111

Модуль 8. Анализ временных рядов

8.1. Временные ряды

Ряд наблюдений x(t₁), x(t₂), …x(t_N) анализируемой случайной величины X(t), произведенных в последовательные моменты времени t₁ ,t₂ …t_N называется временным рядом.

Временные ряды с равноотстоящими моментами наблюдений представлять в форме x(1), x(2), …x(N).

Принципиальные отличия временного ряда от введенной в 2.2. последовательности наблюдений x₁, x₂, … x_n, образующих случайную выборку состоят в следующем:

(а) в отличие от элементов случайной выборки члены вре­менного ряда не являются статистически независимыми.

(б) члены временного ряда не являются одинаково рас­пределенными, т.е. Prob{ x(t₁) < х}  Prob{ x(t₂) < х} при t₁  t₂.

Взаимозависимость членов временного ряда создает свою специфическую базу для построения прогнозных значений анализируемого по­казателя (т. е. для построения оценок для неизвестных значений x(N + k)) по наблюденным значениямx(1), x(2), …x(N).

Значения элементов временного ряда формируются под воздействием 4 типов факторов:

• Долговременные, формирующие общую (в длительной перспективе) тенденцию в изменении анализируемого признака x(t). Обычно эта тенденция описывается с помощью той или иной неслучайной функции f(t), как правило, монотонной. Эту функцию называют функцией тренда или просто — трендом.

• Сезонные, формирующие периодически повторяющиеся в опреде­ленное время года колебания анализируемого признака. Условимся обо­значать результат действия сезонных факторов с помощью неслучайной функции (t). Поскольку эта функция должна быть периодической (с периодами, кратными «сезонам»), в ее аналитическом выражении участ­вуют гармоники (тригонометрические функции), периодичность которых, как правило, обусловлена содержательной сущностью задачи.

• Циклические (конъюнктурные), формирующие изменения ана­лизируемого признака, обусловленные действием долговременных циклов экономической, демографической или астрофизической природы (волны Кондратьева, демографические «ямы», циклы солнечной активности и т.п.). Результат действия циклических факторов будем обозначать с по­мощью неслучайной функции (t).

• Случайные (нерегулярные), не поддающиеся учету и регистра­ции. Их воздействие на формирование значений временного ряда как раз и обусловливает стохастическую природу элементов x(t), a следовательно, и необходимость интерпретации x(1), x(2), ... x(N) как на­блюдений, произведенных над случайными величинами. Будем обозначать результат воздействия случайных факторов с помощью случайных величин («остатков», «ошибок») (t) .

Конечно, вовсе не обязательно, чтобы в процессе формирования значе­ний всякого временного ряда участвовали одновременно факторы всех четырех типов. Однако во всех случаях предполагается непременное участие случайных (эволю­ционных) факторов. Кроме того, мы примем (в качестве гипотезы) для определенности аддитивную структурную схему влияния перечисленных факторов на формирование значений x(t).

, где

Выводы о том, участвуют или нет факторы данного типа в формиро­вании значений x(t), могут базироваться как на анализе содержательной сущности задачи, так и на специальном статистическом анализе исследуемого временно­го ряда.