Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Pyrkova_--_Metody_reshenia_differentsialnykh_urav

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2016

Размер:

2.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 139 10 11 12 13 > Следующая >>>

	&		r
x		= a (x),
	&1	1	r
x2		= a2	(x),	(6.3)
		M
			r
	&
		= an (x),
xn
где t	- независимая переменная.

Замечание. Если в некоторой точке xr0 Ω имеет место

am (xr0 )≠ 0 , т.е. в силу непрерывности функции am (x) най-

дется такая окрестность точки xr0 в области Ω, в которой am (x)≠ 0 , то в качестве независимой переменной можно вы-

брать		xm . При t = xm
имеет вид							(xr)
dx					a
		1	=			1	(xr)	,
	dx	m			a	m
							r
dx2					a2		(x)

				= am (xr),
dxm
				Ma			(xr)
dx		n				n

				= a			(xr).
dx		m				m

система в нормальной форме Коши

(6.3')

Первым интегралом системы (6.2) (или (6.3)) называется непрерывно дифференцируемая в Ω функция u(x) такая, что

для любого решения x(t) системы (6.2) (или (6.3)) u(x(t))= const .

Непрерывно дифференцируемая в Ω функция u(x) явля-

ется решением уравнения (6.1) тогда и только тогда, когда она является первым интегралом характеристической систе-

мы (6.2).

Если есть несколько первых интегралов u1 (x), … , uk (x), то произвольная непрерывно дифференцируемая функция Φ(u1 (x),K, uk (x)) - тоже первый интеграл.

Пусть u1 (xr), … , uk (x) - первые интегралы характеристи-

ческой системы (6.2), определенные в некоторой окрестности точки y Ω. Они называются независимыми в точке y , если

	∂u	1	r	∂u	1	r
		1	(y) L		1	(y)
	∂x1		(y) L	∂xn		(y)
	∂x1			∂xn
Rg		M			M		= k .
Rg	∂u	M	r	∂u	M	r	= k .
		k	(y) L		k	(y)
	∂x		(y) L	∂x		(y)
	∂x			∂x	n
	1				n

Для каждой точки y Ω существует ровно (n −1)					незави-
симых в y первых интегралов (6.2).
Общее решение (6.1) имеет вид
u(xr)= Φ(u1 (xr),K, un−1 (x)),					(6.4)
где u1 (x), … , un−1 (x) - независимые первые интегралы ха-
рактеристической системы (6.2), Φ(u	1	(xr),K, u	n−1	(x))	- непре-
рывно дифференцируемая функция.			(n −1)		незави-
Чтобы решить уравнение (6.1) надо найти			(n −1)		незави-

симых первых интеграла характеристической системы (6.2) (или (6.3)) u1 (xr), … , un−1 (x). Это можно сделать, например, путем отыскания интегрируемых комбинаций, используя

свойство

равных

дробей:

если

dx1

dx2

=L=

dxn

= t , то

при

любых

k1 , k2 ,K, kn

таких,

что

k1a1 + k2 a2

+K+ kn an

≠ 0 ,

имеем

k1dx1 + k2 dx2 +K+ kn dxn

= t .

k a + k

+ k

1 1

6.2. Задача Коши для линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка

Достаточные условия существования и единственности задачи Коши дает

Теорема. Пусть в области Ω множество

Π задано уравне-

нием

g(x)= 0 ,

где функция

g(xr)

непрерывна в

вместе с

∂g(rx)

. Пусть точка

y Π. Пусть в точке

имеет

∂x

место

∂g

(x)

∂x

+ a2 (x)

∂x

+K+ an (x)

∂x

r ≠ 0 . Пусть

в некоторой окрестности точки y задана непрерывно дифференцируемая функция ϕ(x). Тогда в некоторой окрестности точки y существует и притом единственное решение u(x) уравнения (6.1), удовлетворяющее условию u(x)=ϕ(x) на Π .

Замечание. Поверхность Π , задаваемая уравнением g(x)= 0 , называется начальной поверхностью.

