5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
ЗАНЯТИЕ 5.1. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
Контрольные вопросы
1. Чему равны производные основных элементарных функций?
2. Как определяется производная сложной функции?
3. Как определяется производная суммы, произведения, частного?
Задачи
1. Продифференцировать функцию:
1)
,
2)
,
3)
,
4)
,
5)
,
6)
,
7)
,
8)
,
9)
,
10)
,
11)
,
12)
,
13)
,
14)
,
15)
,
16)
,
17)
,
18)
,
19)
,
20)
.
2.
.
Найти
3. Найти
4. Найти
5.
При каких значениях
:
1)
,
2)
.
6. Используя логарифмирование, продифференцировать функцию:
1)
,
2)
,
3)
,
4)
,
5)
,
6)
.
Ответы
1.
1)
,
2)
,
3)
,
4)
,
5)
,
6)
,
7)
,
8)
,
9)
,
10)
,
11)
,
12)
,
13)
,
14)
,
15)
,
16)
,
17)
,
18)
,
19)
,
20)
;
2.
3.
4
5.
1)
2)
6.
1)
,
2)
,
3)
,
4)
,
5)
,
6)
.
ЗАНЯТИЕ 5.2. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
Контрольные вопросы
1. Что называется касательной к кривой?
2. Чему равен угловой коэффициент касательной?
Задачи
-
Написать уравнение касательной, проведенной к кривой
в точке
.
-
Написать уравнение касательной, проведенной к кривой в точке
.
3.
В каких точках кривой
касательная имеет угловой коэффициент,
равный
.
-
Найти угловой коэффициент касательных, проведенных к кривой
в
точках ее пересечения с прямой
.
-
При каком значении независимой переменной
касательные к кривым
и
параллельны?
-
В какой точке кривой
касательная параллельна прямой
?
7.
В какой
точке кривой
касательная перпендикулярна прямой
?
8.
Написать уравнение прямой, проходящей
через точку
перпендикулярно
касательной
к кривой
,
проведенной в точке
.
9.
Написать уравнение прямой, проходящей
через точку
параллельно
касательной
к кривой
,
проведенной в точке
.
10.
Найти точку пересечения прямой
и касательной к кривой
,
проведенной в точке
.
Ответы
1.
;
2.
;
3.
;
4.
;
5.
;
6.
;
7.
;
8.
;
9.
;
10.
.
ЗАНЯТИЕ 5.3. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСОКИХ ПОРЯДКОВ
Контрольные вопросы
1. Что называется второй производной?
2.
Что называется производной
–ого
порядка?
Задачи
1. Найти вторые производные от функции:
1)
,
2)
,
3)
,
4)
,
5)
,
6)
.
2. . Найти
3. Найти
4. Доказать, что
1)
,
2)
,
3)
,
4)
,
5)
6)
,
7)
,
где
;
постоянные.
5.
Найти общее выражение для производной
–ого
порядка от функции:
1)
,
2)
,
3)
,
4)
.
Ответы
1.
1)
,
2)
,
3)
,
4)
,
5)
,
6)
;
2.
3.
5.
1)
,
2)
,
3)
,
4)
.
ЗАНЯТИЕ 5.4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ
ПАРАМЕТРИЧЕСКИ
Контрольные вопросы
1. Какие уравнения параметрически задают функцию?
2.
Как определить
производную
функции, заданной параметрически,
не
находя явной зависимости
от
?
3.
Как определить
вторую производную
функции, заданной парамет-
рически,
не находя явной зависимости
от
?
Задачи
1. Построить графики функций, заданных параметрически.
2.
Для функции,
заданной параметрически, найти
.
Ответы
2. 1)
2)
3)
4)
5)
6)
ЗАНЯТИЕ 5.5. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
Контрольные вопросы
1. Что называется дифференциалом функции?
2. Что означает инвариантность формы дифференциала?
3. Что называется вторым дифференциалом?
Задачи
1. Найти дифференциал функции:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
2. Найти второй дифференциал функции:
1)
2)
3)
3.
