3. Элементы аналитической геометрии занятие 3.1. Плоскость в трехмерном пространстве Контрольные вопросы

1. Написать векторное уравнение плоскости и объяснить смысл величин, входящих в это уравнение.

2. Написать общее уравнение плоскости и уравнение плоскости, проходящей через заданную точку. Объяснить смысл величин, входящих в это уравнение.

3. Как вычислить угол между плоскостями? Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

Задачи

1. Построить плоскости: а) , б) ,

в) , г) .

2. Построить плоскость и найти углы нормали к плоскости с осями координат.

3. Даны точки М₁ ( 0; - 1; 3 ) и М₂ ( 1; 3; 5 ). Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М₁ и перпендикулярной к вектору .

4. Написать уравнение геометрического места точек, равноудаленных от точек А ( 3; ; 3 ) и В ( 0; ; 0 ).

5. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Ох и точку

М₁ ( 0; - 2; 3 ).

6. Найти угол между плоскостями:

а) и,

б) и ,

в) и,

г) и .

7. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М₁ (- 1; - 1; 2 ) и перпендикулярной к плоскостям и.

8. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М₁ ( - 1; - 2; 0 ) и М₂ ( 1; 1; 2) и перпендикулярной к плоскости .

9. Найти расстояние от точки М ( 5; 1; - 1 ) до плоскости .

10. Найти расстояние точки М ( 4; 3; 0 ) от плоскости, проходящей через точки М₁ ( 1; 3; 0), М₂ ( 4; - 1; 2 ) и М₃ ( 3; 0; 1 ).

11. Найти расстояние между параллельными плоскостями и.

12. Написать уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостейи, и через точкуМ(1; 2; 4).

13. Найти точку пересечения плоскостей, , .

14. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М₁ ( 0; - 5; 0 ), М₂ ( 0; 0; 2 ) и перпендикулярной к плоскости .

Построить ее.

Ответы

2. ;3. ;

4. ; 5. ; 6. а) , б), в), г);

7. ;8. ; 9. 3; 10. ; 11. ;

12. ; 13. ( 1; - 1; 2 ); 14. .

Занятие 3.2. Прямая в трехмерном пространстве Контрольные вопросы

1. Какие уравнения прямой Вам известны? Записать каждое из них. Объяснить смысл постоянных параметров, входящих в канонические уравнения прямой.

2. Как на прямой, заданной уравнениями, отыскать какую-либо точку? (рассмотреть все виды уравнений прямой).

3. Как перейти от одного вида уравнений прямой к другому?

4. Как вычислить угол между двумя прямыми? Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Задачи

1. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку

М (2; 0; - 3) параллельно: а) вектору , б) прямой, в) осиОх.

2. Написать канонические и параметрические уравнения прямой

.

3. Спроецировать прямую на плоскость.

4. Через точку М (2; - 3; 1) провести прямую, перпендикулярную прямым и.

5. В плоскости XOZ найти прямую, перпендикулярную к прямой и проходящую через начало координат.

6. Найти угол между прямой и прямой, проходящей через начало координат и через точкуМ ( 1; - 1; - 1).

7. Написать уравнения прямой, проходящей через точку М (- 4; 3; 0) и параллельной прямой .

8. Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки М ( 2; - 3; 4) на ось ОУ.

9. Через точку М ( 2; - 5; 3 ) провести прямую: а) параллельную оси OZ;

б) параллельную прямой ; в) параллельную прямой

.

10. Проверить, пересекаются ли прямые:

а) и;

б) и

Ответы

1. а) , б), в);

2. ,;3. ;

4. ;5. ;6. ;

7. ;8. ;9. а) ,

б) , в);10. а) да, б) да.

ЗАНЯТИЕ 3.3. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ НА ПРЯМУЮ И ПЛОСКОСТЬ

В ПРОСТРАНСТВЕ

Контрольные вопросы

1. Как вычислить угол между прямой и плоскостью? Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

2. Как выяснить, что прямая и плоскость имеют точку пересечения, прямая принадлежит плоскости, прямая параллельна плоскости и не принадлежит ей?

Задачи

1. Доказать, что прямая параллельна плоскости .

2. Доказать, что прямая лежит в плоскости.

3. Найти точку пересечения прямой и плоскости:

а) ,;

б) ,;

в) ,.

4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М ( 1; - 2; 1) перпендикулярно к прямой .

5. При каких значениях А и D прямая лежит в плоскости ?

6. Найти проекцию точки М (2; - 1; 3 ) на прямую .

7. Найти проекцию точки М ( 5; 2; - 1 ) на плоскость .

8. Найти точку Q, симметричную точке Р ( 1; 3; -4 ) относительно плоскости .

9. Найти уравнение плоскости, которая проходит через точку М ( 3; 1; - 2 ) и через прямую .

10. Проверить, что прямые ипересекаются, и написать уравнение плоскости, проходящей через них.

11. Найти расстояние между двумя прямыми: и.

Ответы

3. а) ( 2; -3; 6 ), б) прямая параллельна плоскости, в) прямая лежит в плоскости; 4. ;5. А = 3, D = - 23; 6. (3; - 2; 4); 7. (1; 4; - 7); 8. (- 5; 1; 0 ); 9. ; 10. ; 11. 3.