Random processes and SDE

О курсе лекций А.М.Башарова

«Введение в случайные процессы и стохастические дифференциальные уравнения для физиков»,

для студентов 4 курса НБИК МФТИ (кафедра математики и математических методов физики).

Основное внимание уделено случайным процессам, определяющим стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), практике использования СДУ в теории случайных процессов и для описания базовых физических моделей наносистем с выводом кинетических уравнений для наносистем. Проводится аналогия между классическим и квантовым описанием систем с использованием понятий состояния системы, алгебры операторов и кинетического уравнения для состояния системы. При таком подходе уравнения типа Фоккера-Планка классической теории случайных процессов и уравнения для матрицы плотности открытой квантовой системы являются представителями одного и того же класса кинетических уравнений, описывающих релаксационную динамику системы. Дается представление об открытых системах и их описании при помощи СДУ. Подробно излагается теория СДУ как винеровского, так и невинеровского типов в случае классических (не квантовых) случайных процессов. Для случая спонтанного излучения квантовой частицы показано, как основополагающий принцип редукции состояний квантовой системы при ее измерении можно записать с использованием классического невинеровского стохастического дифференциального уравнения. Для единообразного вывода кинетических уравнений типа Фоккера-Планка в случае процессов Леви общего вида даются необходимые элементарные сведения о дробном дифференцировании и интегрировании. Отмеченные особенности лекций отличают их от стандартных курсов по теории случайных процессов.

Тексты многих лекций содержат больше материала, чем удается рассказать на лекции без использования презентации. Нерассказанный на лекциях материал, либо рассматривается на семинарах, либо приведен в тексте лекций для справок.

Поскольку тексты лекций еще не изданы, ниже приведем литературу ко всему курсу и подробные темы лекций, прочитанных в 2011/2012 учебном году, с указанием на известные учебники и статьи, где данный материал разобран. Текущие лекции (2012/2013 учебный год) могут значительно отличаться порядком представления материала и рассматриваемыми примерами, однако в целом будут соответствовать материалу, прочитанному в 2011/2012 учебном году и представленному ниже.

Особенность изложения материала состоит в рассмотрении разнообразных примеров, в которых выявляются основные идеи, связи и направления их строго развития. При этом не будем останавливаться на подробном анализе математического смысла возникающих объектов, хотя основные определения будут приведены, а большинство строгих понятий и необходимых теорем будут даваться в виде соответствующих ссылок, идей их появления и набросков доказательств. Предполагаются знания теории вероятностей, однако основные темы, важные для понимания стохастических дифференциальных уравнений, будут кратко повторены. Имеется много книг, посвященных теории СДУ со строгим изложением математических понятий (из которых я рекомендую [3-5]). Наиболее близкими к лекциям по духу изложения являются книга Гардинера [1] и недавно вышедшая книга Джэкобса [2]. При этом полезны книги [6-8]. Вся рекомендуемая литература в электронном виде может быть найдена в Интернете.

Литература ко всему курсу лекций

1.Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках. М., Мир, 1986. http://bookfi.org/book/474805

2.Jacobs K. Stochastic Processes for Physicists. Cambridge, CUP, 2010. http://bookfi.org/book/1218703

3. Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения. М., Мир, 2003.

http://bookfi.org/book/507197

4.Protter P.E. Stochastic integration and differential equations. Berlin, Springer, 2004. http://bookfi.org/book/448840

5.Cont R., Tankov P. Financial modeling with jump processes. London, CRC Press, 2004. http://bookfi.org/book/448969

6.Breuer H.-P., Petruccione F. Theory of open quantum systems. Oxford, OUP, 2002. http://bookfi.org/book/453498

7.Klebaner F.C. Introduction to stochastic calculus with applications. London, ICP, 2005. http://bookfi.org/book/448790

8.Дуб Дж.Л. Вероятностные процессы. М., ИИЛ, 1956.

http://bookfi.org/book/1215948

Содержание лекций 2011/2012 учебного года

Лекция 1. Основные идеи и представления теории случайных процессов в простых примерах. I. Броуновское движение

1.Подход Эйнштейна и Смолуховского (1905-1906).

