Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Diss / 11

.pdf
Скачиваний:
45
Добавлен:
27.03.2016
Размер:
1.14 Mб
Скачать

УДК 621.396.965

СТАТИСТИЧЕСКИЙАНАЛИЗНЕКОТОРЫХ«СВЕРХРАЗРЕШАЮЩИХ» МЕТОДОВПЕЛЕНГАЦИИИСТОЧНИКОВШУМОВЫХИЗЛУЧЕНИЙ В АР ПРИ КОНЕЧНОМ ОБЪЕМЕ ОБУЧАЮЩЕЙ ВЫБОРКИ

STATISTICAL ANALYSIS OF SOME “SUPERRESOLUTION” NOISE DIRECTION FINDING METHODS IN ARRAY ANTENNA AT FINITE NUMBER OF SNAPSHOTS

Д.И. Леховицкий, П.М. Флексер, Д.В. Атаманский, И.Г. Кириллов

D.I. Lekhovitsky, P.M. Flexer, D.V. Atamansky, I.G. Kirillov

Сравнивается эффективность некоторых «сверхразрешающих» методов оценивания в АР пространственного спектра гауссовских шумовых излучений при конечном объеме обучающей выборки в максимально правдоподобных оценках их корреляционных матриц. Сравнение базируется на анализе точных или эмпирических законов распределения случайных параметров, определяющих разрешающую способность соответствующих методов по статистическим и нестатистическим критериям. Показаны существенные различия этих законов, в силу которых выводы о сравнительных достоинствах различных методов, основанные на анализе их асимптотических свойств, могут меняться на противоположные в реальных условиях выборок малого объема. Устанавливаются причины этих отличий и вытекающие из их анализа возможности повышения «быстродействия» адаптивных методов пеленгации источников шумовых излучений.

Abstract. The paper presents the comparison of effectiveness of some "superresolution" methods for spatial spectrum estimation of Gaussian noise radiation in array antenna at finite number of snapshots, given by the maximum likelihood estimations of their covariance matrices. The comparison is based on the analysis of exact or empirical laws of random parameters distribution that determine resolution capabilities of these methods regarding statistical and non-statistical criteria. Essential differences of these laws are shown due to which conclusions on comparative merits of different methods based on the analysis of their asymptotic properties may change to opposite at the actual conditions of small sampling. The paper examines the reasons of the differences and possibilities to improve performance of the adaptive noise direction finding methods resulting from the analysis of these differences.

1. Введение и постановка задачи

Практические потребности в «сверхрэлеевском» разрешении источников шумовых излучений и повышении точности измерения их угловых координат стимулировали разработку большого числа «сверхразрешающих» методов пеленгации в АР [1-19 и др.]. Достоинства этих методов обеспечиваются оптимизацией обработки (по тем или иным критериям), опирающейся на статистические характеристики (многомерные плотности распределения) выходных сигналов АР. В типичных для практики условиях параметрической априорной неопределенности в синтезированных алгоритмах вместо априори неизвестных истинных значений параметров распределений используются те или иные их оценки, формируемые по обучающим выборкам конечного объема. Обусловленная этим случайность оценок приводит и к случайности параметров, характеризующих эффективность используемых методов. Поэтому их статистически корректное сравнение в этих условиях должно базироваться на анализе законов распределения соответствующих случайных параметров.

Статистическому исследованию «сверхразрешающих» методов пространственновременного спектрального анализа (ПВ СА), в том числе для решения задач пеленгации точечных источников шумовых излучений в АР, уделено большое внимание в литературе [1-16, 22, 26 и др.]. Тем не менее в связи с многочисленностью методов, решаемых ими задач и используемых критериев эти исследования ни в коей мере нельзя считать завершенными. В данной статье в развитие [15-20] анализируются точные или эмпирические (по результатам моделирования) законы распределения спектральных функций (СФ) некоторых известных методов ПВ СА при конечном объеме обучающей выборки в максимально правдоподобной (МП) оценке корреляционной матрицы (КМ) гауссовских шумовых излучений на выходах АР. Помимо самостоятельного значения этот анализ позволяет обосновать простые модификации рассматриваемых методов, существенно улучшающие их статистические свойства [33].

