Pyrkova_--_Metody_reshenia_differentsialnykh_urav

dx

=

∂P(x0 , y0 )

(x − x0 )+

∂P(x0 , y0 )

(y − y0 )+o(ρ),

dt

∂x

∂y

dy

∂Q(x0 , y0 )

∂Q(x0 , y0 )

(7.4)

=

(x − x0 )+

(y − y0 )+o(ρ)

,

dt

∂x

∂y

при ρ → 0 , где ρ =

(x − x0 )2 + (y − y0 )2 .

Перенося начало координат в точку (x0 , y0 ) и сделав за-

мену x =u + x0 , y = v + y0 ,

а также отбросив o(ρ),

получим

линеаризованную систему

du

= au +bv ,

dv

= cu +dv ,

(7.5)

dt

dt

где постоянные a, b, c, d можно вычислить по формулам

a =

∂P (x0 , y0 )

,

b =

∂P

(x0 , y0 ),

∂x

∂y

∂Q

∂Q

(7.6)

c =

(x0 , y0 )

,

d =

(x0 , y0 ).

∂y

∂x

&

=

x arctg(1− y

2

),

рии линеаризованных систем

x

.

&

y

y

=

ln

.

x

1 Здесь

P(x, y)= x arctg(1− y 2 ), Q(x, y)= ln

y

. Положения

x

равновесия находим из системы уравнений

P(x, y)= 0,

или

Q(x, y)=

0,

x arctg(1− y 2 )= 0,

y =

±1

y

Решая ее, находим

. Таким обра-

= 0.

ln

y =

x

x

I способ.

∂P(x, y)

∂P(x, y)

= arctg(1− y 2 ),

=

−2xy

,

∂x

∂y

1+(1− y 2 )2

∂Q(x, y)

x

y

1

∂Q(x,

y)

=

x 1

=

1

=

−

= −

,

.

∂x

x

∂y

y x

y

y

x 2

Исследуем

положение

равновесия

M(1,1).

∂P(1,1)

= arctg(1−1)= 0 ,

∂P(1,1)

=

−2

= −2 ,

∂x

∂y

1

+(1−

1)2

= −1 , ∂Q(1,1)

∂Q(1,1)

= −

1

=

1

=1. Линеаризованная систе-

∂x

1

x =

∂y

1

2(y −1),

−

&

Находим собствен-

ма имеет вид &

y = −1(x −1)+(y −1).

105

0

−2

ные значения матрицы

этой линеаризован-

A =

−1

1

ной

системы

−λ

−2

= (−λ)(1−λ)−2 =

−1

1−λ

= λ2 −λ −2 = (λ −2)(λ +1)= 0 , λ = −1 и λ

2

= 2 . Таким об-

1

разом, положение равновесия M(1,1) – седло.

Найдем собственные векторы, являющиеся ненулевы-

ми решениями системы (A −λE)h = 0 :

1

−2

r

2

h1 =

λ1 = −1; A −λE = −1

2 ;

1 ;

−2

−2

r

−1

λ2 = 2 ; A −λE =

h2 =

−1

−1

;

1 .

Решение линеаризованной системы

x 1

−t

2

−1

2t

= + C1e

+ C2 e

.

y 1

1

1

Координата точки фазовой кривой ξ

1

=C e−t в базисе

1

h1 , h2

стремится

к

нулю

при

t →∞,

а

координата

ξ

2

=C

2

e2t

→∞ .

t→∞

N(–1, –1).

Исследуем

положение

равновесия

∂P(−1,−1)

= arctg(1 − (−1)2 )= 0 ,

∂x

−2 (−1) (−1)

∂Q(−1,−1)

∂P(−1,−1)

=

= −2 ,

1

= −

=1,

∂y

1 +(1 −(−1))2

∂x

(−1)

∂Q(−1,−1)

1

∂y

=

= −1.

Линеаризованная

система имеет

(−1)

x =

−2(y +1),

вид

&

Находим собственные значения

&

(x +1)−(y +1).

y

=

106

0

−2

матрицы

этой линеаризованной системы

A =

1

−1

−λ

−2

= (−λ)(−1−λ)+2 =

= λ2 +λ +2 = 0 ,

1

−1−λ

λ

= −1 ±

1 −8

= −1 ± i 7 . Таким образом положение

1,2

2

2

равновесия N(–1, –1)– устойчивый фокус.