В дальнейшем будем рассматривать трехмерное простран-

ство: xr = xy Ω R3 .z

Пусть уравнение g(x, y, z)= 0 задает в области Ω гладкую поверхность Π , и ϕ(x, y, z) - непрерывно дифференцируемая

функция, заданная на Π .

Задача Коши для уравнения в частных производных (6.1) в R3 ставится следующим образом: среди всех решений этого

уравнения найти такое решение
u = f (x, y, z),	(6.5)
которое удовлетворяет начальным условиям:
u =ϕ(x, y, z) при g(x, y, z)= 0 .	(6.6)

Для решения задачи Коши:

1. составляем соответствующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений (6.2), или (6.3), и находим

два независимых первых интеграла
u1 (x, y,z), u2 (x, y,z)				(6.7)
2. из системы:
u1	(x, y,z)=u1 ,
u	(x, y,z)= u	2	,
2		2		(6.8)
u =ϕ(x, y, z),				(6.8)

g(x, y, z)= 0
исключаем x,y, z и находим u как функцию u1				и u2 :

u= Φ(u1 , u2 );

3.подставляем в последнее выражение вместо u1 и u2 пер-

вые интегралы (6.7):

u(x, y, z)= Φ(u1 (x, y, z), u2 (x, y, z)).

Т.о., получаем функцию, которая и дает решение задачи Коши.

6.3. Примеры решения задач, предлагавшихся на экзаменационных контрольных работах

Пример 6.1. (7-24)	Найти		все	решения	уравнения
(y 2 +1)z ∂u +(x 2	−1)z	∂u	+(x 2 −1)y ∂u = 0		и решить
∂x		∂y		∂z
задачу Коши: u = z 2		при y = x		(x >1, z > 0).

c 1. Составляем соответствующую (характеристическую) систему обыкновенных дифференциальных уравнений (в симметрической форме)

dx	=	dy	=	dz
(y 2 +1)z		(x 2 −1)z		(x 2 −1)y	.

Найдем 2 независимых первых интеграла:

ydy = zdz ,

+ C . Пер-

(x 2 −1)z

(x 2 −1)y

вый интеграл u1 = y 2

− z 2

(x 2 −1)dx = (y 2 +1)dy ,

(x 2 −1)z

(y 2 +1)z

− x =

y 3

+ y +C .

Первый

интеграл

u2 = y 3 − x3 +3(x + y).

Общее

решение

имеет

вид:

u = Φ(y 2 − z 2 , y 3 − x3 +3(x + y)).

u1 = y 2 − z 2 ,

z 2 = y 2

− u1 ,

u2 = y3

− x3

6 y = u2

+ 3(x + y),

u = z 2 ,

y = x,

y = x.

3. Откуда u

= z 2

− u

y=x

4. Подставляя значения первых интегралов, получаем решение задачи Коши:

u = z

− y

(y 3 − x3 +3(x + y))2

Пример

6.2.

(6-01) Найти

общее

решение уравнения

− y

∂u

+ z

4x 2 − y 2 ∂u

= 0

и решить задачу

∂x

∂y

∂z

Коши u =

при x = y

(x > 0, z > 0).

d 1. Составляем соответствующую (характеристическую) систему обыкновенных дифференциальных уравнений (в симметрической форме)

4x 2 − y

− y

Найдем 2 независимых первых интеграла:

4xdx = −ydy ,

x 2

= −

+ C . Первый инте-

− y

грал u1 = 4x 2

+ y 2

z(4x 2 − y 2 )

4x 2 − y 2

4x 2 y

Используя

найденный

первый

интеграл,

имеем

4x 2 = u1 − y 2 ,

т.о.

(u1 − y 2

− y 2 )

(u1

− y 2 − y 2 )dy

(u1 − y 2 )y z

−

ydy

(u1 − y 2 )y

(u1 − y 2 )

≈

− y

= ln

+C ,

y u1 − y

= C z ,

≈

u1 − y

C =

. Первый интеграл

u2 =

3)Общее решение имеет вид: u = Φ 4x 2 + y 2 , xy .

u1 = 4x 2 + y 2 ,

5x2 =u1 ,

u = z

u = x 4

x 2

y = x,

y = x.

