Основные формулы

Закон Кулона

,

где F - сила взаимодействия двух точечных зарядовq₁ иq₂, находящихся на расстоянииr,- относительная диэлектрическая проницаемость среды,₀- электрическая постоянная, равная 8,8510^-12Ф/м.

Напряженность и потенциал электростатического поля

,

где F- сила, действующая на положительный точечный зарядq₀, помещенный в данную точку поля;

,

где W_п- потенциальная энергия зарядаq₀в данной точке поля,- работа по перемещению зарядаq₀ из данной точки поля за его пределы.

Напряженность и потенциал электростатического поля точечного заряда qна расстоянииrот заряда

;.

Принцип суперпозиции (наложения) электростатических полей

;, гдеи- напряженность и потенциал поля, созданного зарядомq_i.

Электрическое смещение

.

Поток вектора напряженности (индукции) через произвольную поверхность S

;

Теорема Гаусса - поток вектора напряженности (индукции) через замкнутую поверхность S

;

Линейная, поверхностная и объемная плотности заряда

;;.

Напряженность полей:

а) равномерно заряженной бесконечной плоскости

;

б) двух параллельных бесконечных равномерно заряженных плоскостей

;

в) равномерно заряженной сферы радиуса Rна расстоянииr от ее центра

E = 0, приr  R (внутри сферы),

приr  R;

г) объемно заряженного шара радиусом R на расстоянииrот его центра

, приr  R (внутри шара),

, приr  R(вне шара);

д) равномерно заряженного бесконечного цилиндра радиуса R на расстоянииrот него

E = 0 , при r  R (внутри цилиндра),

, при r  R (вне цилиндра).

Работа, совершаемая силами поля, при перемещении заряда q₀ из т.1 в т.2

,

где E_l - проекция векторана направление элементарного перемещения.

Связь между напряженностью и потенциалом .

В случае плоского конденсатора

,

где U - разность потенциалов между пластинами,d - расстояние между ними.

Методические указания

1. Одна из главных задач электростатики - нахождение напряженности электростатического поля по известному распределению зарядов. При решении этой задачи могут встретиться три случая.

1. Поле создано точечными зарядами. Для ее решения используют формулу напряженности поля точечного заряда и принцип суперпозиции.

2. Поле создано зарядами, которые не являются точечными, но равномерно распределены по сферическим, цилиндрическим или плоским поверхностям. В этом случае применяют формулы, полученные с помощью теоремы Остроградского - Гаусса.

3. Если заряженное тело не является ни сферой, ни цилиндром, ни плоскостью, то для расчета поля необходимо разбить его на бесконечно малые элементы и записать от каждого из них, как от точечного заряда, элементарную напряженность поля в данной точке, а затем просуммировать все элементарные напряженности, т.е. взять интеграл. Это наиболее общий метод ДИ - метод дифференцирования - интегрирования.

2. Если в задачах не указана среда, в которой рассчитывается поле, то подразумевается вакуум (или воздух), т.е.  = 1.

3. Полезно помнить, что k=1/4₀ = 9,0010⁹м/Ф.

4. Для нахождения потенциала поля, созданного системой точечных зарядов, применяются формулы для потенциала поля точечного заряда и принцип суперпозиции.

5. Следует иметь ввиду, что главный физический смысл имеет не сам потенциал, а разность потенциалов. В основе общего метода нахождения разности потенциалов лежит формула . Она следует из связи напряженности и потенциала, где производная берется в направлении быстрейшего изменения потенциала, т.е. вдоль силовой линии.

ЗАДАЧИ

310. Два точечных заряда, находясь в воздухе на расстоянии 20 см друг от друга, взаимодействуют с некоторой силой. На каком расстоянии необходимо поместить эти заряды в масле, чтобы получить ту же силу взаимодействия?

[8,94 см]

310. Во сколько раз энергия электростатического взаимодействия двух частиц с зарядом qи массойm каждая больше энергии их гравитационного взаимодействия? Задачу решить для: а) электронов; б) протонов.