На полуоси x > −1,

y = −1

y = (x +1)> 0 и фокус за-

&

II способ.

x =u +1.

Исследуем

положение

равновесия M(1,1).Замена

= (u +1)arctg(1−v

−2v −1)

y = v +1

&

2

Система

u

после линеариза

&

v +1

= ln(1+v)−ln(1+u)

v

= ln

u +1

&

= −2v

u

.

ции принимает вид &

= v

−u

v

0

−2

Матрица линеаризованной системы

−1

.

1

Характеристическое

уравнение

det(A −λE)= 0 :

0 −λ −2

= (λ −2)(λ

+1)= 0 .

−1

1−λ

Собственные значения: : λ1 = −1 и λ2

= 2

вещественные и

разных знаков - седло.

Собственные векторы (A −λE)h = 0 :

1

−2

r

2

λ1 = −1;

; h1

;

A −λE =

=

−1

2

1

−2 −2 r

−1

λ2 = 2 ;

A −λE =

−1

; h2 =

1

.

−1

Исследуем

положение

равновесия

N(–1,

–1).

Замена

x =u −1,

&

= (u −1)arctg(1

− v

2

+ 2v −1),

Система

u

после

&

v −1

=ln(1 − v)−ln(1 −u)

y = v −1.

v

= ln

u −1

&

= −2v,

u

линеаризации принимает вид &

=u − v.

v

0

−2

Матрица линеаризованной системы

1

.

−1

Характеристическое

уравнение

det(A −λE)= 0 :

0 −λ

−2

= λ2 +λ +2 = 0 .

1

−1−λ

Собственные значения: λ

= −1 ± i

7 . Корни комплекс-

1,2

2

u =ε,

u = −2v

= 0,

Направление закручивания:

&

- про-

v = 0,

&

= u −v

v

= ε

рии

соответствующих линеаризованных систем

x =

arc sin(xy),

&

.

&

e

x+2 y−3

−1.

y =

равновесия находим из системы уравнений

P(x, y)= 0,

или

Q(x, y)= 0,

arc sin(xy)

= 0,

т.е.

xy = 0,

Решая ее,

находим

= 0,

= 0.

e x+2 y−3 −1

x +2 y −3

Исследуем положение равновесия M(0,

3

). Замена

x =u,

3

y = v +

.

2

2

&

3

= arc sin uv +

u ,

u

2

после линеаризации при-

Система

&

= e

u+2v+3−3

−1

v

3

&

= 2 u,

нимает вид u

&

=u + 2v.

v

3

0

Матрица линеаризованной системы

.

2

1

2

Характеристическое

уравнение

det(A −λE)= 0 :

3

3

2 −λ

0

=

−λ (2 −λ)= 0 .

2

1

2 −λ

Собственные значения: λ

=

3

и λ

2

= 2

различные, веще-

1

2

3

0

0

r

1

λ =

;

A −λE =

1

; h

=

;

1

2

1

1

− 2

2

−

1

r

0

0

λ2 = 2 ; A −λE =

2

; h2

0

=

.

0

1

Исследуем положение равновесия N(3,0).

Замена

x =u + 3,

u

= arc sin(uv + 3v),

y = v.

Система

&

после линеаризации прини-

&

= e

u+3+2v−3

1

v

−

&

мает вид

u&

=3v,

v

=u + 2v.

0

3

Матрица линеаризованной системы

1

2

.

Характеристическое

уравнение

det(A −λE)= 0 :

0 −λ

3

= (λ −3)(λ +1)= 0 .

1

2 −λ

Собственные значения: λ1 = −1 и λ2

=3

вещественные и

разных знаков - седло.

Собственные векторы (A −λE)h = 0 :

1

3

r

3

λ1 = −1 ; A −λE =

; h1

=

;

1

3

−1

−3

3

r

1

λ2 =3 ; A −λE =

1

; h2

= .

−1

1

&

= x arctg(1− y

2

),

169.

x

(4-01)

&

y

y = ln

.

x

&

= e

x+y

− x

2

,

170.

(4-02)

x

3

).

&

y = arcsin(x − x

x = ln(x + y),

171.

(4-03)

&

&

2