2.Идеи и понятия, связанные с подходом Эйнштейна и Смолуховского: плотность условной вероятности, фильтрация, естественная фильтрация, марковское приближение, марковские случайные процессы, уравнение Чемпена-Колмогорова-Смолуховского, уравнение Фоккера-Планка, решение уравнения Фоккера-Планка, автомодельность и самоподобие, гауссовская случайная величина и винеровский процесс.

3.Подход Ланжевена (1908).

4.Идеи и понятия, связанные с подходом Ланжевена: характерные масштабы времен изменения величин, автокорреляционная функция, стационарная случайная величина, спектральная плотность, теорема Винера-Хинчина, белый шум, стохастическое дифференциальное уравнение,

5.Подход Башелье (1900).

6.Идеи и понятия, связанные с подходом Башелье: неупреждающий процесс, мартингал, суб- и супер мартингалы, информационный поток, устойчивое распределение, безгранично делимый случайный процесс, предельные теоремы (законы больших чисел), условие Линдеберга. Связь с предыдущими подходами Эйнштейна-Смолуховского и Ланжевена

Литература к лекции 1 с комментариями

1.Сходное описание подходов к броуновскому движению Эйнштейна-Смолуховского и Ланжевена, а также кратко о фурье-анализе случайных величин и автокорреляционной функции, можно найти в книге Гардинера, Глава 1.

Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках. М., Мир, 1986. http://bookfi.org/book/474805

2.О подходе Башелье и следствиях можно прочитать в книге

Мантенья Р., Стенли Х. Введение в эконофизику. Корреляции и сложность в финансах. М.,

Книжный дом "Либроком: глава 3; приложение Б. Английская версия

Mantegna R.N., Stanley H.E. An Introduction to Econophysics: Correlations and Complexity in Finance, CUP, 2004.

http://bookfi.org/book/1087918

Оригинальная статья L.Bachelier на французском языке http://bookfi.org/book/1232240

Лекция 2. Основные идеи и представления теории случайных процессов в простых примерах (продолжение)

I. Броуновское движение (продолжение)

1.Подход Винера (1921-1930)

2.Идеи и понятия, связанные с подходом Винера: интегралы по траекториям или винеровские интегралы, функциональная мера, мера Винера.

II. Дробовой шум

3.Распределение вероятностей для числа электронов на аноде. Распределение Пуассона.

4.Дифференциальное уравнение для тока

5.Идея стохастического дифференциального уравнения. Правило дифференцирования Ито.

6.Пуассоновский процесс

7.Классическая задача Бернулли. Броуновское движение из распределения Бернулли. Теорема Муавра-Лапласа. Распределение Пуассона из распределения Бернулли

Литература к лекции 2 с комментариями

1.Chaichian M., Demichev A. Path Integrals in Physics. V. I. Stochastic Processes and Quantum Mechanics. Bristol and Philadelphia, IOP, 2001. Section 1.1.

http://bookfi.org/book/452695

2.Винер Н. Нелинейные задачи в теории случайных процессов. М., ИИЛ, 1961. Лекция 1. http://bookfi.org/book/1221160

3.Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках. М., Мир, 1986. Глава 1. http://bookfi.org/book/474805

4.Кингман Дж. Пуассоновские процессы. М., МЦНМО, 2007.

5.Ван Кампен Н.Г. Стохастические процессы в физике и химии. М., Высшая школа, 1990. http://bookfi.org/book/467359

Лекция 3. Основные необходимые представления теории вероятностей

I. Некоторые сведения из теории вероятностей

1.Пространства элементарных событий, системы его подмножеств F , -алгебра, вероятностной меры и понятия измеримости множества и функции, борелевская алгебра борелевскими множества, вероятностное пространство, пространство состояний, Траектории процесса

