8.3.1. Метод скользящего среднего

В основе методов исключения случайных отклонений лежит следующая идея: если разброс значений ряда x(t) около своего среднего значения а характеризуется дисперсией ², то разброс среднего из N членов временного ряда (x₁+…+x_N)/N около того же значения будет характеризоваться гораздо меньшей величиной дисперсии, а именно ²/N. Уменьшение дисперсии и означает сглаживание траектории.

Предположим, что ошибки (t) некоррелированы по времени, иначе применение МНК даст смещенные оценки. Процедура сглаживания временного ряда состоит в следующем. Пусть n – число уровней ряда, m - произвольное число, не превосходящее n/3, обычно не больше 3, и N=2m+1. Тогда оценки вычисляются следующим образом:

, t= m+1, m+2, …, n-m и - веса, определяемые полиномиальным приближениемпри заданномm и p – порядке полинома. В частности при p=1 . Для нахождения весов также используется МНК с минимизирующей функцией. Ошибка, полученная при оценивании временного рядаимеет следующие характеристики:

,

В этих преобразованиях мы перешли к уровням ряда t^/=t+m. Более подробно см. [1, с.806]

8.3.2. Метод экспоненциального взвешенного скользящего среднего (метод Брауна)

Разновидностью МСС, позволяющей учесть важность «недавних» исходных данных при экстраполяции в будущее является метод экспоненциального взвешенного скользящего среднего, предложенный Брауном. В данном случае используется минимизирующая функция

, где 0<<1. Веса уменьшаются при отдалении от прогнозируемого уровня t (с ростом k). Решение задачи дает оценку . Видно, что «скользит» только правый конец интервала (левый закреплен на уровнеt=1), таким образом, оценка определяется не в средней, а в самой правой точке ряда. Ошибка e(t) связана с ошибкой (t) также как и связана сx(t), то есть , следовательно

8.3.3.Случай «бесконечно» удаленного прошлого

Когда Т достаточно велико, можно допустить что прошлое уходит в «бесконечность». Тогда минимизирующая функция записывается следующим образом:

В этом случае оценка неслучайной составляющей временного ряда преобразуется к виду ,

, так как .

8.4. Модели стационарных временных рядов и их идентификация

Модели сглаживания с использованием метода скользящего среднего направлены на прогнозирование величины случайного остатка e(t) по его предыдущим значениям. Таким образом, в прогнозе временных рядов существенно используется взаимозависимость и прогноз самих случайных остатков. Описание и анализ модели может формулироваться в терминах общего линейного процесса. Для случайного остатка (t) можно построить модель

, где u(t), …, u(t-q) – настоящее и прошлые значения так называемого белого шума, или составляющая случайного остатка (t), не зависящая от предыдущих периодов времени: M[u(t)]=0; D[u(t)]=_u²; cov(u(t),u(t+)=0 для 0.

Такая модель называется моделью скользящего среднего степени q (СС(q)).

Эту модель можно записать иначе:

- так называемой моделью авторегрессии степени s (АР(s)). Здесь анализируемый временной ряд получается в виде классической линейной модели множественной регрессии, когда в роли объясняющих переменных выступают значения самого временного ряда во все прошлые моменты времени. При этом весовые коэффициенты ₁, ₂, … (s) связаны определенными условиями, обеспечивающими стационарность ряда (t). Переход от модели АР к модели СС осуществляется с помощью последовательной (и повторенной бесконечное число раз) подстановки вместо (t-1), (t-2), … их выражений, вычисленных в соответствии с моделью СС в моменты времени t-1, t-2 и т.д.

Таким образом, важное соотношение между двумя этими моделями состоит в том, что они взаимообратимы. Конечная модель СС(q) может быть преобразована в модель вида АР(s) с бесконечным числом слагаемых, и наоборот, конечная модель вида АР(s) может быть преобразована в бесконечную модель СС(q). Доказательство этого утверждения можно найти в [1, с.845].

Если анализируемый процесс действительно типа СС(1), то его представление в виде процесса авторегрессии неэкономично с точки зрения формы его параметризации. Аналогично процесс АР(1) не может быть экономично представлен с помощью модели скользящего среднего. Поэтому на практике для получения экономичной параметризации анализируемого процесса иногда бывает необходимо включить в модель как члены, описывающие авторегрессию, так и члены, моделирующие остаток в виде скользящего среднего - смешанную модель, содержащую как слагаемые вида u(t-k), k=0,1,…q, так и слагаемые вида (t-j), j=1,2,…s. Такая модель называется авторегрессионной моделью со скользящими средними в остатках АРСС(s,q):