Diss / 16

зависимы и что временной интервал между

S(α ) ≡ SÑÒ (α ) = {X* (α )Ψγ X(α )}−1 , γ > 2.

(10)

ношения для потерь, присущих методу "фор

соседними отсчетами в выборке превосходит

мирования луча" в условиях приема сигнала

интервал корреляции процессов в каждом из

7) Метод "MUSIC" [2, 4, 7 9]

(v = 1) и воздействия помехи (v = 2). Установ

каналов приема. Последнее означает статис

лено, что по сравнению с потенциально до

тическую независимость M мерных отсчетов

S(α ) ≡ SÌ (α ) = {X* (α )UØ U*Ø X(α )}−1.

(11)

стижимым уровнем отношение сигнал/поме

выборки (i 1, K).

ха снижается в kЭ раз, где

В общем случае для указанных условий

8) Метод "основных компонент" Бартлет

k

= 1 + q sinc2

(∆) ,

широкую

известность

приобрела задача

Ý

(14)

та [2, 7 9]

оценивания неизвестных параметров [1 10]:

n — числа независимых источников сигналов,

*

*

−1

q = h2 — отнесенный к шуму уровень мощ

βv и hv (v 1, n)

— пространственной "часто

S(α ) ≡ SÁ (α ) = {X (α )UÑU Ñ X(α )}

.

(12)

ности помехи,

ты", однозначно связанной с углом прихода и

sinc(∆) =

sin(π ∆)

, ∆ = M ( β

9) Традиционный метод "формирования

1

− β ) / 2 π −

относительной интенсивностью v го сигнала.

луча" [4, 9]

π ∆

2

При этом распространение получили различ

относительное

фазовое

рассогласование

ные полуэмпирические правила оценивания

между компонентой полезного сигнала (v =1)

S(α ) ≡ SÔË (α ) = X*(α ) Φ X(α )

[1 10]. Во всех них оценка числа источников,

Φ →Φ

*

(13)

и помехой (v = 2) на раскрыве АР. Из соотно

углов прихода

и интенсивности сигналов

шения (14) следует, что метод "формирова

формируется на основе определения числа,

→ X (α )Φ X(α ).

ния луча" несет тем больше потери, чем выше

Во всех приведенных выше методах фор

положений и значений локальных максиму

уровень помехи.

мирования СФ использовались следующие

мов некоторой спектральной функции (СФ).

Метод "MUSIC"

обозначения:

В каждом из этих методов СФ формируется

Согласно (11) в нем формируется статис

X(α) = {x (α)}M

— M мерный "вектор обзора

на

основе некоторого

полуэмпирического

тика

l

l=1

правила обработки выборки наблюдений Y.

(сканирования)" по α со структурой, опреде

ляемой согласно (2);

ξ (α ) = |c (α ) |

2

*

X(α) =

Приведем правила формирования СФ для

1

*

— М М матрица, являющаяся

X (α) Ψ ~ Φ Ψ ~

(15)

ряда наиболее распространенных методов.

Φ = K YY

*

*

1) Метод "максимальной энтропии" Бер

оценкой максимального правдоподобия кор

= R1(α ) Φ R1(α ) ,

реляционной матрицы (КМ) процессов, на

*

Ψ ~ X(α)]

−1

~ = U

ØU

*

га [1, 2, 4]

где

блюдаемых на выходах М элементной АР.

c (α ) = [X (α )

, Ψ

Ø =

= I

− U

U*

матрицы,

U U

*

и U U *

суть

S(α ) ≡ S

(α ) = e*

/

ÌÝ

Ψ Φ Ψ e

m

M

C

C

c c

ш ш

m

(5)

Φ = Φ;

проекторы на "сигнальное" и "свободное от

2

e Ψ Φ ΨX(α )

→ ω

/

e Ψ X(α )

2

,

−1

M

компонент сигналов" подпространства КМ Ф.

*

Φ → Φ

*

Ψ = Φ

= {ω p q}p, q=1

— М*М — матрица,

m

mm

m

Докажем

эквивалентность

(29)

и (11).

обратная к Ф;

Для этого заметим, что для КМ Ф справедли

ωmm — элемент, находящийся на пересе

где m = 1 или m = M.

во представление

*

*

чении m го столбца и m й строки матрицы Ψ;

Φ = UC ΛC UC + UØUØ ,

2) Метод "максимального правдоподо

где

Λ

= diag(λ ,

... , λ )

— матрица собст

em — m й (m 1, M ) столбец единичной

C

1

n

бия" Кейпона [2]

венных значений сигнального подпростран

матрицы IM;

ства КМ Ф. Поэтому

*

−1

U U* — матрица проекционного опера

S(α ) ≡ SÌÏ (α ) = {X (α )Ψ Φ Ψ X(α )}

(6)

ш

ш

подпространство, "свободное от

Φ Ψ ~

= [UC Λ C U*C + U ØU*Ø]×

тора на

Φ →Φ

*

−1

компонент сигналов" КМ Ф;

→{X (α )Ψ X(α )} .

U U* — матрица проекционного опера

×U

Ø

U*

= U

Ø

U*

= Ψ .

Ø

Ø

~

3) Метод "теплового шума" [3]

c

c

тора на "сигнальное" подпространство КМ

Кроме того, Ψ2

= Ψ . Отсюда следует

Ф (U U* = I

– U U*).

~

~

S(α ) ≡ S

(α ) = {X*(α )Ψ 2

Φ Ψ X(α )} −1

(7)

c

c

M

ш ш

ÒØ

ξ (α ) = | c (α )|2 X*(α) Ψ ~ X(α) =

Правила формирования проекционных

Φ →Φ

*

2

−1

операторов на основе анализа собственных

*

−1

(α )

Ψ ~ X(α)]

.

→{X (α )Ψ X(α )} .

= [X

значений матрицы Φ можно найти в [10].

4) Метод "Борджотти Лагунаса" [4]

Оценим

потери,

присущие методам

Таким образом, мы установили, что метод

S(α ) ≡ SÁË (α ) ≡ SÒØ(α ) / SÌÏ(α )

(8)

(10 13).

"MUSIC" использует вектор пространствен

Метод "формирования луча"

ной обработки

R (α ) = |c (α )|

Ψ X(α ) .

*

*

2

Φ →Φ

Согласно (13) в указанном методе фор

1

~

→ X (α )Ψ X(α ) /

X (α )Ψ X(α).

мируется статистика

Оценка

потерь,

присущих

методу

5) "Модифицированный алгоритм Кейпо

"MUSIC", в тестовой ситуации приема сигна

ξ (α )

на" [5]

= R*(α ) Φ R (α ) =

ла (v =1) М элементной линейной АР при воз

1

1

S(α ) ≡ SÌÀÊ (α ) ≡ SÌÝ(α ) / SÌÏ(α )

(9)

= K −1 R1*(α ) YY* R1(α) ,