2.Связь между вероятностными и теоретико-множественными представлениями

3.Пример введения меры на бесконечномерном пространстве

4.Измеримое пространство в случае броуновского движения

5.Измеримое пространство для пуассоновской переменной

6.Совместные и условные вероятности

7.Сепарабельные случайные процессы

8.Теорема Колмогорова

9.Некоторые определения: Информационный поток (фильтрация), неупреждающий процесс, мартингал, суб- и супермартингалы

10.Независимость

11.О сходимости случайных величин: Сходимость почти наверное (п.н.), Стохастический предел, или предел по вероятности, Сходимость в среднем порядка 0 q , Предел по

распределению. Взаимосвязь различных пределов. 12. Неравенства Чебышева

Литература к лекции 3

I. Уравнение Чемпена-Колмогорова-Смолуховского. Обобщенное уравнение ФоккераПланка 1.Математическое определение непрерывного марковского процесса.

2.Некоторые частные случаи обобщенного уравнения Фоккера-Планка Управляющее уравнение. Диффузионные процессы. Уравнение Фоккера-Планка. Детерминированные процессы. Уравнение Лиувилля

3.Обобщенное уравнение Фоккера-Планка как кинетическое уравнение при классическом и квантовом описании О квантовании. Понятие открытой системы

Литература к лекции 5

1.Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках. М., Мир, 1986. Глава 3.

2.Тирринг В. Курс математической и теоретической физики. Т.1. Киев, TIMPANI, 2004. http://bookfi.org/book/451113

3.Швингер Ю. Частицы, источники, поля. Т. 1. М., Мир, 1973.

http://bookfi.org/book/453448

4. Башаров А.М. Квантовая теория открытых систем на основе стохастических дифференциальных уравнений обобщенного ланжевеновского (невинеровского) типа,

ЖЭТФ, 142, n.3(9), 419-441 (2012). https://www.researchgate.net/publication/231183147_Quantum_Theory_of_Open_Systems_Bas ed_on_Stochastic_Differential_Equations_of_Generalized_Langevin_(nonWiener)_Type?ev=prf_pub

Лекция 6. Элементы теории марковских процессов (продолжение)

II. Примеры марковских процессов

1.Стационарные и однородные марковские процессы Эргодические свойства стационарного процесса

Измерение среднего значения. Измерение автокорреляционной функции. Измерение спектра. Измерение функции распределения

2.Однородные процессы

Физическая интерпретация однородного процесса. Автокорреляционная функция марковских процессов.

3.Винеровский процесс Нерегулярность траекторий винеровского процесса. Недифференцируемость траекторий.

Независимость приращений. Автокорреляционные функции 4. Процесс Орнштейна - Уленбека

Временные корреляционные функции для процесса Орнштейна - Уленбека

Литература к лекции 6 1. Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках. М., Мир, 1986. Глава 3.

Лекция 7. Винеровские стохастические дифференциальные уравнения

1.Обоснование уравнений типа Ланжевена

2.Определение стохастического интеграла Интеграл Ито, Интеграл Стратоновича. Неупреждающие функции

3.Основные формулы для интегралов Ито

4.Свойства стохастического интеграла Ито

Существование. Интегрирование многочленов. Правила дифференцирования. Средние значения. Формула для корреляции 5. Стохастические дифференциальные уравнения (СДУ)

Условие Липшица. Условие роста. Марковское свойство решения стохастического дифференциального уравнения Ито

6.Замена переменных. Формула Ито

7.Другой подход к формуле Ито. Правило дифференцирования Ито

8.Связь между уравнением Фоккера - Планка и СДУ

Литература к лекции 7 1. Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках. М., Мир, 1986. Глава 4.

Лекция 8. Винеровские стохастические дифференциальные уравнения (продолжение)

II. Примеры работы с винеровскими СДУ

1.Нестандартный винеровский процесс

2.Случай, когда коэффициенты СДУ не зависят от случайной переменной

3.Мультипликативный шум

4.Процесс Орнштейна-Уленбека

5.Использование замены переменной при поиске решаемых СДУ

6.Уравнения для среднего и моментов

7.Осциллятор с шумящей частотой

8.СДУ Стратоновича

9.Связь между СДУ Ито и Стратановича

10.СДУ Стратоновича для Осциллятора с шумящей частотой

11.СДУ в случае комплексного винеровского процесса

Два независимых случайных винеровских процесса. Комплексный винеровский процесс общего вида

Литература к лекции 8

1.Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках. М., Мир, 1986. Глава 3.