3. Откуда u		=	z		=	1	5	.

	y=x		x 4	y=x		u2	u1

4. Подставляя значения первых интегралов, получаем решение задачи Коши:

u =	5z	o
	(4x 2 + y 2 )xy

Пример 6.3. (7-02) Найти общее решение уравнения и ре-

шить					задачу				Коши
2 y cos 2	x ∂u		+	(1+ y 2 sin 2x)∂u		+	sin 2z	∂u	= 0 ,
2 y cos 2	x ∂u		+	(1+ y 2 sin 2x)∂u		+		∂u	= 0 ,
		∂x			∂y		y ∂z
u = x −1+ctg z					при				y 2 cos 2 x =1
	π	,0	< z
0 < x <	2	,0	< z		<π .
	2

e 1. Составляем соответствующую (характеристическую) систему обыкновенных дифференциальных уравнений (в симметрической форме)

dx		=	dy	=		dz	.
2 y cos 2			1+ y 2 sin 2x		1
	x					sin 2z
					y

1)В этом случае интегрирование системы проведем путем подбора так называемых интегрируемых комбинаций. Для этого сначала характеристическую систему дифференциальных уравнений перепишем в виде (6.3):

x& = 2 y cos2 x,

y& =1 + y 2 sin 2x,

z& = 1 sin 2z.

Вычитая из второго уравнения, умноженного на cos x ,

первое,	умноженное	на	y sin x ,	получаем
	90

•

или

(y cos x)= cos x .

− yx sin x + y cos x = cos x

d (y cos x)

. Нетрудно заметить,

что

y cos x

sin 2z

Таким образом получили интегрируемую комбинацию

d (y cos x)

y cos x

sin 2z

y cos x

= ∫

∫

sin vdv

sin 2z

sin v

sin

d cos v

= −

dζ =

∫(1−cos 2 v)

∫

−ζ

+ζ

= −

1+ζ

1−cos 2z

+C =

1−ζ

1+cos 2z

2 sin 2

ln(tg z)+C . Первый инте-

2 cos 2

грал u1 = y 2 cos2 x ctg z .

Замечая,

что

= ydt

= y 2

, ис-

2 cos2 x

sin 2z

пользуя

найденный

первый

интеграл,

получаем

u1 tg z

dx =

u1dz

2 cos2 x

cos2

x 2 sin z cos z

cos2 z

= y

cos

x − x .

x = u1 tg z +C . Первый интеграл u2

3) Общее решение имеет вид:

x − x).

u = Φ(y 2 cos2 x ctg z, y 2 cos2

u1 = y 2 cos2 x ctg z,

ctg z = u

= y

cos

1 − x = u2 ,

− x,

u = x −1

= x −1 + ctg z,

+ ctg z,

cos2 x

=1.

cos

x =1,

3. Откуда u y2 cos2 x=1 = (x −1 + ctg z)y2 cos2 x=1 = u1 −u2 .

4. Подставляя значения первых интегралов, получаем решение задачи Коши:

u = y 2 cos 2 x(ctg z −1)+ x . p

6.4. Задачи для самостоятельного решения

Найти общее решение уравнения и решить задачу Коши:

141.

(6-01)

− y

∂u

+ 4x

∂u

+ z

4x2

− y 2

∂u

= 0

u =

при x = y

∂x

∂y

∂z

(x > 0, z > 0).

∂

−

∂

z 2

142.

(6-02)

− x

= 0

u =

при y = x 2

2x2 ∂x

∂y

∂z

4x3 y

(x > 0, z > 0).