[4,1710⁴²; 1,2410³⁶]

310. Найти напряженность электрического поля в точке, лежащей посередине между двумя точечными зарядами 8 нКл и -6 нКл. Расстояние между зарядами 10 см; заряды находятся в вакууме.

[50,4 кВ/м]

310. В центр квадрата, в каждой вершине которого находится заряд 2,33 нКл, помещен отрицательный заряд. Найти этот заряд, если на каждый заряд действует результирующая сила F = 0.

[-2,23 нКл]

310. Два точечных заряда 7,5 нКл и -14,7 нКл расположены на расстоянии 5 см. Найти напряженность Еэлектрического поля в точке, находящейся на расстояниях 3 см от положительного заряда и 4 см от отрицательного заряда.

[112 кВ/м]

310. Составить задачу на произвольный треугольник.

311. Два шарика одинаковых радиуса и массы подвешены на нитях одинаковой длины так, что их поверхности соприкасаются. После сообщения шарикам заряда 0,4 мкКл они оттолкнулись друг от друга и разошлись на угол 60⁰. Найти массу каждого шарика, если расстояние от центра шарика до точки подвеса 20 см.

[1,56 г]

310. Два шарика одинаковых радиуса и массы подвешены на нитях одинаковой длины так, что их поверхности соприкасаются. Какой заряд нужно сообщить шарикам, чтобы сила натяжения нитей стала равной 98 мН? Расстояние от центра шарика до точки подвеса 10 см; масса каждого шарика 5 г.

[1,1 мкКл]

310. На рисунке АА– заряженная бесконечная плоскость с поверхностной плотностью заряда 40 мкКл/м²иВ– одноименно заряженный шарик с массой 1 г и зарядом 1 нКл. Какой угол с плоскостьюААобразует нить, на которой висит шарик?

[13⁰]

310. На рисунке к задаче 9, АА– заряженная бесконечная плоскость иВ– одноименно заряженный шарик с массой 0,4 мг и зарядом 667 пКл. Сила натяжения нити, на которой висит шарик, 0,49 мН. Найти поверхностную плотность заряда на плоскостиАА.

[7,8 мкКл/м²]

310. Медный шар с радиусом 0,5 см помещен в масло. Плотность масла 0,810³кг/м³. Найти заряд шара, если в однородном электрическом поле шар оказался взвешенным в масле. Электрическое поле направлено вертикально вверх и его напряженность 3,6 МВ/м.

[11 нКл]

310. В плоском горизонтально расположенном конденсаторе заряженная капелька ртути находится в равновесии при напряженности электрического поля 60 кВ/м. Заряд капли 0,810^-18Кл. Найти радиус капли.

[0,44 мкм]

310. Шарик массой 40 мг, имеющий положительный заряд 1 нКл движется со скоростью 10 см/с. На какое расстояние может приблизиться шарик к положительному точечному заряду 1.33 нКл?

[6 см]

310. Два шарика с зарядами 6,66 нКл и 13,33 нКл находятся на расстоянии 40 см. Какую работу надо совершить, чтобы сблизить их до расстояния 25 см?

[1,2 мкДж]

310. Найти потенциал точки поля, находящейся на расстоянии 10 см от центра заряженного шара радиусом 1 см. Задачу решить, если: а) задана поверхностная плотность заряда на шаре, равная 0,1 мкКл/м²; б) задан потенциал шара, равный 300 В.

[а) 11,3 В; б) 30 В]

310. Какая работа совершается при перенесении точечного заряда 20 нКл из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии 1 см от поверхности шара радиусом 1 см с поверхностной плотностью заряда 10мкКл/м²?

[113 мкДж]

310. Шарик с массой 1 г и зарядом 10 нКл перемещается из точки 1, потенциал которой 600 В, в точку 2, потенциал которой 0 В. Найти его скорость в точке 1, если в точке 2 она стала равной 20 см/с.

[16,7 см/с]