- •1. Математическое описание процесса квантования.
- •Передаточные функции аналого-цифровых и цифро-аналоговых преобразователей.
- •Передаточные функции дискретно-непрерывных устройств управления.
- •4.Структурные преобразования днс
- •Основы теории z-преобразования.
- •Методы анализа устойчивости цифровых систем.
- •Применение билинейного преобразования к передаточным функциям разомкнутых систем управления.
- •Построение логарифмических амплитудной и фазовых характеристик, записанных относительно псевдочастоты.
- •9. Синтез последовательного корректирующего устройства в дискретно-непрерывных системах с помощью билинейного преобразования.
- •10.Учёт реального времени в управляющих программах.
1. Математическое описание процесса квантования.
(в лекциях p=τ, u=r)
Т – период дискретности (квант);
Т=const
р – ширина импульса
Будем считать, что р 0.
В таком случае нужно переходить к -функции.
(*–квантованный сигнал)
р = площадь -функции.
u*(t) – последовательность единичных -функций. Площадь импульсов – амплитуда (0), (T), (2T).
u*(t) =(t-kT)
*(t) = (t)u*(t) =(kT)(t-kT)
*(t) = 0 (kT)(t-kT) |
Дискретизацию (квантование) на схемах изображают так:
Запишем преобразование Лапласа дискретного по времени сигнала:
Вычисление этого преобразования – очень трудоемкий процесс.
Другой способ вычисления – используя преобразование Фурье:
;
Все равно бесконечный ряд. Но здесь ценна физическая трактовка.
В фигурных скобках – ВЧ составляющие.
– не существует
Таким образом, не существует передаточной функции идеального квантователя
(при условии, что стоит фильтр низких частот)
Формула очень грубая, но в первом приближении ее можно теоретически рассматривать.
Для передачи сигнала без потери информации
; гр = 2fгр
Теорема Котельникова:
-
Передаточные функции аналого-цифровых и цифро-аналоговых преобразователей.
АЦП.
Применим ряды Фурье:
Преобразование Лапласа:
, где
– не существует
Таким образом, не существует передаточной функции идеального квантователя
Предположим, что дальше стоит фильтра низких частот, тогда с очень большой натяжкой
Передаточная функция АЦП , но практически ее не существует.
ЦАП. Нужно поставить НЧ-фильтр с идеальной прямоугольной частотной характеристикой. Если через него пропустить сигнал, то останется только центральная часть . В ТУ такой фильтр называется экстраполятором. Экстраполятор 0-го порядка.
ЦАП держит сигнал
На выходе разрывная функция
Функция должна держать импульс, поданный на вход, весь период дискретизации.
На выходе получается кусочно-непрерывный сигнал с разрывами 1-го порядка, но он является аналоговым. На вход подается единичная δ-функция.
-
Передаточные функции дискретно-непрерывных устройств управления.
X(s)=G*(s)W(s)
не существует, следовательно, передаточной функции не существует в рамках дискретно-непрерывной модели (л.д.-н.с)
Введем фиктивный ключ (при этом теряем информацию в межтактовые моменты времени).
Перейдем к рассмотрению эквивалентной дискретной модели:
X*(s)=G*(s)W*(s), где ,
Определим передаточную функцию W*(s) дискретной системы
x*(t) = x(t) u*(t)
u*(t) = (t-kT) – последовательность -функций
X*(s) = L[ x*(t) ]
U*(s) = L[ u*(t) ]
X(s) = L[ x(t) ]
- осуществляем преобр. в пространство изображений
- подставляем вместо s (s – λ)
Функция дробно-рациональная , следовательно, можно использовать теорию вычетов
Пример
Осуществим расчет дискретной передаточной функции:
Формула работает только, если нет кратных полюсов(!)
W*(s) – трансцендентная относительно переменной Лапласа