Статья организована следующим образом. В п.2 формулируются исходные модели и допущения. В п.3 рассматриваются потенциальные возможности разрешения-обнаружения гауссовских шумовых (по времени) квазигармонических (по пространству) сигналов при оптимальной по критерию Неймана-Пирсона обработке в гипотетических условиях полной априорной определенности. В п.4 после краткого описания методики приводятся точные плотности распределения случайных СФ некоторых методов ПВ СА при различных объемах обучающей выборки в МП оценках КМ. На этой основе сравнивается их разрешающая способность по статистическому (п.5) и нестатистическому (п.6) критериям. В п.7 вскрываются причины отличий и вытекающие из них способы улучшения статистических свойств рассматриваемых методов ПВ СА.

2

2. Исходные соотношения, модели и допущения.

Случайные спектральные функции (СФ)

S (α) = S(α, Ø ) рассматриваемых методов ПВ

СА имеют вид

 

(α) = (X (α) Ø X(α))1,

 

 

 

 

 

 

 

 

S (α) = S1

 

 

 

 

 

 

(МД)

 

)

)

)

 

 

 

)

X(α)

 

2

,

m 1, M ,

 

 

 

(ЛП)

 

 

 

 

 

 

 

 

S (α) = S2

(α) mm

 

em Ø

 

 

 

 

 

 

)

)

)

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

)

 

2

, m 1, M ,

(MAK)

(1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S (α) = S3

(α) mm X

(α) Ø X(α)

em

Ø X(α)

 

 

)

)

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 X(α))1 ,

 

 

S (α) = S4

(α) = X (α) Ø

X(α) (X (α) Ø

(БЛ)

 

)

)

 

 

 

 

)

2 X(α)1.

 

 

 

 

 

 

 

 

S (α) = S5

(α) = (X (α) Ø

 

 

 

 

 

 

(ТШ)

 

СФ S1(α)

характеризует метод «минимальной дисперсии (МД)» Кейпона [1-6, 14, 22,

25], S2 (α) - метод «линейного предсказания (ЛП)» Берга [1, 2, 6, 24, 27], S3 (α)

- одну из

разновидностей «модифицированного алгоритма Кейпона (МАК

[16-19], S4 (α) - метод

Борджотти-Лагунаса (БЛ) [3, 6],

S5 (α) - метод «теплового шума (ТШ)» [6,14, 27].

 

Во всех СФ

X(α) ={xl (α)}lM=1 - неслучайный M - мерный вектор фазирования (поиска) в

«направлении»

α, зависящий

от

пространственного

расположения

и характеристик M

приемных элементов (модулей) АР. В частности, для линейной эквидистантной АР из идентичных изотропных элементов (ЛЭАР)

X(α) ={exp( j(l (M +1) / 2)α }lM=1 , α = 2π d sinθ / λ,

(2)

где θ - отсчитываемое от нормали АР направление поиска, d - расстояние между ее смежными элементами, λ - длина волны.

Через em в (1) обозначен m -й ( m 1, M ) столбец единичной M ×M матрицы IM ( M -

мерный вектор с единственным ненулевым ( m -м) элементом, равным единице), ( ) -знак

эрмитового сопряжения.

 

 

 

 

Статистические свойства параметров СФ (1) определяются свойствами случайной

M ×M

матрицы

 

 

 

 

Ψ ={ω)

ij

} M

= Ф1,

(3)

 

i, j=1

 

 

обратной используемой оценке Ф = {ϕ)

}M

априори неизвестной пространственной КМ

ij

 

i, j=1

 

 

Ф ={ϕ

 

}M

 

ij

=

Y Y *

 

i, j=1

 

l l

M-мерных случайных векторов комплексных амплитуд

вl -й ( l 1, L ) дискретный момент времени.

