pizhurin_a_a_pizhurin_a_a_modelirovanie_i_optimizaciya_proce

Сущность его в том, что каждый пункт отправления заменяется группой таких пунктов по числу имеющихся в нем видов продукции.

Аналогичным образом расщепляются пункты потребления: каждый из новых пунктов имеет заявки только на продукты, между которыми су­ ществует полная взаимозаменяемость. С помощью коэффициентов взаимо­ заменяемости, которые предполагаются заданными, пересчитываются за­ явки новых потребителей в единицах эквивалентного продукта. Наличие коммуникации между любыми двумя вновь полученными пунктами от­ правления и потребления предполагается лишь в том случае, если в заявке последнего имеются продукты данного поставщика. При этом условии с помощью коэффициентов взаимозаменяемости вычисляется соответст­ вующий коэффициент матрицы транспортных затрат.

Можно рассмотреть также многопродуктовую транспортную задачу с перевозками на разнородном транспорте, например, на автомашинах раз­ личных марок, обладающих различной скоростью и грузоподъемностью на тех или иных маршрутах. Эта задача может быть сведена к транспортной либо к распределительной задаче (см. п. 3.8.3) в зависимости от того, учи­ тывается ли различная грузоподъемность машин разных марок.

4. Задача о перевозках с промежуточной обработкой. Пред­ положим, что в каждом пункте отправления производится некоторый по­ луфабрикат, который сначала поступает в пункты переработки, после чего доставляется потребителям. Известны объемы производства полуфабрика­ тов, предельно допустимые объемы его переработки в каждом пункте и за­ явки потребителей. Заданы также стоимости перевозок от пунктов произ­ водства к пунктам переработки и от последних - к потребителям. Требует­ ся составить план перевозок, при котором весь полуфабрикат вывозится и перерабатывается, заявки потребителей удовлетворяются, а суммарные транспортные затраты достигают минимума. Модель этой задачи, как можно показать, сводится к модели транспортной задачи с запретами, ко­ торая в свою очередь, как уже отмечалось, приводится к обычной транс­ портной задаче.

К математической модели транспортной задачи сводятся не только задачи о перевозках грузов, но и целый ряд задач иного содержания. Рас­ смотрим некоторые из них.

3.8.2. Задача об оптимальном размещении производства

Имеется т пунктов, где возможно строительство предприятий, про­ изводящих некоторую продукцию. Затраты на производство единицы про­ дукции в /-м пункте равны at , а максимально возможный объем ее выпус­ ка составляет bt единиц в год, z = 1 , Изготавливаемая продукция должна быть распределена между п потребителями. Доставка единицы продукции от /-го пункта производства ку-му потребителю обходится в Су

92

руб. (z = 1,2,..., т, j = 1,2,..., и). Потребность в продукции дляу-го потре­ бителя составляет dj единиц в год. Требуется составить план выпуска про­

дукции и схему перевозок так, чтобы годовые затраты на производство и перевозку продукции были минимальны.

Обозначим через у ( искомый объем выпуска продукции в /-м пунк­ те, а через Ху- объем перевозок от z-ro пункта производства ку-му потре­

бителю.

Ограничения на объемы производства продукции

Вся произведенная продукция должна быть вывезена:

Объемы производства и перевозок неотрицательны:

^ > 0 ; х0 >09 / = 1,2,...,/я; ;=1, 2 , ( 3 . 8 9 )

Требование минимума суммарных затрат на производство и пере­ возку продукции реализуется следующей целевой функцией:

тт п

Если в ограничениях и целевой функции этой модели заменить y t

п

на xij согласно (3.87), то она сводится к следующей модели открытой

7=1

транспортной задачи линейного программирования:

п

г' = 1,

М

т

'Zxij=dj> 7 = 1, 2 ,..., и;

1=1

^>0, / = 1,2,...,/и; У = 1,2,...,и;

w = Е Е ! 0/ + ^{/)^у -►min-

Мy-l

3.8.3. Распределительная задача

Математическая модель распределительной задачи является обоб­ щением транспортной задачи и сводится к ней лишь в некоторых частных случаях. Рассмотрим ее содержательную формулировку применительно к задаче распределения различной продукции между несколькими предпри­ ятиями.

Пусть п предприятий должны выпускать в совокупности т видов продукции. Это могут быть мебельные фабрики, производящие различные виды изделий; лесозаводы, выпускающие пиломатериалы различных сече­ ний, и т. д. Заданы величины затрат ci} в рублях на единицу /-го вида изде­

лия при изготовлении его на j -м предприятии, а также время XiJ9 необ­

ходимое для производства единицы /-го изделия на у-м предприятии; пла­ новое задание ai по каждому виду изделия и число bj часов работы /-го

предприятия, которое может быть выделено в течение планового периода на производство всех рассматриваемых изделий. Требуется распределить производство изделий по разным предприятиям так, чтобы минимизиро­ вать суммарные затраты при выполнении планового задания с учетом ог­ раниченности ресурсов рабочего времени.

