qm-tolstikhin1-2012

ПрорУТВЕктор. .С ЖДАЮ

ïî ó÷ íîé

îò

курсу:

Ï Î ÀÌÌÀ 08 к м ярский2011р .

ТЕО ЕТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

ïî направлению: 010900¾Ïð

ладные математика и изика¿

льтет: ФФКЭ

à åäðà:

теоретической изèêè

óðñ:àêó

III

семестр:

6

÷. åä.

Трудоемкость: базовая ча 2

вариативная часть

2

÷. åä.

екции 32 часа

Экзамен нет

по выбору ñòудентçà 0

÷. åä.

лабораторные занятия нет

Самостоятель ая работа

практ ческие (семинарские)

Зачет ди . 6 семестр

з нятия 32 часа

ÂÑÅ Î ×À

64

2 ÷àñà â íеделю

ó

составил

Программа принят

на заседании

25 ноября 2011заданиего

ä. .-

.í., äîö.ÑÎÂ.И. Т лстихин

êà åäðû

ой изики

Ю.М. Белоусов

Заведующийтеоретическа едрой

1. Введение

óêàç

âà

ùèå

íà íåîá

Физические явлен ,

велич

. Âîë

механики. Атом ый

масшт б

основ ые

де Бройля. Состоÿ

èå

àáëþ

è

развитиякван

механики. Вол

îâàÿ

¼ вероятдимостьпонятинтерпре

квантовойция. Принцип

суперпозицункция. Среднее изическихзна

наблюдаемой.

Эрмитовость операто

изическихдаемаяв личин. Операторы коор

-

íàòû,

импульса

энергии (г

ильтон ан). Уравнение Шредингера

основной закон

квантовой механикè.

2. Ó

íèå

плотно ть пот ка вероятности. У

Плотностьавн

я ности

íåïрерывнрости. Оператор производной

наблюдаемой по врем

. Коммутаторы

скобки Пуассона. Теоремы Эрен еста. Инт

гралы движения

СтШредингераонарн состоя

я и стационарное уравнå-

íèå

Шредингера.

Вариационный

принцип.

3. Элементы

теории

ïðåä

авлений

Базис в гильбертовом

тве. Понят я вектора состояния

прост

ñòâà

остоянийпростран.ачения

а. Система собствен

õ

оператора

изическ

Дираквел чины. Дискрет ый

è

епре ывный

пектры. Норми овк собственных у кций на еди

нвпредставейзенбергОбщееэволюциичае,ыеицуличинопреде4.когдапреобразОднЭволюцияëåíПолный. гамильтонианаункциюПредставления

ункцийрешение.-

мерное

δ

ностидля.ванияУзадачисловиенабор.воперато.дномУ.времениКооркКоширноговиясистемыОбозовдновременнойммутирующихдинаШредингераизическихдляогональностиное,уравнениязависитимпульсноеизмеримостиоператороввеличиейзеотШредингеравремениполнотыберг.энергетическ. Соотношени. .УравнениеизическОператор.

Унитслуароех--

5.

ñâîйства

движение

движения. Невырожде

Îáù

êðå

èöû,

спектра,

теорема. Движение свободной

÷

волновой пакет. Отражение

îé

íêè

Прохногождение черезосцилляционнаяотражение от

барьера, ундис-

6. Одномерный г

осциллятор

+

-

армоническчасы.ицыЭн ргетическийого.осцилКоге

ОперарентныелятораспектрПовышающий7.Орбитальныйорысостояниявекторыэнергетическорбартовыхaˆ альногостационарных.понижающиймоментармоническиймоментационныеоординатномимпульсасостоянийимпульсаaˆ оператопредставленияхг

ðàò

ˆL è åãî êâàä

ˆ

ˆL

-

íкик)ы оордисоотдля целыхошенийатному.прЦ дстлыеавлениюполуцелые значения2 исх дяс моментаерическихиз оммут.Перехационгармод

lz

Матрицы

нтовостационарномнабороординатах.ункцииполечислаоммутирующихуровней..раничныеПаулиурквантовоезд. .ениилениеусловияопеШчислораатороведингепроальдля-.

