программирования для ре­ шения поставленной задачи. Исходные данные: величины объемов бревен для каждого их четного диаметра. Пусть имеющийся запас пиловочного сырья содержит бревна т четных диаметров: бревна диаметра d l9 см, в ко­

личестве V {dx), м3; диаметра d2 - V(d2) 9м3,... диаметра dm - V(dm), м3.

В соответствии с порядком действий, изложенным в п. 5.2, разделим про­ цесс сортирования на этапы, выберем фазовые координаты и управления. С каждым этапом поставим в соответствие определенную размерную группу пиловочного сырья: пусть /-му этапу соответствует распиливание сырья /-й размерной группы. Общее количество этапов п нам заранее неиз­ вестно. Состояние Sj системы на каждом этапе будем характеризовать

входят в третью размерную группу, бревна с диаметрами d4 и d5 - в чет­ вертую, а с диаметрами d6, d7 и d%- в пятую размерную группу. Тогда x3 = d 3, и3= 1; х4 = d5, и4 = 2; x5 = d s, и5 = 3. Очевидно, что значение фа­ зовой координаты вместе с управлением на данном шаге при таком их вы­ боре полностью определяют соответствующую размерную группу бревен.

Рассмотрим на основе формулы (2.2) выражение для переменной составляющей приведенного дохода, полученного в результате распилива­ ния имеющегося запаса сырья и реализации произведенной пилопродукции. Величину единовременных капитальных затрат в этой формуле поло­ жим равной нулю. Вместо величины суммарных эксплуатационных затрат 3 возьмем ее переменную составляющую Зс, связанную с затратами на сор­ тирование сырья. Тогда для нашей задачи целевая функция примет вид

где Qi - объем пиломатериалов, полученных из пиловочного сырья /-й размерной группы, a С, - их средняя отпускная цена. Величина Зс зависит прежде всего от объема сырья, подлежащего сортированию, и от числа п размерных групп. Представим ее условно в виде аддитивной функции

где 3{ - величина затрат на сортирование, приведенная к одной размерной группе пиловочного сырья. Тогда естественно считать, что затраты 3t прямо пропорциональны объему сырья Vi в /-й размерной группе и обрат­ но пропорциональны числу четных диаметров бревен в ней, т. е. управле­ нию ui на соответствующем шаге:

где / и г - положительные коэффициенты. Представление второго слагае­ мого в форме r/ui объясняется тем, что увеличение и{ влечет за собой со­ кращение числа п размерных групп и, следовательно, уменьшение суммар­ ных затрат на сортирование. Теперь критерий оптимальности задачи мож­

но записать в виде аддитивной функции W = £ со., где со. - целевая функ- /=1

ция на /-м шаге, т. е., в данном случае, составляющая приведенного дохода для /-й размерной группы:

Коэффициенты / и г в этой формуле можно определить по резуль­ татам экономического анализа себестоимости пиломатериалов на лесо­ пильных предприятиях. Далее нужно выразить функцию со, в уравнении (5.16) через фазовую переменную на предыдущем (/ - 1)-м шаге и

управление ui9 то есть получить в явном виде выражение (5.7). Величина

Qi в уравнении (5.16), очевидно, равна Qt = kf Vt , где kt - средний коэффи­ циент объемного выхода пиломатериалов, получаемых из бревен /-й размерной группы.

Следовательно,

Учитывая, что через xi обозначен наибольший диаметр бревен в /-й группе, можно записать:

где dimin - наименьший четный диаметр бревен в /-й размерной группе, а

через V (dfmin) обозначен объем бревен, имеющих этот вершинный диа­ метр. Значения диаметров d {, d2,... образуют арифметическую прогрес­ сию с разностью, равной 2 см. Поэтому

Диаметру dtmin предшествует четный диаметр, являющийся макси­ мальным для предыдущей, (/ - 1)-й, группы. Следовательно,

184

выражения (5.5). Подставив в формулу (5.18) выражения для dimin из

(5.20) и для из (5.21), имеем

Величина kt в формуле (5.17) также является функцией фазовой ко­ ординаты и управления и{. Как известно, с ростом вершинного диаметра dB коэффициент к объемного выхода пиломатериалов возрастает прибли­ зительно по закону выпуклой квадратичной функции: k = 8 + a d B+ р ^ в2, где коэффициенты 5 и а положительны, а р отрицателен. По отношению к данной размерной группе вместо db будем рассматривать наименьший диаметр бревен в ней, равный (xM +2). Величина ki пропорциональна также и управлению и,, причем эта зависимость выражена слабее, чем предыдущая. Таким образом, приближенно можно полагать

к. = 5 + а + 2)+ р(*_, + г)2+ уи ., (5.23)

где у > 0 и у значительно меньше а.