Обозначим через xtJ искомый объем выпуска изделий /-го вида на

j -м предприятии. Требование выполнения планового задания имеет вид

Суммарные затраты на изготовление всех изделий выражаются функцией

Таким образом, в математической формулировке поставленная за­ дача сведена к отысканию таких значений переменных xiJ9 при которых

удовлетворяются ограничения (3.91) - (3.93), а целевая функция (3.94) об­

ращается в минимум. Построенная математическая модель относится к за­ дачам линейного программирования и отличается от модели транспортной задачи наличием множителей Xtj в ограничениях (3.92). Ее называют мо­

делью распределительной задачи. Приняты и другие названия, напри­ мер, X-задача, обобщенная транспортная задача. Для решения распредели­ тельной задачи может быть использован любой метод линейного програм­ мирования, например, симплекс-метод. Имеются и более простые, специ­ ально разработанные методы.

Если все Ху равны единице, мы получаем обычную транспортную

задачу. Кроме того, как легко показать, распределительная задача сводится к транспортной, если для каждого i коэффициенты Х{- пропорциональны,

то есть X fl/ X !j = X й /X j2=... = X in/Я {п~ а ., где ai - некоторые константы.

Глава 4

ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОГО И ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В ДЕРЕВООБРАБОТКЕ

4.1. Общие сведения о задачах нелинейного программирования

Построение моделей линейного программирования основано на предположении о линейной зависимости между характеристиками объекта и элементами решения. Такое предположение в технологических исследо­ ваниях далеко не всегда оказывается оправданным. Можно указать много объектов оптимизации, в том числе и в деревообработке, для которых оно неправомерно. Нелинейными, как правило, являются зависимости техни­ ко-экономических, силовых и качественных характеристик процессов ме­ ханической обработки древесины от режимных факторов. Модель (3.86) - (3.90) задачи об оптимальном размещении производства также оказывается при внимательном рассмотрении грубой, поскольку предполагает линей­ ную зависимость между затратами на производство и его объемом [см. первую сумму в целевой функции (3.90)]. На самом же деле эта зависи­ мость имеет более сложный характер (рис. 4.1.). На начальном участке I она выпукла вверх. Это объясняется тем, что вначале с ростом выпуска за­ траты на производство единицы продукции снижаются. Затем, при дости­ жении некоторого объема выпуска, дальнейшее его увеличение достигает­ ся ценой перегрузки производства, что приводит к увеличению себестои­ мости продукции ( участок II).

4.1.1. Постановка задачи нелинейного программирования

Задачи оптимизации, в которых требуется отыскать значения п пе­ ременных *2, ..., хт обращающих в минимум или максимум целевую функцию

и удовлетворяющих т ограничениям в виде равенств или неравенств

называются задачами математического программирования. Здесь пред­ полагается, что функции/ и (pj известны, а константы bj заданы. На все или на часть переменных xt ( i = 1, ..., п) могут быть наложены дополнительные условия неотрицательности или дискретности. В частном случае, когда все функции / и ^ линейны, задача математического программирования сво­ дится к задаче линейного программирования, рассмотренной в преды­

дущей главе. Если же хотя бы одна из функций / или (pj нелинейна, то задача (4.1), (4.2)

называется задачей нелинейного

программирования.

Задачи нелинейного про­ граммирования очень разнообраз­ ны и гораздо сложнее, чем за­ дачи линейного программирова­ ния. В отличие от ЗЛП, опти­ мальное решение задачи нели­ нейного программирования мо­ жет находиться как внутри, так

и на границах области допустимых решений (ОДР). Например, решением задачи

(*, - 2)2 + (х2 - З)2 -> min;

О< jc < 5; 0 < *2 < 5

является, как легко убедиться, точка х\=2, х2-3, лежащая внутри ОДР. А для задачи с теми же ограничениями, но другой целевой функцией,

хх + х2 -> шах, решением будет точка (х\ =х2= 5) на границе ОДР.

При изучении методов линейного программирования нами был подробно рассмотрен симплекс-метод. Это алгоритм решения ЗЛП, кото­ рый гарантирует достижение ее решения (если оно существует) за конеч­ ное число шагов. В этом случае говорят, что алгоритм сходится за конеч­ ное число итераций. Таким же свойством обладает метод потенциалов, предназначенный для решения транспортной задачи. Для задач нелиней­ ного программирования подобного универсального алгоритма не сущест­ вует. В зависимости от типа этих задач разрабатываются специальные ал­ горитмы их решения, причем большинство из них не обеспечивает сходи­ мости за конечное число итераций и, следовательно, является приближен­ ными.

4.1.2. Математическая модель процесса пиления древесины на лесопильных рамах

В качестве примера задачи нелинейного программирования рас­ смотрим постановку задачи оптимизации режимов рамного пиления древе­ сины. Элементами решения здесь служат следующие пять параметров: по­ дача на один зуб пилы ип мм; шаг зубьев пил t, мм; толщина их s, мм, же­ сткость пил к , Н/мм, а также величина пути резания зубьев пил в древесине L, км, за время Г, равное периоду работы лесопильного потока. С учетом того, что лесопильная рама является головным лесопильным оборудовани­

ем, в качестве критерия оптимальности разумно принять максимум ее сменной производительности.

