Занятие 2.2. Линейные операции над векторами Контрольные вопросы

1. Что такое орт вектора?

2. Чему равны координаты орта вектора?

3. О чем говорит пропорциональность координат двух векторов?

4. Каким законам подчиняются операции сложения и вычитания векторов?

5. Как производятся линейные операции над векторами, заданными разложениями в одном и том же базисе?

6. Что происходит при умножении вектора на число?

Задачи

1. По данным векторам ипостроить следующие векторы:

+,-,-, --.

2. Определить длины суммы и разности векторов и.

3. Векторы иобразуют угол, причем. Определитьи.

4. Определить, при каких ивекторыиколлинеарны.

5. Установить, служат ли точки А(2,3,-6), В(7,3,2), С(12,7,3), Д(12,11,-4) вершинами трапеции АВСД.

6. Найдите орт вектора .

7. На плоскости даны векторы ив базисе. Найти разложение вектора, принимая в качестве базисных, если это возможно, первые два вектора.

8. Даны три вектора в базисе. Если векторыобразуют базис в, то найти разложение векторапо этому базису.

Ответы

2. ,;3. ,;4. ;

5. служат, ВС //АД; 6. ;7. ; 8. .

Занятие 2.3. Скалярное произведение векторов Контрольные вопросы

1. Дать определение скалярного произведения двух векторов. Какие значения могут получиться в результате скалярного произведения?

2. Перечислите свойства скалярного произведения.

3. Чему равно скалярное произведение вектора самого на себя?

4. Как вычислить скалярное произведение, если векторы заданы своими координатами в ортонормированном базисе?

5. Сформулируйте необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов.

6. Как найти угол между векторами?

Задачи

1. Векторы иобразуют угол. Зная, что, вычислить:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ;

7) .

2. Даны векторы . Вычислить

; .

3. Даны единичные векторы , удовлетворяющие условию. Вычислить.

4. Даны векторы , удовлетворяющие условию. Зная, что, определить.

5. Известно, что . Определить, при каком значенииk векторы будут взаимно перпендикулярны.

6. Даны вершины треугольника А(-1;-2;4), В(-4;-2;0) и С(3;-2;1). Определить его внутренний угол при вершине В и внешний угол при вершине А.

7. Вычислить проекцию вектора на ось вектора.

8. Найти проекцию вектора на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы.

9. Даны векторы ,и. Вычислить.

10. Вектор , коллинеарный вектору (6,-8,-7.5}, образует острый угол с осьюOZ. Зная, что длина вектора равна 50, найти его координаты.

Ответы

1. 1) –6; 2) 9; 3) 16; 4) 13; 5) –61; 6) 37; 7) 73. 2. 1) 22; 2)6; 3) 7; 4)-200;

5) 129; 6) 41. 3. –3/2. 4. –13. 5. . 6. Внутренний при вершине В=, внешний при А=. 7. 6. 8. . 9. 5. 10. {-24,32,30}.

Занятие 2.4. Векторное произведение векторов Контрольные вопросы

1. Какая тройка векторов считается правой (левой)?

2. Что такое векторное произведение двух векторов?

3. Каков геометрический смысл модуля результата векторного произведения?

4. Как перемножить векторно векторы, заданные своими координатами в декартовой системе координат?

5. В чем состоит условие коллинеарности векторов? Какой вид условие коллинеарности имеет в ортонормированной системе координат?

Задачи

1. Определить, какой является тройка векторов ,,(правой или левой), если

номер
а
б
в
г
д
е

2. Векторы иобразуют угол. Зная, что, , вычислить.

3. Даны: ,и. Вычислить.

4. Векторы ивзаимно перпендикулярны. Зная, что, вычислить: а); б).

5. Векторы иобразуют угол. Зная, что, вычислить: а); б); в).

6. Даны векторы . Найти координаты векторных произведений: а); б); в).

7. Даны точки А(1,2,0), В(3,0,-3) и С(5,2,6). Вычислить площадь треугольника АВС.

8. Даны вершины треугольника А(1,-1,2), В(5,-6,2) и С(1,3,-1). Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины В на сторону АС.

9. Вектор , перпендикулярный к векторами, образует с осью Оу тупой угол. Зная, что длинаравна 26, найти его координаты.

Ответы

1. а) правая; б) левая; в) левая; г) правая; д) векторы компланарны; е) левая.

2. 15. 3. 16. 4. а) 24, б) 60. 5. а) 3; б) 27; в) 300. 6. а) {5,1,7}; б) {10,2,4}; в) {20,4,28}. 7. 14 . 8. 5 . 9.{-6,-24,8}.