143.	(6-03)	x2 ∂u + y 2 ∂u		− z(x + y)∂u = 0			, u =	z	при x = 3y
143.	(6-03)	x2 ∂u + y 2 ∂u		− z(x + y)∂u = 0			, u =	x	при x = 3y
		∂x	∂y		∂z			x
	(x > 0, z > 0).
144.	(6-04)	3z 2 ∂u	+ y 2e x ∂u		+ 2zye x ∂u	= 0 , u = e x y 4 при
		∂x		∂y	∂z

	y 2 z =1 (y > 0).
145.	(5-11) 2x2 z		∂u	+ 2 y 2 z ∂u	−(x + y)∂u = 0 , u = e z2		при
			∂x	∂y		∂z
	x = 2 y (x > 0, y > 0, z > 0).				− y − z)∂u = 0 , u = (2 − z)x при
146.	(5-12)	x ∂u	− x	2 ∂u + (x2	− y − z)∂u = 0 , u = (2 − z)x при
		∂x		∂y		∂z
	x = y (x > 0).
147.	(5-13)	y ∂u	+ x	∂u + z(x + y)∂u		= 0 , u =3y 2 ze−3 y	при
		∂x		∂y	∂z
	x = 2 y	(x > 0).

148.	(5-14)	yz ∂u	+ xz ∂u + (x − y)∂u			= 0 , u = z 2 −3x 2 − 2x при
		∂x	∂y	∂z
	y = 2x (x > 0, z > 0).
Найти все решения уравнений и решить задачу Коши:
149.	(7-21)	(x3 +3xy 2 )∂u + 2 y3 ∂u			+	2 y 2 z ∂u = 0 , u = 2z при
			∂x	∂y		∂z
	x = y (x > 0, z > 0).			− z 2 )
150.	(7-22) 2xy ∂u + (y 2 − x2			− z 2 )	∂u	+ 2 yz ∂u		= 0 ,
		∂x			∂y	∂z
	u = z 2 + z + y 2		при z = x2 (x > 0, y > 0).
151.	(7-23)	x(y 2 − z 2 )∂u − y(x2 + z 2 )∂u + z(x2						+ y 2 )∂u = 0 ,
			∂x			∂y			∂z
	u = x2 (1 + z 2 )при y = xz			(x > 0, y > 0).
152.	(7-24)	(y 2 +1)z ∂u + (x2		−1)z ∂u + (x2 −1)y				∂u	= 0 , u = z 2		при
			∂x	∂y				∂z
	y = x (x >1, z > 0).
153.	(7-31)	zx ∂u	+ z(2x − y)	∂u + (x2		+ z 2 − xy)∂u			= 0 , u =	z 2
153.	(7-31)	zx ∂u	+ z(2x − y)	∂u + (x2		+ z 2 − xy)∂u			= 0 , u =	x
		∂x		∂y				∂z		x
при x − y =1 (x > 0).
154.	(7-32)	(z 2 + 2 y)∂u + (z 2		+ 2x)	∂u	− z ∂u	= 0 , u = 3z 2 x			при
			∂x		∂y	∂z
	x + y = z 2 (x ≠ y).
155.	(7-33)	x ∂u + y 2 (z + x)2 ∂u −(2x + z)∂u					= 0 , u = z(x − z)				при
		∂x		∂y		∂z
	xyz =1.	(z + y	2 )∂u + (z + x2 )∂u
156.	(7-34)	(z + y	2 )∂u + (z + x2 )∂u		− 2z(x + y)∂u				= 0 , u = (x − y)z
			∂x	∂y				∂z

при z +3xy = 0 (x ≠ y).

Решить уравнение и задачу Кошия

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 139 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.06.2015137.73 Кб11Plotnikov 7.doc
#
03.06.2015206.85 Кб24Plotnikov 8.doc
#
03.06.2015287.79 Кб12program.pdf
#
03.06.2015300.67 Кб47Project management.docx
#
03.06.2015456.57 Кб36PS3_10_13.pdf
#
27.03.20162.03 Mб36Pyrkova_--_Metody_reshenia_differentsialnykh_urav.pdf
#
03.06.2015148.06 Кб13qm-tolstikhin1-2012.pdf
#
03.06.201510.32 Mб9questionsExamRNP-2013-2014.pdf
#
03.06.2015199.08 Кб39Random processes and SDE.pdf
#
03.06.201512.85 Mб16Razumov_1.doc
#
03.06.2015401.92 Кб30Razumov_3.doc