Приведем вывод целевой функции задачи. Предварительно опреде­ лим время т, мин, затраченное непосредственно на пиление за смену. Обо­ значим через tn время простоя лесопильной рамы при смене пил, мин. То­ гда количество перестановок пил в течение рабочей смены равно т’смДт’+ О . где Гсм - продолжительность рабочей смены, мин. Поэтому

/

где Кт- коэффициент использования рабочего времени смены; К\ - коэффициент использования лесопильного потока.

Штучная производительность лесопильной рамы, измеряемая в ко­ личестве бревен (брусьев), распиленных за смену, равна

После подстановки выражения для т из (4.4) эта формула примет следующий вид:

(4.5)

где К 0бш= К ТК Х- общий коэффициент использования рабочего времени.

Зависимость скорости подачи и от подачи на зуб wz, мм, величины хода пильной рамки Я, мм, шага зубьев пил t, мм и частоты вращения ко­ ленчатого вала лесопильной рамы п, мин _1, задается следующей форму­ лой:

Величина пути резания L выражается через период Г работы лесо-

пильного потока:i: L = Lp пТ/ю 6, где Lp- путь резания одного зуба пилы за

один ход пильной рамки, мм. Для случая, когда величина хода пильной рамки превышает среднюю высоту пропила h, мм, можно считать Lp = h. Поэтому L = hnГ/106, откуда

Подставив выражения для и и Т (4.6) и (4.7) в формулу (4.5), получим

Единственным реальным способом получения этих зависимостей является многофакторный эксперимент.

Таким образом, ограничения второй группы имеют вид:

где [Rmmax] и [d\ - заданные граничные значения соответствующих пара­ метров.

Ограничения третьей группы связаны с конечным диапазоном варьирования элементов решения и с дискретностью их задания, если это имеет место. Последнее относится к толщине s пил, шагу t их зубьев, для которых установлены стандартные значения, а также к пути резания L. Значения пути резания определяются в зависимости от числа перестановок пил за смену и, следовательно, также дискретны. Имеем поэтому

S — S’j,-,, ^2,s n . . . , S[\s , ,

Как легко заметить, целевая функция (4.8) и ограничение (4.9) яв­ ляются нелинейными функциями элементов решения wz, t, L Этого доста­ точно для следующего утверждения: задача оптимизации режимов процес­ са рамного пиления древесины является задачей нелинейного программи­ рования. На самом деле нелинейными являются и полученные экспери­ ментально ограничения второй группы, поскольку оказалось, что для адекватного описания результатов эксперимента функции f\ n f2, входящие в выражения (4.10), должны быть многочленами второго или более высо­ кого порядка.

Рассмотренная ситуация, при которой для построения оп­ тимизационной модели потребовалось сочетание аналитических и экспе­ риментальных методов, типична для технологических исследований в де­ ревообработке.

4.2. Методы отыскания экстремума для функций одной переменной

Прежде чем изучать методы решения задач нелинейного програм­ мирования, рассмотрим методы отыскания экстремума функций без учета ограничений. Точнее, ограничения могут быть, но предполагается, что они не оказывают влияния на процесс отыскания экстремума и на его резуль­ тат. Эти методы называют методами безусловной минимизации, имея в

виду отыскание минимума функций. Их изучение удобно начать с наибо­ лее простой задачи поиска экстремума функции одной переменной fix 1). Это так называемая одномерная задача оптимизации. Функцию, для которой отыскивается экстремум, будем по-прежнему называть целевой функцией.

Отметим прежде всего, что функция / (*i) может иметь как один, так и несколько экстремумов. Например, функция, изображенная на рис. 4.2, имеет четыре максимума в точках 7, 3, 5, 7 и три минимума в точ­ ках 2, 4, 6. При этом значение функции в точке 3 превосходит ее величину

для всех остальных значений аргумента х\. Такая точка называется точкой глобального максимума, а все остальные максимумы функции называются локальными. Аналогично, точка 6 будет точкой глобального минимума функции, изображенной на рис. 4.2, а точки 2 и 4 - это точки ее локального минимума.

4.2.1. Необходимые и достаточные условия экстремума

Из дифференциального исчисления хорошо известны необходимые и достаточные условия экстремума функции / (*i). Необходимое условие экстремума: если существует производная/'(* 0 функцииf(x\) в точке х\=а и эта функция имеет в точке а максимум или минимум, то f \ a ) = 0. Доста­ точное условие экстремума: если существует вторая производная функции f" (a \ то функция f(x\) имеет в точке а: максимум приf \ a ) = 0 и/"(я)<0;

минимум приf ’(a)=0 и f"(a)> 0.

Рассмотрим несколько примеров, в которых эти условия ис­ пользуются для решения простейших задач оптимизации.

4.2.2.Задача оптимизации размеров оконного блока

1.Предположим, что оконный блок одностворчатой конструкции имеет форму прямоугольника. Каким должно быть соотношение его сто­ рон, чтобы при заданной площади остекления на изготовление блока по­ шло бы наименьшее количество материала?