10. Передаточные функции цифровых фильтров. Передаточные функции на комплексной плоскости

Передаточная функция (ПФ) для ЦФ определяется его установившейся реакцией на входной единичный дискретный комплексный синусоидальный сигнал

,

Т - интервал дискретизации, частота сигнала - . В установившемся режиме выходной сигнал ЦФ представляет собой по-прежнему комплексную синусоидальную функцию с частотой входной синусоиды и отличающуюся от входной амплитудными и фазовыми искажениями, зависящими от частоты. Введём комплексный коэффициентH(jωT), позволяющий связать входной у(n) и выходной x(n) синусоидальные сигналы

Коэффициент H(jωT) по определению является передаточной функцией. Отметим, что ПФ является комплексной функцией частоты ,

где - амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) для ЦФ,- его фазочастотная характеристика (ФЧХ).

Произведём вычисления для сдвинутых комплексных синусоид

Подставив эти выражения в разностное уравнение для ЦФ, получим формулу для передаточной функции цифрового фильтра:

Очевидно, ПФ является периодической функцией частоты с периодом :

Для действительных параметров ЦФ a₀,…,a_k, b₁,…,b_m АЧХ симметрична относительно частоты Найквиста . Представим ПФ в виде суммы косинусных и синусных членов с учётом того, что параметры действительные, положивb₀=1: .

Рассмотрим частоты, симметричные относительно ω_N: ω₁= ω_N- ω, ω₂= ω_N+ ω. Учитывая что

получим следующие соотношения:

Из последнего равенства вытекает свойство симметрии АЧХ (ФЧХ):

.

Как следует из свойств периодичности, ПФ имеет смысл рассматривать для частотного диапазона, удовлетворяющего неравенству . Иногда бывает целесообразнымвведение нормированной частоты , и ПФ рассматривать как функцию введённой переменной:H(w), 0≤w≤w. Для действи­тельных параметров ПФ можно ограничиться диапазоном 0≤w≤0.5. В том случае, если значения АЧХ изменяются в широких пределах (большой динамический диапазон изменения), удобно для графических рассмотрений применять логариф­мический масштаб: LH(w)=20log₁₀|H(w)|². Изменение АЧХ |H(w)|² в десять раз соответствует изменения АЧХ в логариф­мическом масштабе на 20 Дб (децибел). Пользуясь таким масштабом, на одном графике можно изобразить все значения АЧХ.

Передаточные функции ЦФ на комплексной плоскости

Введём переменную с обозначением , которая представляет собой при фиксированной частоте некоторую точку единичной окружности на комплексной плоскости.

где комплексные числа - являются нулями,- являются полюсами ПФ,H₀ –комплексный коэффициент усиления цифрового фильтра при ω=0.

Геометрическая интерпретация.

А0,А1,…-нули,В0,В1,…-полюса). Модули числителя ПФH(z) определяются длинами векторов , соединяющих точку О с нулями. Аналогичным образом вводятся модули векторов. Углыопределяют угловое положение введённых векторов.

Рис. 1. Геометрическая интерпретация ПФ

Модуль ПФ представится как отношение произведений длин указанных векторов. ФЧХ для ЦФ, исходя из геометрической картины рис. 1, определится соответствующей угловой суммой для , уголзадаётся векторомH₀

22