 

 

(4)

Y ={y(l) }M

выходных сигналов АР

l

i i=1

 

3

Эти векторы, как обычно [3-14], будем полагать нормальными (гауссовскими) взаимно независимыми с нулевыми средними значениями и одинаковой КМ (4):

Y ~ N

(0,Ф),

Y

= 0,

Y Y*

= Фδ

lm

, l,m 1, L .

(5)

l c

 

l

l m

 

 

 

Здесь δl m - символ Кронекера, черта сверху, как и в (4) - знак статистического усреднения по ансамблю.

Сформированная по выборке

Y ={Y

} L

объема

L 1

случайная матрица

 

l

l=1

 

 

 

 

)

 

 

1

 

1

 

 

Ф ={ϕ)ij }M

=

YY* =

A ,

(6)

L

L

 

i, j=1

 

 

 

 

в условиях (5), как хорошо известно, является МП оценкой неизвестной КМ (4). Именно ее использование в (3) предполагается ниже при анализе статистических свойств методов (1). Анализ существенно опирается на известное свойство оценки (6), связанное с тем, что

определяющая ее случайная

M ×M матрица

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A ={aij }iM, j=1 = YY* = Yl Yl*

 

(7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l=1

 

 

 

при L M

имеет комплексное распределение Уишарта [22, 23, 29] с плотностью

 

 

 

 

 

 

p(A) = p(A;Ф,δ )= I 1(Ф)

 

A

 

δ exp{tr(Ф1A) },

δ = L - M 0 .

(8)

 

 

 

 

 

 

 

Здесь

 

C

 

 

и tr(C) - детерминант и след матрицы С,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

I (Ф) M (M 1) / 2

 

Ф

 

M Г(M +δ +1i) - нормирующий множитель,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

Г(x) гамма-функция [31], для целого

x = m 1

равная

Г(m) = (m 1)!.

 

Напомним, что

 

под

плотностью

p(C)

комплексной матрицы

C ={ci l },

cil = Recil + j Imcil , понимается совместная плотность реальных (Recil ) и мнимых (Imcij )

частей определяющих ее случайных комплексных элементов [29]. Тем самым (8) фактически

описывает совместную плотность p(a ,a

22

,..,a

MM

,Re a

il

,Im a

il

) , i 1, M 1; l i +1, M M 2

11

 

 

 

 

 

 

действительных случайных величин, образованных из

 

M

действительных диагональных и

M (M 1) реальных и мнимых частей комплексных наддиагональных элементов эрмитовой

матрицы A (7), полностью ее определяющих.

 

 

 

 

 

 

 

 

Параметрами плотности (8) являются значение

δ = L M 0 («эффективный объем

выборки») и истинная КМ Ф (4), что отражено обозначением p(A;Ф,δ ).

Для истинной КМ мы будем считать допустимым представление [4-14, 20]

4

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

Ф = IM +hi X(βi )X* (βi ) = IM +G h G*

.

(9)

G ={X(β

)} n

 

i=1

) ={x (β

)} M

 

h = diag{h

,

X( β

,

} n

 

i

i=1

 

i

l i

l=1

 

i

i=1

 

Оно предполагает взаимную независимость

 

собственных

шумов M

приемных

элементов с одинаковой (принятой за единицу) дисперсией (мощностью) и

некоррелированность излучений

n внешних источников с относительными (по отношению к

уровню собственных шумов элементов)

уровнями (ОСШ) hi (i 1,n) . M -мерные векторы-

столбцы X(βi ) M ×n матрицы

G (9) описывают амплитудно-фазовое распределение по

апертуре излучений с «направлений»

βi (i 1,n).

