3.3.1.2 Критерий Пирсона.

Как было отмечено в начале раздела 3.3.1, можно анализировать отклонения выборочных частот _j статистического ряда от гипотетических частот n_j = p_j * n. В качестве меры расхождения выборочных и гипотетических частот К. Пирсон, как это изложено в [15], опираясь на принцип наименьших квадратов, предложил вычислять величину

, (250)

которая, при , имеет распределение ^с r = k – 1 степенью свободы, где k – число интервалов статистического ряда. Это справедливо в предположении, что гипотетическая ФР F₀ полностью определена, т.е. в её выражении не содержится никаких неизвестных параметров.

На практике мы сталкиваемся с двумя нарушениями теоретических предпосылок вывода Пирсона:

1) отдельные интервалы содержат менее десяти частот n_j;

2) гипотетическая ФР F₀ определена с точностью до оценок её m параметров, найденных по выборке.

Первое нарушение можно исправить, объединив s малообъёмных интервалов с соседними, для того, чтобы расширенные интервалы имели не менее десяти частот n_j. Естественно, что число интервалов уменьшится и станет равным =k – s. Некоторые авторы [Митр] смягчают это требование до пяти единиц.

Второе нарушение предложил учитывать Р. Фишер [15]. Для важного класса методов оценивания m параметров генеральной совокупности по выборке необходимо дополнительно уменьшать число степеней свободы критерия ^_r на количество оцениваемых параметров: r = –m – 1.

Эмпирическое значение критерия Пирсона , найденное по формуле (250), сопоставляется с теоретическим значением , представляющим собой двухсторонний доверительный интервал, нижняя и верхняя границы которого – это квантили распределения ^с r степенями свободы:

= [;]. (251)

Нулевая гипотеза (242) отвергается, когда

. (252)

Задача 3.7. Для простой выборки, объёмом 120 элементов, приведённой в таблице 3.3, проверить по критерию Пирсона нулевую гипотезу о нормальности генеральной совокупности H₀ = {X N(E(X) = ; _x = s)} против альтернативной гипотезы H_a = {X N(E(X) =; _x = s)}. Параметры ГС и s оценить по статистическому ряду.

Преобразование выборки (Табл. 3.3) в статистический ряд выполняем аналогично тому, как это было сделано в Задаче 3.6, и размещаем результаты в Табл. 3.4. Первые три колонки обеих таблиц идентичны по форме и содержанию.

Табл. 3.4

Критерий Пирсона
Интерв.	Границы	Эмпир.	Сред.	Центр.	ЦСМ_1	ЦСМ_2	Норм.	Гипот.	Гипот.	Пирс_2
		част.	интерв.	сред.			границы	ФР	част.
j			(ср.)				t	F(t)	n	
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
	-2,76						-2,73	0,0000
1		2	-2,49	-2,50	-5,0	12,5			1,7
	-2,22	3					-2,20	0,0139	5,7	1,6
2		1	-1,95	-1,96	-2,0	3,8			4,1
	-1,68						-1,67	0,0477
3		14	-1,41	-1,42	-19,9	28,3			9,7	20,3
	-1,14						-1,14	0,1282
4		17	-0,87	-0,88	-15,0	13,2			17,4	16,6
	-0,60						-0,60	0,2732
5		24	-0,33	-0,34	-8,2	2,8			23,8	24,2
	-0,06						-0,07	0,4717
6		22	0,21	0,20	4,4	0,9			24,7	19,6
	0,48						0,46	0,6776
7		21	0,75	0,74	15,5	11,4			19,4	22,7
	1,02						0,99	0,8397
8		10	1,29	1,28	12,8	16,3			11,6	8,6
	1,56						1,53	0,9364
9		7	1,83	1,82	12,7	23,1			5,3
	2,10	9					2,06	0,9802	7,6	10,6
10		2	2,37	2,36	4,7	11,1			2,4
	2,64						2,59	1,0000
		120	=	0,012	0,00	1,030	= s2		эмп=	4,2
					s =	1,015	т  	0,8	12,8	]

Для оценивания параметров E(X) и σ_x гипотетического распределения вычисляем середины интервалов

= (_j +_j+1) / 2 (253)

и размещаем результаты в колонке 4.

Оцениваем первый параметр гипотетического распределения – E(X):

= () /n = 0,01. (186)

В колонке 5 выполнено центрирование средин интервалов:

, (254)

значения которых используются для нахождения центральных статистических моментов (ЦСМ):

= () /n. (187)

Промежуточные вычисления для ЦСМ первого и второго порядков (r =1;2) заносим в колонки 6 и 7.

ЦСМ первого порядка контролирует правильность нахождения среднего статистического:

= () /n. = 0. (255)

Оценка второго параметра нормального распределения σ_x, найденная с помощью формулы (187), близка к единице: = s = 1,015.

Нормированные границы t (колонка 8) находят по формуле

t = (x – a) / b, (67)

используя в качестве параметров a и b их статистические оценки: и =s. Значения стандартной нормальной функции выбирают из Приложения 2 и вписывают в колонку 9. При этом для упрощения, открывают первую и последнюю границы «на минус и плюс бесконечность» соответственно: F(t₁ = – ∞) = 0 и F(t_k+1 = ∞) = 1. В колонке 10 располагают значения гипотетических интервальных частот:

n_j = (F(t_j+1) – F(t_j))*n, (256)

Последняя, 11-ая колонка – это слагаемые «уменьшаемого» второго варианта предложенной выше формулы (250) критерия Пирсона:

(257)

В соответствие с ограничениями, накладываемыми на использование этого критерия (см. начало данного параграфа), гипотетические и, как следствие, эмпирические частоты 1-го и 2-го, а также 9-го и 10-го интервалов были объединены. Общее число интервалов k уменьшилось до 8-ми.

Критические (теоретические) значения критерия Пирсона на уровне значимости  = 0,05 равны

= [0,8; 12,8]. (258)

Окончательное решение по проверяемой гипотезе выглядит следующим образом: «Гипотеза H₀ = {X N(E(X) = = 0,012; _x = s = 1,015)} не отвергается, так как ».

3.3.2 Гипотезы о равенстве дисперсий.

3.3.2.1 Распределение Фишера.

Распределение Фишера, или F-распределение, является законом распределения дроби [W&K]

3.3.3 Гипотезы о равенстве МО.

3.3.4 Гипотезы о попарной независимости случайных величин.