- •Ограничения
- •Основные определения
- •Объект исследования
- •Параметр оптимизации
- •Виды параметров оптимизации
- •Требования к параметру оптимизации
- •Факторы
- •Определение фактора
- •Требования, предъявляемые к факторам при планировании эксперимента
- •Требования к совокупности факторов
- •Нормирование переменных модели
- •Выбор модели
- •Шаговый принцип
- •Как выбрать модель?
- •Полиномиальные модели
- •Полный факторный эксперимент
- •Принятие решений перед планированием эксперимента
- •Выбор основного уровня
- •Выбор интервалов варьирования.
- •Полный факторный эксперимент
- •Свойства полного факторного эксперимента типа 2k
- •Полный факторный эксперимент и математическая модель
- •Дробный факторный эксперимент
- •Минимизация числа опытов
- •Дробная реплика
- •Выбор полуреплик. Генерирующие соотношения и определяющие контрасты
- •Выбор 1/4-реплик. Обобщающий определяющий контраст.
- •Реплики большой дробности
- •Проведение эксперимента
- •Ошибки параллельных опытов
- •Дисперсия параметра оптимизации
- •Проверка однородности дисперсий
- •Рандомизация
- •Разбиение матрицы типа 2k на блоки
- •Обработка результатов эксперимента
- •Метод наименьших квадратов
- •Регрессионный анализ
- •Проверка адекватности модели
- •Проверка значимости коэффициентов
- •Принятие решений после построения модели
- •Принятие решений после построения модели процесса
- •Построение интерполяционной формулы, линейная модель неадекватна
- •Крутое восхождение по поверхности отклика Движение по градиенту
- •Расчет крутого восхождения
- •Реализация мысленных опытов
- •Принятие решений после крутого восхождения
- •Крутое восхождение эффективно
- •Крутое восхождение неэффективно
Нормирование переменных модели
В процессе эксперимента осуществляются различные комбинации уровней факторов. Эти факторы, как правило, имеют различную физическую природу и размерность. Для упрощения записи и обработки результатов уровни факторов нормируются.
Середине области определения выходной переменной объекта соответствует некоторая комбинация уровней факторов. Эти уровни факторов принимаются как основные (исходные, нулевые, начальные).
Построение плана эксперимента сводится к выбору интервала варьирования факторами , то есть к выбору экспериментальных точек, симметричных относительно основного уровня.
Чаще всего эксперименты проводятся только на двух уровнях факторов. Такие эксперименты называются экспериментами типа . При таком эксперименте уровни факторов представляют собой границы исследуемой области по данному фактору . Тогда для любого фактора имеем
;
.
Точка с координатами называется центром плана (основным уровнем); — интервал варьирования по оси . Величина своя для каждого фактора. Прибавление к основному уровню дает верхний, а вычитание — нижний уровень фактора.
От системы координат перейдем к новой безразмерной системе координат путем следующего линейного преобразования координат
,
где — нормированное значение j- го фактора;
—натуральное значение j- го фактора ;
—натуральное значение основного уровня.
В нормированном виде для всех факторов верхний уровень равен +1, нижний уровень равен , координаты центра плана равны нулю и совпадают с началом координат.
Нормирование переменных существенно упрощает планирование эксперимента, обработку его результатов, построение модели объекта с безразмерными переменными, упрощение модели и проверку ее адекватности. После построения модели с нормированными факторами и оценки ее адекватности от этой модели переходят к модели с натуральными факторами , используя нормирующие соотношения
Выбор модели
Под моделью мы понимаем функцию отклика
Выбрать модель – значит выбрать вид этой функции, записать ее уравнение. Тогда останется спланировать и провести эксперимент для оценки численных значений констант (коэффициентов) этого уравнения.
Построим геометрический аналог функции отклика – поверхность отклика. Будем для наглядности рассматривать случай с двумя факторами.
Заметим, что в случае многих факторов геометрическая наглядность теряется. Мы попадаем в абстрактное многомерное пространство, где у нас нет навыка ориентирования. Приходится переходить на язык алгебры.
Мы хотим изобразить геометрически возможные состояния «черного ящика» с двумя входами. Для этого достаточно располагать плоскостью с обычной Декартовой системой координат. По одной оси координат будем откладывать в некотором масштабе значения (уровни) одного фактора, а по другой оси – второго. Тогда каждому состоянию «ящика» будет соответствовать точка на плоскости.
Для факторов существуют области определения. Это значит, что у каждого фактора есть минимальное и максимальное возможные значения, между которыми он может изменяться либо непрерывно, либо дискретно. Если факторы совместимы, то границы образуют на плоскости некоторый прямоугольник, внутри которого лежат точки, соответствующие состояниям «черного ящика». Пунктирными линиями на рисунке обозначены границы областей определения каждою из факторов, а сплошными – границы их совместной области определения.
Чтобы указать значение параметра оптимизации, требуется еще одна ось координат. Пространство, в котором строится поверхность отклика, мы будем называть факторным пространством. Оно задается координатными осями, по которым откладываются значения факторов и параметра оптимизации. Размерность факторного пространства зависит от числа факторов. При многих факторах поверхность отклика уже нельзя изобразить наглядно и приходится ограничиваться только алгебраическим языком.
Но для двух факторов можно даже не переходить к трехмерному пространству, а ограничиться плоскостью.
Для этого достаточно произвести сечение поверхности отклика плоскостями, параллельными плоскости X1OX2 и полученные в сечениях линии спроектировать на эту плоскость.
Каждая линия соответствует постоянному значению параметра оптимизации. Такая линия называется линией равного отклика.