Эконометрика. Тихомиров

Для каждого индивидуума t (t=1,2,...,Т) модель, определяющая вероятности двух событий, может быть представлена в виде следующей системы:

интерпретироваться в терминах выгоды, получаемой в зависимости от принятого решения соответственно в первом и во втором случаях; х1t и х2t –

векторы значений независимых факторов, соответствующих сделанному выбору; 1t и 2t – ошибки соответственно первого и второго уравнений; –

коэффициент ковариации ошибок 1 и 2.

Закон совместного распределения ошибок модели 1 и 2 в общем случае характеризуется следующими параметрами:

M[1]=M[2]=0;

D[1]=D[2]=1* ;

Cov[1, 2]= ,

Согласно модели (10.72) возможны следующие комбинации решений:

* Допущение равенства дисперсий – не слишком сильное. Если дисперсия ошибки принимает вместо 1 значение 2, то это равносильно умножению всех коэффициентов на . Знак произведения x при этом не изменится. Соответственно не изменится и соотношение между латентной переменной y* и наблюдаемой переменной y.

где u1 и u2 – переменные интегрирования и плотность этого распределения имеет следующий вид:

Для определения маржинальных эффектов в модели (10.72) введем в

рассмотрение вектор хt, являющийся объединением векторов х1t и х2t* , и

вектор коэффициентов 1, такие что 1 х1t=1 хt. Вектор 1 составлен из элементов вектора коэффициентов 1 и нулей, стоящих на позициях,

которые соответствуют переменным второго уравнения. Аналогичным образом введем вектор коэффициентов 2: 2 х2t=2 хt. Тогда вероятность того, что значения y1 и y2 одновременно будут равны единице определяется следующим выражением:

Маржинальные эффекты независимых факторов xt для P(y1=1, y2=1) могут быть определены согласно следующему выражению:

* хt =[х1t, х2t] .

Многомерные модели бинарного выбора с цензурированием.

Бывают ситуации, когда наблюдаемые переменные в двумерной probit-

модели цензурируют одна другую. Например, при оценке возможности кредитования Бойз (Boyes et al., 1989) анализировал данные по следующему правилу:

y1=1, если индивидуум t не получает кредит, y1=0 в противном случае; y2=1, если индивидуум t просит кредит, y1=0 в противном случае.

Для конкретного индивидуума переменная y1 не наблюдаема, пока y2 не принимает значение 1. Таким образом, возможны следующие наборы значений зависимых переменных:

(Сравните с (10.73)).

Вероятности событий, определенных выражениями (10.82), согласно

где Ф(.) – функция закона нормального распределения, а функция 2(.)

определена выражением (10.75).

10.3.2. Модели множественного выбора

От многомерных probit-моделей отличаются модели множественного выбора. Многомерные probit-модели предполагают принятие нескольких решений, каждое из которых заключается в выборе одного из двух альтернативных вариантов. В моделях множественного выбора нужно принять одно решение, но выбрать между тремя и более вариантами. Часто рассматриваются два возможных типа альтернатив: упорядоченные и неупорядоченные. Например, выбор средств добраться до работы (на машине, на метро, на автобусе и т. д.) – выбор среди неупорядоченных вариантов. Выбор ценных бумаг, исходя из их рейтинга, – выбор среди упорядоченных вариантов.

Рассмотрим сначала модели с неупорядоченными альтернативными

вариантами.

В них предполагается, что наблюдаемое значение выбора t-м

индивидуумом j-го варианта (уt=j) связывается со значениями факторов,

сопутствующих его выбору, эконометрическим уравнением следующего вида:

где – функция, отражающая характер влияния факторов на выбор t-м

индивидуумом j-го варианта; tj – ошибка модели; – вектор параметров модели; ztj – вектор независимых переменных –значений факторов,

влияющих на выбор t-го индивидуума, которые могут характеризовать самого индивидуума, альтернативный вариант, либо и то и другое одновременно. Например, при выборе торгового центра для покупки набора товаров вектор ztj может иметь следующую структуру:

Из-за сложности вычисления многомерных интегралов в выражении

(10.87) модели, основанные на нормальном распределении ошибок (probit-

модели), не нашли широкого применения в исследованиях множественного выбора.

Определение вероятностей выбора Р(уt=1), Р(уt=2),..., Р(уt=J) существенно упрощается, если предположить, что ошибки tj независимы и распределены

Тогда их совместная плотность распределения может быть представлена в

следующем виде:

На основании выражения (10.89) получим, что вероятность выбора выбора t-м индивидуумом j-го варианта определяется как

Выражение (10.91) лежит в основе logit-моделей множественного выбора.

Заметим, что при способе формирования независимых факторов,

соответствующем выражению (10.85), вероятность выбора t-м индивидуумом j-го варианта будет зависеть от тех факторов, которые отражают характеристики только варианта j (число магазинов в j-м торговом центре)

либо совместные характеристики варианта j и индивидуума t (например,

расстояние от дома индивидуума до торгового центра является их совместной характеристикой).

отражающими характеристики варианта j и совместные характеристики

варианта j и индивидуума t, а вектор wt – факторами, отражающими исключительно характеристики индивидуума t (например, доход). Вектор параметров также представим как совокупность двух векторов =[*, ],

где * – вектор коэффициентов, соответствующих независимым переменным

хtj, а – вектор коэффициентов, соответствующих независимым переменным wt. Введя такое представление в модель (10.88), получим следующее выражение, определяющее вероятность выбора t-м индивидуумом j-го варианта:

Из выражения (10.92) непосредственно следует, что независимые переменные wt, которые характеризуют индивидуума (но не характеризуют альтернативный вариант), действительно не будут влиять на распределение вероятностей выбора.

Для учета влияния признаков индивидуумов в модели (10.91) необходимо сформировать несколько другую структуру векторов ztj, отличающуюся от структуры, определенной выражением (10.85). Вектора ztj должны выглядеть следующим образом:

где L – число компонент в векторе wt.

В рассмотренном выше примере, когда индивидуум с доходом Dt

выбирает один из трех торговых центров в соответствии с выражением

где Kj – число магазинов в j-м торговом центре, Rtj – расстояние от дома t-го индивидуума до j-го торгового центра.

Таким образом, вероятность выбора t-м индивидуумом j-го альтернативного варианта ставится в зависимость и от характеристик варианта и от характеристик индивидуумов. Однако на практике обычно формируются модели, содержащие только какой-либо один набор однородных факторов. Logit-модель, учитывающая влияние на вероятность выбора t-м индивидуумом j-го альтернативного варианта факторов хtj,

включающих характеристики варианта j и совместные характеристики