В частности, для ЛЭАР они имеют вид

(см.(2))

 

 

 

 

X(βi ) ={exp(j(l (M +1) / 2)βi )}lM=1,

βi = 2π d sinθi / λ, i 1,n ,

(10)

где θi - отсчитываемое от нормали АР направление на i -й источник.

Матрица Ø , обратная

Ф (9), равна

 

 

 

 

Ø ={ω

ij

}M

= Ф1 = I

M

G( h1

+G G)1G* .

(11)

 

i, j=1

 

 

 

 

Последнее равенство в (5), а также (9), (10) отражают шумовой по времени и квазигармонический по пространству характер сигналов точечных источников, в связи с чем далее для краткости они называются шумовыми квазигармоническими. Кроме того, в силу однозначной связи истинных (θ ) и «обобщенных» (α, β ) направлений далее без оговорок и

кавычек используются только последние.

3. Потенциальные возможности разрешения-обнаружения шумовых квазигармонических сигналов.

Развитая в [20, 21] статистическая теория рассматривает различные виды и критерии разрешения. Здесь мы используем известные понятия и термины теории квазиполного разрешения-обнаружения, в соответствии с которой n сигналов в шуме считаются разрешенными, если статистические характеристики обнаружения (условные вероятности ложной тревоги (ВЛТ) F и правильного обнаружения (ВПО) D ) каждого из них, поочередно выступающих в роли полезного, в присутствии (n 1) -го остальных, выступающих в роли мешающих, остаются не хуже допустимого предела.*)

*) Широкий круг исследований последних лет [2, 4, 7-14 и др.], в которых разрешение увязывается с точностью оценивания угловых координат (степенью близости ошибок оценивания к границе Крамера-Рао), с позиций теории [20, 21] относится к квазиполному разрешению-измерению.

5

В такой постановке процедура пространственного разрешения сводится к проверке

гипотез H1

о наличии или H0 - об отсутствии источника излучений в последовательно или

параллельно

проверяемых сигнальных направлениях α αн,αк из выбранного сектора

(αн,αк ). Потенциальные возможности разрешения-обнаружения обеспечиваются оптимальной

обработкой принятой реализации в гипотетических условиях полной априорной определенности.

Применительно к моделям п.2 последнее означает знание зависящих от направления

поиска α КМ Ф0

 

и

Ф1

векторов

Yl (5) по гипотезам H1 и

H0 . С КМ Ф (9) они связаны

равенствами

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= Ø

 

1

,

 

α

≠ βl ,

 

 

 

 

Ф =

Ф0

 

0

 

l 1,n .

(12)

 

 

 

 

 

 

 

 

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(βl ) , α

= βl ,

 

 

 

 

 

 

Ф1

= Ф0 +hl X(βl )X

 

 

Оптимальная

 

по

критерию

 

Неймана-Пирсона

обработка K -мерной

реализации

(выборки) Y ={Y

 

} K

в этом случае сводится к формированию статистики [18, 21]

l

l=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*

 

)

 

 

 

1

 

 

 

 

*

 

 

 

ξ(α) = R0

(α)ФR0 (α) =

 

 

z(α) ,

z(α) = R0 (α)AR0 (α) ,

R0 (α) = Ø 0 X(α),

(13)

K

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и сравнению ее с порогом v0 (α) , обеспечивающим заданную ВЛТ

F =

v0 (α)

 

pξ0 (x) dx = pz0 (x) dx .

(14)

K v0 (α)

Здесь

pξ0 (x) и

pz0 (x) - плотности распределения статистик

ξ(α) и z(α)

по гипотезе

H = H0

отсутствия источника в анализируемом направлении

α .

 

 

Используя (8) при M =1 и

L = K

и учитывая (12),

 

нетрудно убедиться [19], что

p

(x) = p

z

(x,σ 2 ) ,

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pz (x,σ

2

) =

 

 

1

 

x

K 1

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

exp

 

 

-

(15)

 

 

 

 

 

 

σ 2

 

σ 2

σ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

(K 1)!

