2. Аппроксимация наблюдений для линейных моделей, действительный и комплексный случай.

Аппроксимация наблюдений для линейных моделей (действительный случай)

Рассмотрим случай линейных дискретных моделей, y(i)=y(Ti), i=0,1,…,N-1. Представим модельную функцию сигнала как . ФункционалS(c,Y), являющийся мерой близости модели и наблюдений, определяется разностями ,представляет собой квадратичную функцию отс:

.

Введём векторно-матричные переменные: Y – вектор наблюдений, с – вектор параметров модели, Х – матрица плана сигнала.

.

Функционал записывается как скалярное произведение и представляет собой квадратичную форму . Поскольку на переменную с наложены ограничения, отыскиваемый экстремум находится путём приравнивания нулю частных производных введённого функционала

.

Приведём в качестве справки формулы для производных линейных и квадратичных форм по векторному аргументу .

Тогда, с использованием указанных формул, учитывая, что , имеем выражение для оптимального вектора параметров

.

Матрица имеет размерность(m,m); элементы этой матрицы симметричны относительно главной диагонали и определяются как скалярные произведения базисных функций . Элементы вектораразмерностиm – коэффициенты Фурье вычисляются как взвешенные суммы наблюдений .

Нахождение с0 оптимального вектора параметров с0 сводится к решению линейной системы уравнений: Ас⁰=b.

Аппроксимация наблюдений для линейных моделей (комплексный случай)

Введём комплексные наблюдения y(i)=y1(i)+jy2(i) и комплексную модель, задаваемую комплексным вектором параметров и комплексной базисной функцией c(r) = c₁(r)+jc₂(r), φ_r(Ti)= φ_1r(Ti)+jφ_2r(Ti), r=1,…,m, i=0,1,…,N-1,

y_M(c,Ti)=c^Tφ(Ti).

.

Воспользовавшись введёнными векторно-матричными переменными, но в комплексной форме, представим

.

Поделав соответствующие операции дифференцирования, но имея ввиду, что переменные – комплексные, получим выражение для оптимального комплексного вектора: .

.

Если базисные комплексные функции ортогональны, то А будет диагональной с элементами . Оптимальные параметры модели выразятся через коэффициенты Фурье.

3. Модели сигналов на основе действительного и комплексного ряда Фурье Модели сигналов на основе действительного ряда Фурье

Пусть наблюдения cигнала заданы в виде действительной функции

Выбирается модель для указанного сигнала в форме действительного ряда Фурье следующего вида

Значения модельных частот фиксированы ,,и определяются длиной интервала наблюдения, модельные синусоиды располагаются с шагом по частоте, который зависит от. Вектор параметров модели имеет бесконечную размерность,,. Благодаря выбору частотного параметрана интервале времениукладывают целое число периодов базисных функцийи.Вследствие этого, указанные базисные функции являются ортогональными.

Функционал для решения задачи аппроксимации функции :

.

Нахождение вектора параметров модели сводится к минимизации указанного функционала

, .

Ограничимся конечным числом синусоид, составляющих модель,= . В этом случае вектор базисных функций имеет размерностьи выглядит на интервале следующим образом

.

Нетрудно убедиться в том, что для составляющие базис функции ортогональны. Действительно, легко проверить, что интегралы от произведений базисных функций равняются нулю

, ,,

, ,,и.

Вычислим интегралы от квадратов базисных функций

, ,.

Получим оптимальные значения коэффициентов модели для фиксированного

, ,.

Устремим .

, ,.

В силу ортогональности базисных функций модели ряда Фурье ,,,.

Благодаря ортогональности данного базиса для рассматриваемой модели возможно представление дискретного спектра мощности в виде бесконечной последовательности равноотстоящих на по оси частот значений.

Модели сигналов на основе комплексного ряда Фурье

Пусть произведено наблюдение комплексной функции на, модель сигнала представится комплексным рядом Фурье

, .

Комплексный вектор параметров модели имеет бесконечную размерность . Функционал остаточной суммы примет вид

.

пусть число модельных синусоид =. вектор базисных функций имеет размерность

на интервале времени составляющие базис функции ортогональны. Интегралы от произведений базисных функций для ,равняются нулю; с учётом комплексности.

Для .

Оптимальные параметры модели , обеспечивающие минимум функционала, после того как сделаны необходимые выкладки и предельный переход, определяются следующими интегралами

, .

Пусть для рассматриваемой функции сигнала выполняются условия сходимости с учётом комплексности. Тогда на оптимальныхдолжно выполняться равенство

.

Вследствие (2.5.8) остаточная сумма квадратов (2.5.6) - значение функционала для оптимальных параметров должно принимать нулевое значение . Таким образом,,.

Для действительных сигналов можно выяснить соотношения между коэффициентами действительного и комплексного рядов Фурьеи.

, ,

, ,.

Тогда ,и,,.

Мощность -ой комплексной модельной синусоидальной функции вычисляется интегрированием на интервале

, ,

, .

Благодаря ортогональности используемого комплексного базиса общая мощность сигнала представляется в виде суммы мощностей составляющих как для положительных, так и отрицательных частот.