Даны функции
.
Выразить
через
1)
2)
4.
Даны функции
Выразить
через
1)
2)
Ответы
1.
1)
,
2)
,
3)
,
4)
,
5)
,
6)
,
7)
,
8)
;
2.
1)
,
2)
,
3)
;
3.
1)
2)
4.
1)
2)
ЗАНЯТИЕ 5.6. ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ
Контрольные вопросы
1. Что называется неопределенностью при вычислении предела?
2. К неопределенностям какого вида применяется правило Лопиталя?
3. В чем состоит правило Лопиталя?
Задачи
1. Вычислить пределы
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
Ответы
1.
1)
,
2)
,
3)
,
4)
,
5)
,
6)
,
7)
,
8)
,
9)
,
10)
,
11)
,
12)
,
13)
,
14)
,
15)
.
ЗАНЯТИЕ 5.7. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
Контрольные вопросы
1. Что называется формулой Тейлора и формулой Маклорена?
2. Что называется остаточным членом формулы Тейлора?
3.
Какой вид
имеет формула Маклорена для функции
,
,
?
Задачи
1.
Написать формулу Тейлора
–ого
порядка для функций:
1)
при
.
2)
при
.
3)
при
.
4)
при
.
5)
при
.
2.
Написать формулу Маклорена
–ого
порядка для функции
.
3.
Используя формулу Маклорена для функций
,
,
,
написать формулы Маклорена для функции
1)
,
2)
,
3)
.
4.
Пользуясь приближенной формулой
,
найти
1)
,
2)
,
3)
,
4)
и оценить погрешность.
5. Какого порядка следует брать формулу Маклорена для функций
,
,
чтобы вычислить
1)
с точностью
,
2)
с точностью
,
3)
с точностью
,
4)
с точностью
.
6.
Пользуясь приближенной формулой
,
найти:
1)
;
2)
;
3)
и оценить погрешность.
Ответы
1.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
2.
;
3.
1)
,
2)
,
3)
,
4.
1)
2)
3)
4)
5.
1)
2)
3)
4)
6.
1)
2)
3)
ЗАНЯТИЕ 5.8. ИНТЕРВАЛЫ МОНОТОННОСТИ ФУНКЦИИ,
ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ
Контрольные вопросы
1. Какова зависимость направления роста функции от ее первой производной?
2. Что называется максимумом, минимумом и экстремумом функции?
3. Что называется критической точкой графика функции?
4. Какие условия являются необходимыми условиями экстремума функции?
5. Какие условия являются достаточными условиями экстремума функции?
6. Что можно сказать о значениях непрерывной функции, определенной на
отрезке?
Задачи
1. Найти интервалы монотонности функции.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
2. Найти экстремумы функции.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на указанном отрезке.
1)
на
2)
на
3)
на
4)
на
5)
на
6)
на
Ответы
1.
1)
возрастает,
убывает,
2)
возрастает,
убывает,
3)
возрастает,
убывает,
4) везде
возрастает,
5)
везде
возрастает,
6)
возрастает,
убывает;
2.
1)
максимум,
минимум,
2)
минимум,
3)
минимум,
4)
максимум,
минимум,
5) экстремумов
нет, 6)
минимум;
3.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
ЗАНЯТИЕ 5.9. ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ ГРАФИКА
ФУНКЦИИ, ТОЧКИ ПЕРЕГИБА
Контрольные вопросы
1. Что означает выпуклость и вогнутость графика функции?
2. Как значения второй производной влияют на выпуклость и вогнутость
графика функции?
3. Что называют точкой перегиба?
4. При каких условиях график функции имеет точку перегиба?
Задачи
-
Найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости графика
функции.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
2.
Выяснить
вид графика функции, если известно, что
на интервале
1)
2)
3)
4)
3.
При каких
значениях
график функции
имеет точки
перегиба?
4.
При каких
значениях
точка
служит точкой перегиба графика
функции
?
Ответы
1.
