ния первой сотни точек. Для каждой ординаты строим точки, которые определяем по Алгоритму Евклида. Верхняя оценка Алгоритма Евклида 3 есть (log ), таким образом сложность алгоритма есть ( 2 log ). С учетом ограниченности интервала, на котором применяется алгоритм, то он есть константа, сравнительно не большая.

4. Модифицированная функция Римана

4.1. Идея программы

Существует так же пример функции неограниченной на своей области определения, но нигде не бесконечной(то есть определенной во всех точках). Будем называть его Модифицированной функции Римана

С некоторыми оговорками можно считать эту функцию - делением единицы на обык-

новенную функцию Римана. Оговорки состоят в том, что деление нужно производить

лишь в рациональных точках. Таким образом прямые = на которых лежали все рациональные точки функции Римана теперь есть гиперболы такого вида: = 1 .

Симметричность функции сохраняется. Однако внешний вид становится намного сложнее. Все предельные точки функции Римана - иррациональные нули и нули в точках 0 и 1. Для модифицированной функции Римана это положительные полюса первого порядка.

4.2. Реализация

Здесь функция не принимает простого вида при → ∞. Поэтому сложность алгоритма приведенного для решения предыдущей задачи будет ( 2 log ). Но эту

ассимптотику можно несколько сократить. Для этого придется ввести некоторые элементы теории чисел. Модифицированная функция Римана хорошо иллюстрирует природу простых чисел и взаимной простоты, хотя ее изначальное предназначение не в этом.

4.3. Элементы теории чисел

Определение. Функцией Эйлера в теории чисел называется функция от натурального аргумента, ставящая ему с соответствие количество натуральных чисел, меньших его и взаимнопростых с ним. Обозначается ( ).

Свойства функции Эйлера.

3из книжки Кнута

10

Рис. 4. Внешний вид программы

1)Если простое, то ( ) = − 1.

2)Если составное, то ( ) 6 − √

Определение.пи-функцией(функцией распределения простых чисел), называется функция от действительного переменного, равная количеству простых чисел, меньших аргумента. Обозначается ( )

Свойство. Ассимптотика пи-функции на бесконечности есть натуральный логарифм.

4.4. Алгоритм

Для построения функции снова воспользуемся методом динамического программирования. В силу разной природы количества значений функции при простой ординате и составной, разумно определить все простые числа на интервале построения, и для них наносить обратные величины всех точек меньших данной. Для составных же

следует воспользоваться алгоритмом евклида. Таким образом ассимптотика постро-

( )

ения массива значений: ( log ) + (( −log ) log ) = ( −log ) log . При

больших значениях n это довольно большая сложность, более того не имеет смысла производить вычисления при каждом запуске программы. Поэтому реализация программы идет в 2 шага. Программа один раз генерирует таблицу. Каждый раз запускаемая программа лишь считывает данные. Для определения числа на простоту

11