Теория матана

Приведены краткие теоретические сведения по теории пределов и дифференциальному исчислению функций одной и нескольких переменных. Изложение материала сопровождается подробным разбором решений типовых задач. Для самостоятельного решения приведены варианты расчетнографических работ. Методические указания предназначены для студентов всех специальностей очной и очно-заочной форм обучения.

Авторы выражают благодарность сотрудникам каф. «Высшая математика» МГТУ «МАМИ» – доц. Н. Н. Пустовойтову, доц. Б.Ю. Кудрявцеву, доц. Л.К. Кийко, за полезные замечания при подготовке настоящего издания.

1. Числовая последовательность и ее предел

Определение 1. Пусть каждому натуральному числу n (т.е. n 1,2,3,...) по некоторому закону поставле-

но в соответствие действительное число an . Тогда говорят, что задана числовая последовательность: a1,a2,...,an,..., обозначаемая an . Числа a1,a2,...,an,..., называются членами последовательности: a1 –

первым членом последовательности, a2 – вторым, an – n-м или общим членом последовательности.

Последовательность может быть задана с помощью формулы вида an f n , выражающей n-й член

последовательности через его номер n, например an 2n , an sinn . Такую формулу называют форму-

лой общего члена последовательности.

Пример 1. Написать первые четыре члена последовательности an , если: an 1 n . n

Решение. Последовательность задана формулой ее общего члена, чтобы получить член последователь-

ности с конкретным номером, надо подставить его в формулу вместо произвольного номера n. Получим

Пример 2. Зная несколько первых членов последовательности an , написать формулу ее общего члена.

2; 5; 10; 17; 26 .

38 13 18 23

Решение. Числитель каждого из заданных членов последовательности равен квадрату номера этого чле-

на плюс 1, т.е. n2 1. Знаменатели же образуют арифметическую прогрессию 3, 8, 13, 18, …с первым

членом 3 и разностью 5, следовательно, знаменатель n-й дроби будет 3 5 n 1 5n 2. Поэтому

Определение 2. Число A называется пределом последовательности an , если для любого положитель-

ного числа можно подобрать такой номер N члена последовательности, зависящий от , что для всех членов последовательности с номерами n N будет выполнено неравенство an A .

2

Если an имеет своим пределом число A, то говорят, что an сходится (или стремится) к A и

обозначают это так:

окрестности числа A найдется номер члена последовательности, начиная с которого все члены после-

довательности будут находиться в этой окрестности. Иначе говоря, для любой сколь угодно малой -

но при этом вовсе не обязательно находить наименьшее возможное значение этого номера. Мы можем

простой и очевидный факт позволяет решить эту задачу проще. Поскольку 7n 4 7n; n2 3n 1 n2 , то

3

n

Пример 7. Доказать, что последовательность an 1 расходится, т.е. не имеет предела.

Решение. Если n четное число, то an 1, если n нечетное число, то an 1. Поэтому в любой окрест-

ности точек 1 и – 1 содержится бесконечно много членов последовательности, следовательно, числа 1 и

– 1 не могут быть пределами последовательности (исходя из геометрического смысла предела). Из него же следует, что любое число A 1 и A 1 также не может быть пределом данной последовательности так как в силу произвольности числа 0 , фигурирующего в определении, его можно подобрать так,

чтобы интервал A ;A не содержал бы точек 1, а тогда в нем вообще не будет членов последо-

n

вательности, тем более их бесконечного числа. Итак, последовательность an 1 не имеет предела,

n

но, очевидно, ограничена: an 1 1 M , где M – любое число, больше 1.

3.Правила предельного перехода

1)Свойства, выражаемые равенствами.

а) Пусть существует предел последовательности an , равный числу a , и предел последовательности

bn , равный числу b. Тогда существуют конечные пределы последовательностей an bn , an bn ,

б) Если все члены последовательности an и число a принадлежат области определения непрерывной функции f x , (определение непрерывной функции будет дано ниже), то

4

; находится бесконечно много членов этой последовательности, а вне ее находится лишь конечное

число членов.

Свойства б.м. последовательностей:

1) Сумма, разность и произведение двух б.м. последовательностей является б.м., т.е. если n 0,

n 0, то

n n 0, n n 0 . (8)

2) Произведение ограниченной последовательности на б.м. является б.м., т.е., если существует такое

M 0, что для всех номеров n an M и n 0, то

следовательности, aN 1,aN 2,..., лежат в интервале A, , а вне его может находиться лишь конечное

число (не более N ) членов последовательности. Такая последовательность называется также стремя-

5. 2-й замечательный предел

эта последовательность возрастает и ограничена, тогда по теореме Вейерштрасса она имеет конечный предел, обозначаемый e :

Равенство (10) называется вторым замечательным пределом.

6. Основные способы нахождения пределов

последовательностей.

Нахождение предела последовательности an основывается на свойствах пределов, приведен-

ных выше. При этом необходимо отметить, что правила предельного перехода (1) – (5) применимы в случае конечных пределов последовательностей. В противном случае мы приходим к пределам вида

а также различные тождественные преобразования, позволяющие перейти от неопределенных выраже-

ний к таким, для которых уже можно применить свойства пределов (1) – (5) и равенства (12).

Раскрытие неопределенностей вида .

поэтому выражение необходимо понимать так, что при безграничном возрастании n числитель и

знаменатель дроби неограниченно возрастают. Основной прием здесь заключается в том, чтобы выде-

лить в числителе и знаменателе главные части. То есть те слагаемые, которые возрастают вместе с n и

6

Решение. Идея решения всех этих задач – выделение главной части.

.При раскрытии неопределенностей в случае, когда в числителе и в знаменателе содержатся сте-

пенные слагаемые, используются свойства степеней и пределы: qn 0, q 1;qn , q 1.

7