квьнойквантовыеырождения

ëíûé

связанныхрнойадиальнмиль.109Уравнен.Движ.угАмомтониантомвыхсостоянийнтаениеводородаорбитальн.дляпеременныхКратность.сСпинрадиацентральномерических.Пчастицы

екции

l

азделение переменных

-механической задаче двух тел.

волновыеатома.

ункции стационарныхЭнергетическийстояний водород подобного

âíî

квантовое

число. Ку

îновское (случайнîе) вырож-

Атомная сист ма единиц.

спектр и радиальные

ñè÷åсКвазиклассического приближения. Клàссическидномерноераз ешåíнаядвиж запрещенная

11.

îå

приближение

дение

åíèå

Волновая ункц я, описыв ющая о

êëàñ

îì

ближении. Критерий п им имости

квазиклас-

3

области, точки поворот . Условие сшивки двух

õ

ешений, взятых

разные стороны от точки квазиклассическповорот.Услов

å

Бора Зоммер ел да. Фазовый объем, приходящийся

квантованияна дно состояние,

плотность состояний. Вероятность туннели-

рования через

потенциальный барьер.

Ëèò ð òóð

1

Основная

овая механика. Нереляти-

Ландау Л Д., Ли шиц Е.М.

2

вистская теория. М.: Физматлит, 2010.

Мессиа А. Квантовая механикКван М.: Наука; Т.1, 1978; Т.2,

3

1979.

Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика. М.:

4

Наука, 1976

алицкий В.М., Карнаков Б.М., Коган В.И. Задачи по кван-

5

товой механике. М.: Наука, 1981.

Белоусов Ю М. Курс квантовой механики. .: МФТИ,

6.

2006.

Киселев В.В. Квантовая механик . М.: МЦНМО, 2009.

1

Дополнительная

механики. М.: Наука,

ирак П. .М. Принципы

2

Давыдов1979.

А.С. Квантовая механикквантовой. М.: Наука, 1973.

3

Ши Л. Квантовая механик . М.: ИЛ, 1967.

4

лохинцев Д.И. Основы квантов

механики. М.: Наука,

5.

1976.

А.Л. Лекции по квантовой механике: учебное по-

Бараб

собиеанов2-х частях. М.: МФТИ, 2005.

http://theorphys.mipt.ru/biblio/qm-barabanov.html.

4

6

Белоусов Ю.М., Кузнецов В.П.,

Смилга В.П.

7

Аллилуев С.П.

îâàÿ

сложного атомаКатехизис:кванто

учебное пособие. М.: МФТИ, 2005.

Ирошниковстояния квантов й механиктеориятеории поля: учебное поñî-

8.

вая теория излучения: учебное пособие. М. МФТИ, 1984.

.С.Квантину

льный интеграл и когерентные

9. Тернов А.И.

Основы

релятивистской квантовой механики:

áèå. Ì.: ÌÔÒÈ, 1997.

учебное

пособие. М.: МФТИ, 2002.

Óïð

íèÿ

Ï ð î í

1аторовC пространственнойэрмитовосопряжинверсиныеè ниобратные операторы оператодля

2

трансляцииˆ сляции ˆ

I

Ta.

ров Найти

ченнсляциисобствен ые

C

собстве

ныеинверсизна

ункции

-

3

ˆ

ˆ

I

Ta.

4 C

ˆ

eiIϕ.

5.

C

разить опера ор тр

ˆ

Ta через оператор импульса pˆ.

C Âûчислить действие нà волновую ункцию оператора

I

AP

I

P

6 Ï

, ÷òî

e~

ˆ U(r) e−

~ A ˆ.

ˆ ˆ+

ˆ ˆ+

7. Äоказать равенствоAA

коммутаторовэрмитовоператор и hAA i > 0.

8. Вычислить

ˆ

ˆ ˆ

ˆ

ˆ ˆ

ˆ

ˆ ˆ

[A, BC] = [A, B]C + B[A, C].