Величину С, в уравнении (5.17) можно определить по прейскуран­ ту и спецификации на пиломатериалы, вырабатываемые из бревен данной размерной группы.

Выражение (5.17) для целевой функции о>. с учетом (5.22) и (5.23)

перепишется так:

«>/(*/-i>«/)={C/[S + “(*/-i +2) + Р(*м + 2 ) 1 + у н , ] - / } х

где функция coi{xi_l9ui) определяется выражением (5.24). Аргумент функ­ ции Wi+1 в (5.25) получен подстановкой вместо xi его выражения (5.21).

Далее решается последовательность экстремальных задач. Вначале отыскивается условный оптимальный выигрыш W* на последнем шаге:

188

вой графе, следовательно, содержатся величины хп_2 - аргумент функции Wn_x.

Найдем возможные значения для хп_2, исходя из полученного выше диапазона зна­

чений для равного 26 - 30. С учетом допустимых значений для ип_х получаем,

что хп_2 может быть равно 20; 22; 24; 26; 28. Рассмотрим, например, хп_2 = 26 и

ип_х =1 (приведено во второй графе). Для этих значений вычислим соп_], т. е. первое

слагаемое в правой части выражения (5.30). Воспользовавшись формулой (5.28) при

личина xf, вычисленная по формуле (5.21) для каждого из допустимых значений

пятой графах оказались соответственно первое и второе слагаемое правой части формулы (5.30). Их сумма, т. е. величина Wn_u приведена в шестой графе. По дан­

ным этой графы для каждого xt_Y отыскивается максимум Wn_l9 т. е. искомая вели­

чина Wn_j . В этой графе она обводится и переносится в графу 5 табл. 5.4. В преды­ дущую ее графу записывается соответствующее условное оптимальное управление.

Например, наибольшей для хп_2 =26 оказалась величина = 4 115. Ей соответ­

ствует управление un_x = 1, оказавшееся оптимальным. Эти числа вписаны в графах

4 и 5 табл. 5.4 при х,_! = 26.

Дальнейшая процедура аналогична описанной. При оптимизации (л-2)-го шага используется соответствующая запись основного функционального уравнения, заполняются графы 7, 8, 9 табл. 5.5 и графы 6, 7 табл. 5.4. Все расчеты проводятся, разумеется, только для допустимых состояний и управлений. На (л -2)-м шаге до­ пустимыми будут начальные состояния х„_3 =26; 24; 22; 20; на (и-З)-м шаге -

хи_4 =24; 22; 20; на (п - 4)-м - хп_5 =22: 20; на (п - 5)-м - хп_6 =20.

Поясним процедуру отыскания оптимального числа этапов и величины и\

после того, как табл. 5.4 и 5.5 заполнены. Среди значений W*, вписанных в послед­ нюю строку табл. 5.4 (т. е. при х ^ =20), найдем максимальное число. В данном

случае оно равно W*_2 (х„_3)=20 336,6. Это максимальное значение целевой функ­

ции для всей задачи. Соответствующий этап считаем первым: « - 2 = 1, откуда п = 3, т. е. данный объем пиловочного сырья следует разделить на три размерные группы. Оптимальное управление на первом шаге берется из графы 6 для той же строки:

означает, что первая размерная группа будет содержать

бревна только одного четного диаметра - 22 см. К началу следующего, второго, эта­ па состояние системы характеризуется следующим значением фазовой координаты:

Xj = х 0 + 2 и{ =20 + 2*1 = 22. Из графы 4 табл. 5.4., соответствующей этому этапу