1)
точка
перегиба,
выпуклость,
вогнутость,
2)
точки
перегиба,
выпуклость,
вогнутость,
3)
точки
перегиба,
выпуклость,
вогнутость,
4) точек перегиба нет, график вогнутый,
5)
точки
перегиба,
выпуклость,
вогнутость,
6)
точки
перегиба,
выпуклость,
вогнутость,
7)
точка
перегиба,
выпуклость,
вогнутость,
8) точек перегиба нет, график вогнутый;
3.
;
4.
ЗАНЯТИЕ 5.10. АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ
Контрольные вопросы
1. Что называется асимптотой графика функции?
2. Какие бывают асимптоты?
3. Как определяются наклонные асимптоты?
4. Сколько наклонных асимптот может быть у элементарной функции?
Задачи
1. Найти асимптоты графиков функции:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
2.
При каких
значениях
и
график функции
имеет
асимптоту?
3. Найти асимптоты линий, заданных параметрически.
1)
2)
Ответы
1.
1)
,
2)
,
3)
,
4)
,
5)
,
6)
,
7)
,
8)
;
2.
;
3. 1)
,
2)
.
ЗАНЯТИЕ 5.11. ОБЩЕЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ
Контрольные вопросы
1. Что называется областью определения функции?
2. Что можно сказать о непрерывности элементарных функций?
3. Какие функции являются четными, а какие нечетными?
4. Какие функции являются периодическими?
5. Что называется точкой разрыва графика функции?
6. Как определить экстремумы функции?
7. Как определить интервалы монотонности функции?
8. Как определить точки перегиба графика функции?
9. Как определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции?
10. Как найти асимптоты графика функции?
Задачи
1. Провести полное исследование функции и начертить ее график.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
Ответы
1. 1) функция определена и непрерывна на всей числовой оси,
максимум,
минимум,
точка
перегиба,
интервалы
возрастания,
интервал
убывания,
интервал
выпуклости,
интервал
вогнутости,
2) функция определена и непрерывна на всей числовой оси, четная,
минимум,
интервал
возрастания,
интервал
убывания, график функции вогнутый,
асимптоты,
3) функция определена и непрерывна на всей числовой оси, нечетная,
максимум,
минимум,
интервал
возрастания,
интервалы
убывания,
точки
перегиба,
интервалы
выпуклости,
интервалы
вогнутости,
асимптота,
4)
функция
определена и непрерывна на всей числовой
оси, кроме
нечетная,
всюду убывает,
точка
перегиба,
интервалы
выпуклости,
интервалы
вогнутости,
асимптоты,
5) функция определена и непрерывна на всей числовой оси,
кроме
нечетная,
максимум,
минимум,
точка
перегиба,
интервалы
возрастания,
интервалы
убывания,
интервалы
выпуклости,
интервалы
вогнутости,
асимптоты,
6)
функция
определена и непрерывна на всей числовой
оси, кроме
максимум,
точка
перегиба,
интервалы
возрастания,
интервал
убывания,
интервалы
выпуклости,
интервал
вогнутости,
асимптоты,
7) функция определена и непрерывна на всей числовой оси,
максимум,
точка
перегиба,
интервал
возрастания,
интервал
убывания,
интервал
выпуклости,
интервал
вогнутости,
асимптота,
8) функция определена и непрерывна на всей числовой оси, четная,
абсциссы
точек экстремума удовлетворяют уравнению
абсциссы
точек перегиба удовлетворяют уравнению
9) функция определена и непрерывна на всей числовой оси,
максимум,
минимум,
точка
перегиба,
интервал
возрастания,
интервалы
убывания,
интервал
выпуклости,
интервал
вогнутости,
асимптота,
10) функция определена и непрерывна на всей числовой оси,
максимум,
минимум,
абсциссы
точек перегиба,
интервал
возрастания,
интервалы
убывания,
интервал
выпуклости,
интервалы
вогнутости,
асимптота.
ЗАНЯТИЕ 5.12. КРИВИЗНА