4. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

ЗАНЯТИЕ 4.1. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ

Контрольные вопросы

1. Что называется функцией?

2. Какие функции называются сложными?

3. Перечислите основные элементарные функции?

4. Как построить график функции ?

5. Сформулируйте план построения графика функции:

Задачи

1. Найти область определения следующих функций:

а) б) ,

в) , г) ,

д) , е) .

2. Представить сложные функции в виде суперпозиции основных элементарных

функций:

а) , б) ,

в) , г) ,

д) , е) ,

ж) .

3. Построить графики функций:

а) б)

в) , г) ,

д) , е)

Ответы

1. а) , б) , в) , г) ,

д) , е) .

ЗАНЯТИЕ 4.2. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ,

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Контрольные вопросы

1. Что называется пределом последовательности?

2. Что называется пределом функции в точке, на бесконечности?

3. Перечислите основные и не основные неопределенности.

Задачи

1. Доказать, что последовательность имеет предел А= - 4.

2. Доказать, что функция имеет предел А= 9 при .

3. Найти пределы:

а) б)

в) г)

д) е)

ж) з)

и) к)

л) м)

н) п)

р) с)

Ответы

2. а) б) в) г) 0, д) –1, е) - 4, ж) 1, з)

и) , к) 1, л) 3, м) , н) ,

п) – 60, р) – 2, с) при при

ЗАНЯТИЕ 4.3. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ

Контрольные вопросы

1. Запишите первый замечательный предел.

2. Запишите различные варианты второго замечательного предела.

3. Какие неопределенности «раскрываются» с помощью первого замечательного предела, с помощью второго замечательного предела?

Задачи

Найти пределы при помощи замечательных пределов:

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ;

10. ; 11. ;

12. ; 13. ;

14. ; 15. ;

16. ; 17. ;

18. ; 19. ;

20. ; 21. .

Ответы

1. ; 2. 1; 3. ; 4. 0; 5. ; 6. ; 7. 0 при при ; 8. ; 9. 6; 10. ; 11. ; 12. ; 13. ; 14. ; 15. 1; 16. ; 17. ; 18. 0 при ; 19. 2; 20. ; 21. .

ЗАНЯТИЕ 4.4. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ, ТОЧКИ РАЗРЫВА

Контрольные вопросы

1. Какая функция называется непрерывной в точке ?

2. Сформулируйте критерий непрерывности функции в точке

1. Что называется точкой разрыва функции?

4. Дайте классификацию точек разрыва.

Задачи

1. Дана функция

При каких значениях А функция будет непрерывной в точке х=2? Постройте график функции.

2. Исследовать на непрерывность следующие функции и схематически построить их графики в окрестности точек разрыва:

а) ; б) ;

в) г) ;

д) ; е)

3. Дана функция

При каких значениях А функция у(х) будет непрерывной в точке х=1 ? Постройте график функции.

Ответы

1. А=-4; 2. а) х=1-точка разрыва второго рода, б) х=3-точка разрыва второго рода, в) х=0-точка неустранимого разрыва первого рода, г) х=2-точка разрыва второго рода, д) х=0–точка неустранимого разрыва первого рода, е) х=0–точка устранимого разрыва первого рода, -точка разрыва второго рода; 3. А=2.

ЗАНЯТИЕ 4.5. ОБЗОР ТЕМЫ «ПРЕДЕЛЫ»

Задачи

Найти пределы:

Ответы

32