Занятие 3.4. Прямая линия на плоскости Контрольные вопросы

1. Напишите известные Вам виды уравнений прямой на плоскости и объясните смысл величин, входящих в эти уравнения.

2. Как вычислить угол между двумя прямыми? Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Задачи

1. Составить уравнение прямой и построить прямую на чертеже, зная её угловой коэффициент k и отрезок «b», отсекаемый ею на оси Оу:

а) k = ,b = 3; б) k = 3, b = 0; в) k =0, b = - 2; г) k = ,b = 3.

2. Дана прямая . Составить уравнение прямой, проходящей через точкуМ ( 2; 1 ):

а) параллельно данной прямой;

б) перпендикулярно к данной прямой.

3. Даны уравнения двух сторон прямоугольника , и одна из его вершин А ( 2; - 3 ). Составить уравнения двух других сторон этого прямоугольника.

4. Даны уравнения двух сторон прямоугольника , и уравнение одной из его диагоналей . Найти вершины прямоугольника.

5. Найти проекцию точки Р (- 8; 12 ) на прямую, проходящую через точки А( 2; -3 ) и В ( - 5; 1 ).

6. Найти точку М₁ , симметричную точке М₂ ( 8, - 9 ) относительно прямой, проходящей через точки А ( 3; - 4 ) и В ( - 1; - 2 ).

7. Даны середины сторон треугольника М₁ ( 2; 1 ), М₂ ( 5; 3 ) и М₃ ( 3; - 4 ). Составить уравнения его сторон.

8. Даны вершины треугольника М₁ ( 2; 1), М₂ ( - 1; - 1 ) и М₃ ( 3; 2 ). Составить уравнения его высот.

9. Даны вершины треугольника А ( 1; - 1 ), В ( - 2; 1 ) и С ( 3; 5 ). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А на медиану, проведенную из вершины В.

10. Определить угол между двумя прямыми:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

11. Даны уравнения сторон треугольника ; , . Доказать, что этот треугольник равнобедренный. Решить задачу при помощи сравнения углов треугольника.

12. В треугольнике АВС даны: уравнение АВ , уравнения высот AM и BN . Составить уравнения двух других сторон и третьей высоты этого треугольника.

13. Составить уравнения сторон треугольника, если даны одна из его вершин В (- 4; - 5) и уравнения двух высот и .

14. Определить, при каких значениях «а» и «b» две прямые , :

а) имеют одну общую точку; б) параллельны; в) совпадают.

15. Вычислить площадь треугольника, отсекаемого прямой от координатного угла.

16. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку Р ( 2; 3 ) и отсекает на координатных осях отрезки равной длины, считая каждый отрезок от начала координат.

Ответы

1. а) , б) , в) , г) ;

2. а) , б) ;3. ;

4. ( 2; 1), ( 4; 2), (- 1; 7), ( 1; 8); 5. (- 12; 5); 6. M₁ ( 10; - 5);

7. 

8. 9.

10. a) , б) , в)0, г) ;

12. BC: CA: ,CN:

13.

14. а) при , б) приа=3 и , в) приа=3 и b=2; 15. 6;

16.

ЗАНЯТИЕ 3.5. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА: ОКРУЖНОСТЬ, ЭЛЛИПС

Контрольные вопросы

1. Дать определение окружности, эллипса.

2. Напишите канонические уравнения окружности, эллипса и объясните смысл величин, входящих в эти уравнения.

3. Что характеризует эксцентриситет эллипса?

4. Написать уравнения директрис эллипса, объяснить смысл величин в этих уравнениях, показать расположение директрис и эллипса на чертеже.

Задачи

1. Составить уравнение окружности в каждом из следующих случаев:

а) окружность проходит через точку А ( 2; 6 ), и ее центр совпадает сточкой С ( -1; 2);

б) точки А ( 3; 2 ) и В ( -1; 6) являются концами одного из диаметров окружности;

в) центр окружности совпадает с началом координат, и прямая является касательной к окружности;

г) центр окружности совпадает с точкой С ( 1; - 1), и прямая является касательной к окружности.

2. Написать уравнение окружностей радиуса , касающихся прямойв точкеМ ( 3; 1).

3. Какие из нижеприводимых уравнений определяют окружности? Найти центр С и радиус R каждой из них:

а) , б),

в) , г).

4. Определить, при каких значениях углового коэффициента k прямая y =k x

а) пересекает окружность ;

б) касается этой окружности;

в) проходит вне этой окружности.

5. Вычислить расстояние от центра окружности до прямой, проходящей через точки пересечения двух окружностей:,.

6. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что:

а) расстояние между его фокусами 2 с = 6 и эксцентриситет ;

б) его большая ось равна 20, а эксцентриситет ;

в) его малая ось равна 10, а эксцентриситет ;

г) расстояние между его директрисами равно 5 и расстояние между

фокусами равно 4.

7. Дан эллипс . Найти: а) его полуоси; б) фокусы;

в) эксцентриситет; г) уравнения директрис.

8. Через фокус эллипса проведен перпендикуляр к его большой оси. Определить расстояние от точек пересечения этого перпендикуляра с эллипсом до фокусов.

9. Составить уравнение эллипса, если известны его эксцентриситет , фокусF ( - 4; 1) и уравнение соответствующей директрисы y + 3 = 0.

10. Точка А ( -3; -5) лежит на эллипсе, фокус которого F (-1 -4), а соответствующая директриса дана уравнением . Составить уравнение этого эллипса.

11. Точка М₁ ( 3; - 1) является концом малой оси эллипса, фокусы которого лежат на прямой . Составить уравнение этого эллипса, зная его эксцентриситет.

12. Найти точки пересечения прямой и эллипса.

Ответы

1.а), б), в),

г) ;2.,;

3.а)C( 5; -2),R= 5, б)C( - 2; 0),R= 8, в) уравнение определяет единственную точку (- 5; 2), г) уравнение не определяет никакого геометрического образа на плоскости;4.а), б), в);5.2;

6.а), б), в), г);

7.а) 5 и 3, б)F₁( - 4; 0),F₂( 4; 0), в), г);8.3 и 8;

9.;10.;

11.;12. и ( 3; 2 ).