9.

[x, pˆ2],

[U(x), pˆ],

[U(x), pˆ2].

Доказать справедливость разложения

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ ˆ

1

2

ˆ ˆ ˆ

ξA

−ξA

E

B E

= B + ξ[A, B5] +

2!

ξ

[A, [A, B]] + . . .

10.C

Эрмитов Собственныеоператорадискр тным

спектром

ˆ

ïàðà

åòðà

f(λ) зависит от

ðû

λ.

çíà÷åíèÿ fn(λ) и собственные векто-

ельмана этогоФейнмана:

также зависят от λ.

Доказать

|n(λ)i

теорему

∂fn(λ)

ˆ

11.

=

Dn(λ)

∂f(λ)

n(λ)E.

∂λ

∂λ

Вычислить коммутатор

12.

[ˆa, f(ˆa†)].

средниеПользуясьзначенияоператорамиоператоровдисперсиирождениякоординатыуничтоженияимпульса,вычислитьакже

C

4

2k+1

4

2k+1

уарном состоянии гарм

нического осциллятора,

. Обсудитев-м величистацио

xˆ

xˆ

pˆ

pˆ

n

13. hxˆ2ihpˆ2i в связи с со тноше ем неопределенностей.

авленииоро ниуейзенбергачтожения. для гармониче-

ждения

14ского.C НайтиосцллятораоператорыпредстВ

C Вычислить коммутаторы

[lα, l±],

[l+, l−], [lα, xβ ],

[lα, pβ],

[lα, r2],

[lα, p2],

15. [lα, (r · p)],

[lα, pβpγ ],

[lα, f(r)],

[lz , f(ρ)], ρ2 = x2 + y2.

C Доказать равенство

ãäå

(σ · a)(σ · b) = (a · b) + I σ · (a × b),

6 Вычислитьa b векторы.

7

σ2

[σ , σ

α

].

действие± ±

18.CÄëÿ

на пинор оператора EIφ (σ·N).

j

= 1

записать матрицы

j

2,

jα

,

j± è

àéòè

äëÿ

j

2

jz . Найти

векторы

матрицы

собственные значеíèÿ

собственные

(j · n).

6

a)

V (x) =

(

0, |x| > a,

−V0

, |x| < a, V0 > 0,

b)

V (x) =

−V , 0 < x < a, V > 0,

+∞,

x < 0,

á)

0

0

3.

0,

x > a.

÷àñòC a)цыНайтивполе:энергию

и волновую ункцию связанного состояния

~2

α параметраионизациикоординатыициентыямыпрохссвязанногоиимпульждения-

Вычислитьостоянаотражениявсвязанномприсредние.в)мгновенсостоянииВычислитьзначенияVîì(.xизмен=вероятностьНайти−дисперсиикоэåíèèδ(x).

m

вба)4предстг).

α0

äî

α1

потенциальнойпотенциальногоункциюпрох связанногожденияямыступеньки;барьера;.отражсостоения частицывимпульсномдля:.

авлениикволновуюэ. ициентыго

прямоугольной

Найти

7

стицыуровниполе:энергии и волновые ункции связанных состоя-

5.íèéC Í÷àé

ассмотреть п Våäåë(x) = −

~2α

δ(x + a) + δ(x − a) .

m

ìîå.

вероволновятнчастотустьй ункцииобнаружитьэволючастицы,частицуиюсвязначвàльногодвижущейсннойтойлевойсостоямеяния,в

ментОпределитьотвечающеговремени

αa 1

7квазиимпу.вычиαa ëèòü1 (слабаясаэ. ективную.Найтмсвязь) èссузакончастдисперсцыпр малыхдляпервойзначенияхзоны

6.

t è

осцилляций.