2.Jacobs K. Stochastic Processes for Physicists. Cambridge, CUP, 2010. Ch. 3.

Лекция 9. Невинеровские стохастические дифференциальные уравнения

1.Пуассоновский процесс как следствие обобщения алгебры типа алгебры Ито

2.Некоторые дополнительные свойства пуассоновского процесса

3.Компенсированный пуассоновский процесс

4.СДУ невинеровского типа

5.Решения простейших СДУ невинеровского типа

Уравнение для заряда на аноде. Уравнение для тока на аноде. Линейное уравнение. Осциллятор с шумящей частотой невинеровского типа. Осциллятор с шумящей частотой общего типа

6.Телеграфный процесс

7.Постулат редукции состояний квантовой теории и его описание при помощи классического пуассоновского процесса.

Редукция волновой функции спонтанно излучающей частицы

8.Численные расчеты методом Монте-Карло

Стохастическое уравнение Шредингера для волновой функции и кинетическое уравнение для матрицы плотности

Литература к лекции 9 1. Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках. М., Мир, 1986. Главы 1, 3.

2.Chechkin, V. Gonchar, J. Klafter and R. Metzler, Fundamentals of Lévy Flight Processes. Adv. Chem. Phys. 2006. V.133B. P.439.

3.Chechkin A., Metzler R., Klafter J., Gonchar V. Introduction to the Theory of Lévy Flights. In R. Klages, G. Radons, I.M. Sokolov (Eds.), Anomalous Transport: Foundations and Applications, Wiley-VCH, Weinheim, 2008. P.129-162.

Лекция 12. Процессы Леви (продолжение)

1.К описанию неэкспоненциальной релаксации

2.Дробное интегрирование и дифференцирование

Правосторонний дробный интеграл Римана-Лиувилля. Левосторонний дробный интеграл. Дробные интегралы на всей прямой (интегралы Вейля). Правостороннее дробное дифференцирование. Левосторонняя дробная производная. Дробная производная Капуто. Преобразования Лапласа. Преобразования Фурье. Подход Грюнвальда-Летникова. правило Лейбница

3.Вывод уравнения Фоккера-Планка для процесса Леви из стохастического дифференциального уравнения Производная Маршо

4.Уравнение Фоккера-Планка для уравнения Ланжевена в случае процесса Леви

5.Дробные производные в случае подчиненного случайного процесса

Модель непрерывного во времени броуновского движения. Вероятностные характеристики направляющего процесса

Литература к лекции 12

1.Oldham K.B., Spanier J. The fractional calculus. Theory and applications of differentiation and integration to arbitrary order. Academic Press, 1974.

2.Miller K.S., Ross B. An Introduction to the fractional calculus and fractional differential equations. N.-Y., John Wiley & Sons, 1993.

3.Podlubny I. Fractional differential equations. Academic Press, 1999.

4.Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка. Минск, Наука и Техника, 1987.

5.Chechkin A.V., Gonchar V.Yu. Linear relaxation processes governed by fractional symmetric kinetic equations // ЖЭТФ 2000. Т.118. В.3. С. 730-748.

6.Montroll E.W., Weiss G.H. Random Walks on Lattices. II // J.Math.Phys. 1965. V.6. P.167.

7.Станиславский А.А. Вероятностная интерпретация интеграла дробного порядка // ТМФ

2004. Т.138. В.3. С.491-507.

8.Башаров А.М. О стохастическом обосновании описания кинетики наночастиц дифференциальными уравнениями с дробными производными // Наносистемы: Физика,

Химия, Математика, 2012, Т.3, В.6, С.47-63. http://nanojournal.ifmo.ru/articles/volume3/3-6/physics/paper05/