 

 

 

 

 

 

плотность гамма распределения с целым параметром формы K (распределение Эрланга [30]) и масштаба

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

*

*

 

 

 

σ 2 (α) =

 

= R*0

(α)ФR0

(α) = σ

0 (α) = R0Ф0R0 = X

(α)Ø 0 X(α) ,

α ≠ βl ,

(16)

ξ(α)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ12 (α) 02 (1+ µl ) ,

 

α = βl ,

l 1,n

 

µ

 

=

σ 2

−σ 2

 

 

)Ø

 

X(β

) , α = β

, l 1,n .

 

(17)

l

 

1

0 = h X* (β

0

 

 

 

 

 

 

σ 2

l

l

 

l

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из (14)-(16) следует, что требуемый пороговый уровень равен

6

v

0

(α) = x σ 2 (α) / K ,

 

 

 

 

(18)

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

где x0 - корень уравнения F (x0 ) , а функция

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K1xi / i!

 

 

 

ϕ(x) = pz (x,1) dx = ex

 

 

(19)

 

x

 

 

 

i=0

 

 

 

 

 

представляет собой «функцию выживания [30]» распределения Эрланга с

σ 2 =1. При этом

ВПО полезного (с направления поиска

α ) сигнала при

α = βl

 

 

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

 

 

D = D(µl ) =

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pz (x,σ1

) dx

 

 

 

, l

1,n ,

(20)

 

 

 

 

K v0 (α)

 

 

 

1

+ µl

 

 

 

полностью определяется параметром обнаружения

 

µl

(17)

, имеющим очевидный смысл

«оптимального» ОСП (ООСП) - отношения мощности «полезного» сигнала к мощности

помехи (смеси «мешающих» сигналов (с направлений

βi ≠α ) и шумов каналов приема) после

оптимальной обработки. Его удобно записать в виде

 

 

µl = ql kэ, ql = rhl , kэ = X* (βl )Ø 0 X(βl ) / r,

r = X* (βl )X(βl ) , l 1,n ,

(21)

где ql - ООСП в отсутствие «мешающих» сигналов (при наличии только собственного шума),

которое мы далее называем ООСШ (чтобы подчеркнуть отличие от ОСШ hl

в элементах АР),

kэ 1- коэффициент использования энергии «полезного» сигнала [20], характеризующий

его потери из-за наличия «мешающих».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В частности, для ЛЭАР при

n = 2

 

и

α = βi , когда, в силу (9)-(12),

 

G = X(β

2

) ,

r = M ,

 

Ø

0

= I

M

 

h

/(1+q

2

)X(β

2

)X* (β

2

)

(22)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

из (21) получим [18-21]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

µ = q k

э

, k

э

=1

 

q2

 

 

 

ρ

 

2 ,

q

i

= Mh , i =1, 2 .

 

 

(23)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

1+q2

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

Здесь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ρ = X* (β1)X(β2 ) / r sin π ∆/π ∆ -

 

 

 

 

(24)

коэффициент пространственной корреляции «полезного» и «мешающего» сигналов, зависящий от относительного углового расстояния

∆ = (β2 − β1) / 0 ,

0 = 2π / M

(25)

между ними, 0 - полуширина синфазной диаграммы направленности (ДН) M -

элементной

ЛЭАР по уровню первых нулей. Приближенное равенство в (24) справедливо при

M >>1 и

∆ ≤1, то есть в условиях, представляющих основной интерес для дальнейшего.

 

7

 

На рис.1а показаны рассчитанные

по (20),

(19)

семейства

 

зависимостей

D = D(µ) ,

 

µ = qk

э

,

q = q для различных значений

F

и объемов K

выборки

Y =

{Y

} K , а на рис.1б -

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

l=1

 

 

 

зависимости kэ()

(23)-(25) для набора значений ООСШ

 

qM = q2

«мешающего» сигнала.

