1. Элементы линейной алгебры занятие 1.1. Матрицы и действия над ними Контрольные вопросы

1. Дать определение матрицы.

2. Классификация матриц по размерам.

3. Что такое нулевая и единичная матрицы?

4. При каких условиях матрицы считаются равными?

5. Как выполняется операция транспонирования?

6. Когда возможна операция сложения матриц и как вычисляется результат?

7. Как найти произведение матрицы на число?

8. Когда возможна операция умножения матриц? Какова размерность результата умножения? По какому правилу вычисляется элемент матрицы – результата при перемножении матриц?

9. Какие матрицы называются взаимно обратными?

Задачи

Даны матрицы

, ,,.

1. Какую матрицу нужно прибавить к матрице А, чтобы получить единичную матрицу Е?

2. Найти А+В.

3. Найти (-3)А.

4. Найти 5А.

5. Найти 2А+3В-2С.

6. Можно ли умножать матрицы и, если можно, указать размерность результата: а), б), в).

7. Найти произведения АВ и ВА и сравнить результаты.

8. Найти АD и DА.

9. Найти АЕ и ЕА (Е – единичная матрица) и сравнить результаты.

Ответы

1. ; 2.; 3. ; 4. ;

5. ; 6. а) можно, 2,5, б) нельзя, в) можно, 2,15;

7. АВ=,ВА=, не равны;

8. ,DA – не существует; 9. .

ЗАНЯТИЕ 1.2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И ИХ СВОЙСТВА

Контрольные вопросы

1. У каких матриц может быть найден определитель?

2. Как вычислить определитель второго порядка?

3. Что такое минор?

4. Что является алгебраическим дополнением элемента матрицы?

5. Как вычисляется определитель n–го порядка?

6. Перечислите свойства определителей.

Задачи

1. Вычислить определитель дважды: по элементам первой строки и элементам первого столбца.

2. Вычислить определители

1) ; 2); 3);

4) ; 5); 6).

Ответы

1. 0; 2. 1) 8; 2) –4; 3) –82; 4) 39; 5) – 20; 6) –492.

ЗАНЯТИЕ 1.3. ОБРАТНЫЕ МАТРИЦЫ

Контрольные вопросы

1. Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице?

2. Условия существования обратной матрицы.

3. Перечислите этапы вычисления обратной матрицы

Задачи

Для матриц, соответствующих определителям задач 1, 2 из занятия 1.2, найти обратные матрицы.

Ответы

1. Не существует(=0)

ЗАНЯТИЕ 1.4. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (СЛАУ) И ИХ ИССЛЕДОВАНИЕ. РЕШЕНИЕ СЛАУ МЕТОДОМ КРАМЕРА

Контрольные вопросы

1. Привести общий вид СЛАУ.

2. В чем особенность однородных систем?

3. Что такое решение системы?

4. Из чего состоят основная и расширенная матрицы системы?

5. Что такое ранг матрицы?

6. В чем состоит суть теоремы Кронекера – Капелли?

7. Каково соотношение между числом неизвестных, числом решений и рангом системы?

8. Что такое свободные неизвестные и когда их вводят?

9. Сформулировать теорему Крамера.

Задачи

Исследовать, имеют ли решения приведенные ниже системы. В случае наличия решений указать их число. Используя метод Крамера, найти решения систем 1, 2, 6.

1. . 2..

3. . 4..

5.. 6. .

Ответы

1. ; 2. ; 3. система несовместна; 4. ;

5. система несовместна; 6. .

ЗАНЯТИЕ 1.5. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЧНЫМ МЕТОДОМ И МЕТОДОМ ГАУССА

Контрольные вопросы

1. Как вычисляются неизвестные матричным методом?

2. В чем заключается идея метода Гаусса?

3. Какие преобразования матриц называются элементарными?

4. Какие системы являются эквивалентными?

5. Как контролируются полученные результаты решения системы?

Задачи

Из занятия 1.4 решить системы 2 и 6 матричным методом и системы 2, 4, 6 методом Гаусса.

2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

ЗАНЯТИЕ 2.1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА. ПРОЕКЦИИ ВЕКТОРА

Контрольные вопросы

1. Определение вектора

2. Какие векторы являются коллинеарными, а какие – компланарными?

3. Какие векторы считаются равными?

4. Дайте определение оси.

5. Как найти проекцию вектора на ось?

6. Что такое линейная комбинация системы векторов?

7. Линейно–зависимые и линейно–независимые системы векторов.

8. Что такое базис, ортогональный базис, ортонормированный базис?

9. Что такое разложение вектора по заданному базису? Какой смысл имеют коэффициенты в разложении вектора по ортонормированному базису?

10. Как вычислить модуль вектора, заданного координатами в ортонормированном базисе?

11. Как связаны между собой косинусы направляющих углов вектора?

Задачи

1. Даны две точки А(1,4,-2) и В(6,-2,1). Найти координаты векторов и. Вычислить их длины.

2. Определить координаты начала (конца) вектора {5,12,-6}, если его конец (начало) совпадает с точкой (2,17,8).

3. Вычислить длину и направляющие косинусы вектора {12,-15,-16}.

4. Длина вектора равна 6. Найти координаты вектора, если .

5. Может ли вектор составлять с координатными осями углы:

а) ; б);

в) ; г)?

6. Может ли вектор составлять с двумя координатными осями следующие углы а) б), в)?

7. Вектор составляет с осями Ох и Оz углы и. Какой угол он составляет с осью Оу?

8. Определить координаты конца вектора, если начало его расположено в начале координат, длина его равна 12, при этом .

9. Вектор составляет с координатными Ох и Оу углы . Вычислить его координаты при условии, что длина его равна 2.

Ответы

1. ={5;-6;3}, ={-5;6;-3}, //=//=.

2. Координаты начала (-3,5,14), конца (7,29,2).

3. Длина = 25, .

4. .5. а) не может, б) может, в) может, г) не может.

6. а) не может, б) может, в) не может. 7. или.

8. () или ().9. или.