тенциC Íàйтильномразрешенныеполе: зоны энергии частицы,

ÿ â ïî-

~2α n=+∞

X

ассмотреть предельныеV (x =ñëó÷−

: à) δ(x − n a).

m

n=−∞

á)

αa 1 (сильная связь),

ассмотретьпредставленииямесостояниявопроспространствесущечастицыдлямелкойованиидного,сямы)ерическисвязанногодвухтрех(качественносимметричнойизмеренийсерически.в

8импульсномпотенциальнойсимметричного.

неопределенностейНайти в лновуюдля ункцоорèю,натыминимпуизирующуюльса: соотношение

C

9.

~

.

δx · δp =

2

Пу ть в момент t

= 0 состояние свободн

ч стицы массы

m

опинимает

Найти,акîé, ÷òî

hxˆi = x0,

ñыв волноваясолновойункция кцией ψ0

(x)

ñàâî временипр , произминимальедение неопределенностейое

динатыбудет менятьсимпулья

hpˆi = p0

значастчен цы.

кооркак

í ñòè

ψ(x,изотропногоt) плотность веро

10.

|ψ(x, t)|2.

скогоные вНайтиосцилляторадекартовыхурвникооиэнергиикдинатостиахтрехмерн.ихОбсудить8вырогождения,связь

-

C

задазделяячигсармоничепеременделью

ядерных оболочек и получить значения магических чисел 2, 8, 20.

11. ассм тре ь когерентные состояния одномерного гармониче-

скогерентносциллям состоÿíèè.

Второ ни

îãî

ора. Вычислить распределение по числу квантов в

стоянии12.C Найти средние значения компонент момента импульса в со-

|l, mi:

13.

ˆ

ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ2

ˆ2

hlxi,

hlyi,

hlxlyi,

hlylxi,

hlxi = hlyi.

ственных сост

вязанномäèòñ

îá

ñòîяниях

z, равной 1/2, íàõ

14.

σ · n.

öèîC àð

ì

яниизаряж.Вмоменныйт временимюнах дится в

à-

ìàã

èò

операторле

t = 0, когда включается

остояние мюонаHописываетс,направляноеункциейпод углом

θ

кмюонаñи , спинов е

ункцией

z

. Какой

1

|χ(0)i =

0

ледующиеыглядит|χ(t)ментыi

времениинамюонаяспиновоепредставлениисостояниеШредингера?вовсекциюпо-

Н йдите вектор

ля изации мюонаˆS(t)

представлении айзенберг

Кремени,

(t) = 2hχ|ˆ|χi

à?

êàê

ó

.

предст лениямипространствPШр дингеравекторS

совершает

àê

движениепользуясь

15ли. во времени его длина?

P(t) Меняется

-

четностьского. вНайтициллятораерическихостоянийурвни. энергииêратностиоординатахтреихмерн.выроОпределитьгождения,изотропногопространсразделяяармопеременвеннуюиче

16íûåC

Найтипи атьсостояниямпульсномстационарноевоимпульсномпредставлениуравненпредст.НайтиШредиавленииволновуюгера.для атомаункциюво-

17основногодород.З

C

средние значения r, r

2

, 1/r, 1/r

2 вириала2 для

p

nl-состояний атома

дорода, используя9 теорему

è

+∞,

x < 0,

U(x) = mω2x2

20.

, x > 0.

2

тенциальныйC В квазиклбàссикерьер найти

коэ ициент проникновения через по-

−U0,

0 < x < a,

в пределе

U(x) =

2Ze2

,

x > a,

2

x

a 2Ze

/E. Обсудить связь с элементарной тео ией

лаэнергий

ационарных

ÿíèé ением,

δEn

α21-распада.Вычислитьполучить закон ейгера Неттола.

и собственные

вункцииквазиклчàñòèческомцывпотенциалеприближении уровни энергии

22.

U(x) =

( F x,

x > 0.

+∞

x < 0,

циалеC Частица совершает инитное движение в одномеризмененияпотенциа

;

øèñü U(x) En

ных состоянийнайдите. Восп

ëüç âàâ

квазиклассическимэ ергиисостоприближациона

при малом изменения

-

U(x) → U(x) + δU(x).

10