 

Они позволяют определить статистические характеристики обнаружения (F, D) полезного

 

сигнала с ООСШ q

в зависимости от углового расстояния

 

∆ ≤1 между ними и, тем самым -

 

возможности их углового разрешения-обнаружения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 kЭ,дБ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.8

K=100

 

 

K=20

 

K=5

 

K=1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.6

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

 

 

 

-6

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 F=10-4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 qM=0дБ

 

 

0.4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 F=10-6

 

 

 

 

3

 

 

 

 

2

 

5дБ

 

 

0.3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 10дБ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 F=10-8

 

 

-10

 

 

 

 

 

 

4

 

15дБ

 

 

0.2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

5

 

20дБ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

µ=qkЭ

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.1

 

 

 

1

 

 

а)

 

 

10

 

 

100

 

0.1

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть,

например,

q = 20 (13 дБ) , K = 5 ,

а

ВПО

должна

быть

 

не

ниже

значения

 

D D

 

 

= 0.5

 

при ВЛТ

F =106 . Как следует из рис.1а, для этого требуется значение µ ≥ 4 и,

 

доп

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

следовательно,

 

kэ 0.2 (7 дБ) . В соответствии с рис.1б, для

qM =10 дБ

такое значение

kэ

 

обеспечивается

при

 

 

∆ ≥ 0.19 ,

для

 

qM =15 дБ-

при

 

∆ ≥ 0.22 . При

∆ ≥ 0.23

оно

 

обеспечивается и для

 

qM → ∞ .

Соответствующая нижняя граница

∆ = ∆min , как видно из

 

приведенных примеров и было показано еще в [20], может быть меньше рэлеевского предела

 

∆ = ∆p 1. Эта граница обеспечивается только в гипотетических условиях полной априорной

 

определенности при оптимальной обработке (13) сигналов, описанных в п.2, и потому

 

характеризует потенциальные возможности их разрешения-обнаружения.

 

 

 

 

 

 

«Сверхрэлеевское» разрешение «покупается» увеличением пороговой энергии

 

полезного сигнала в

q / µ = kэ1

раз. Однако при оптимальной обработке (13) затраты энергии

 

(21), (23) минимальны или, что эквивалентно, максимально эффективно используются для

 

разрешения. Так,

в тестовой ситуации двух ( n = 2 )

равномощных сигналов ЛЭАР значение

 

min обратно пропорционально

q

при «малых» и

q - при «больших» объемах выборки К.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Граница между «малыми» и «большими» объемами определяется требуемыми значениями D

и F [18, 19]. В частности, при D = 0.5 и

F =106

 

min 1/ q при K 5

и min 0.577 / q при K 35 .

(26)

Обработка в реальных условиях априорной неопределенности неизбежно связана с дополнительными затратами энергии полезного сигнала и (или) с ростом требований к объему выборки (интервалу наблюдения). Эти затраты и требования, выступающие естественным «пропуском» тех или иных методов к работе в соответствующих условиях,

определяются законами распределения формируемых ими статистик. Ниже в роли этих статистик выступают случайные СФ методов (1), в которых вместо неизвестных КМ (9), (11) используются их МП оценки (6), (3).

4. Законы распределения спектральных функций в «точке».

Составным этапом оптимального разрешения-обнаружения является сравнение

статистики (13) в точках анализа

α (αн,αк )

с порогом (18). Статистические характеристики

пороговой обработки случайных

СФ S (α)

(1) определяется законами (плотностями или

функциями) распределения их значений в этих точках (мы пока (до п.6) не останавливаемся на возможности формирования необходимых порогов). При выводе этих законов мы полагаем, что

МП оценки (6), (3) сформированы по обучающей выборке

 

Y ={Y } N

объема N M

 

 

 

l

l=1

 

векторов Yl со свойствами

(5) и, следовательно, матрица

A (7)

имеет распределение

Уишарта (8):

 

 

 

 

 

A = YY* ,

p(A)= p(A;Ф,δ ), δ = N-M

0 .

 

 

(27)

Не имея возможности привести здесь достаточно сложные и громоздкие выкладки, мы ограничимся изложением только методики и результатов точного вычисления плотности

распределения первых трех СФ (1), зависящих непосредственно от матрицы Ø . Плотности двух последних, зависящих от квадрата этой матрицы, авторам пока неизвестны. Их эмпирические законы распределения получены с помощью математической модели, предварительно тестированной по точным результатам.

Сущность методики заключается в следующем. Введем эрмитову k ×k

матрицу

Q ={q)

} k

= Z*A1Z = N 1Z*ØZ , Z ={Z

} k

, k M ,

(28)

ij

i, j=1

i

i=1

 

 

где A - случайная матрица (27),

Z - неслучайная матрица полного столбцевого ранга (с k M

линейно независимыми M -мерными столбцами Zi , i =1,k ).

Как показано в [15], k ×k

случайная матрица

9

 

 

 

 

 

 

 

)

}k

= Q1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R ={r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ij

 

i, j=1

 

 

 

 

 

 

 

в условиях (27) имеет распределение Уишарта

 

 

 

 

 

 

)

 

)

 

δ

)

 

 

 

 

k (k1)

Ù 1

 

δ +k

k

 

 

 

 

d

 

 

 

p(R)= d 1

 

R

 

 

exp{tr(Ù R)},

 

2

 

 

 

Г(k +δ −i +1)

с неслучайной k ×k

матрицей параметров

Ù 1 ,

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ù ={

ij

}k

 

= Z*Ø

Z .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i, j=1

 

 

 

 

 

 

 

 

(29)

(30)

(31)

 

При k = M

и

Z = IM , когда

Ù = Ø , Ù 1 = Ф, Q = A1

и, следовательно, R = A ,

распределение (30) переходит в (8).

 

 

 

 

 

 

Пусть

k =1

и

Z = Z1 = X(α). При этом матрицы (28)-(30) преобразуются в скаляры

Ω = S11(α),

1 = S1(α), d ! S1(α)δ +1,

)

)

)

)

(α), а распределение (30) – к

Q = (N

S1(α))1, R = N S1

 

)

 

 

)

)

(α)}.

 

плотность распределения СФ

виду

p(R)= (δ !S1(α))1 (R / S1(α))δ exp{R / S1

Поэтому

S1 (α)= R / N

метода МД Кейпона равна

 

 

 

 

 

 

(x)=

1

 

 

1

 

 

x

δ

 

 

 

x

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

δ = N M ,

PS1

δ!

 

S (α)/ N

 

S

(α)/ N

exp S

(α)/ N

,

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

где S1(α)- «истинное» значение этой СФ (при

Ø = Ø ).

 

 

При этом более удобная для последующего анализа «нормированная» СФ

ν = S(α)/ S(α)

с плотностью распределения

pν (x)= S(α) pS) (S(α) x),

для метода МД равна

(32)

(33а)

(33б)

pν (x)= pν1 (x)= (δ ! )1 N (N x)δ exp{N x }.

(34)

Плотности (32), (34) впервые получены еще в [22] и затем «перевыведены» в [23]. В [19, 28] они получены и для МП оценок персимметричных КМ, возможных, в частности, в АР с центральной симметрией расположения попарно идентичных приемных элементов (модулей) [3, 18]. Обсуждение особенностей, связанных с такой, а также другой спецификой КМ, является предметом отдельной публикации.

Пусть теперь k = 2 , а Z = {Z1, Z2 }- M ×2

матрица со столбцами

Z1 = em ,

Z2 = X(α),

m 1, M .

(35)

При этом плотность (30) 2 ×2

 

)

2

равна

матрицы R = {rij }i, j=1

10

Соседние файлы в папке Diss