3. Пример Коши

1. Идея программы

Примером Коши называется функция задаваяемая следующим образом:

он иллюстрирует бесконечно гладкую функцию в нуле, но не аналитическую в нем. Идея программы состоит в наглядной возможности продемонстрировать внешний вид производных любого порядка. Степенной ряд примера Коши есть тождественный нуль, в то время как в любой малой окрестности нуля он от него отличен. Программа позволяет взглянуть на производную этой функции любого порядка.

Рис. 1. Внешний вид программы

2. Реализация

2.1. Интерфейс

Интерфейс программы простой. Можно строить производную следующего порядка от построенной на данный момент. Номер текущей производной отображается. При

5

построении новой производной старая исчезает. В каждом состоянии кроме начального видны 2 графика - текущей производной и примера Коши. Так же программа дает возможность пронаблюдать природу производной высокого порядка.

2.2. Задача компьютерного дифференцирования

Основная задача программы - продифференцировать функцию до следующего порядка. В случае первой производной достаточно взять ее численным методом - конечной разностью. Однако наша задача есть дифференцирование куда более высокого порядка. Деградация численной производной 5-го порядка, видна невооруженным глазом. Таким образом возникает задача потроения производной n-го порядка ана-

Рис. 2. На рисунке а) 5-ая производная построена численным методом, б) 5-ая производная вычисленна аналитически

литически. Введем некоторую базу функций, производная первого порядка от которых известна. Функцию однократного дифференцирования мы получили, она будет переводить производные в их элементарное значение, а более общих функций - численным дифференцированием. Если имеем комбинацию элементарных функций, для дифференцирования используются правила произведения, композиции и свойство линейности. Однако в формулах, например в нашей задаче, встречается операция

возведения в степень. Чтобы научиться дифференцировать этот случай, достаточно = ( )· ( ( )). Теперь решив задачу дифференцирования 1-го по-

рядка , можно применять правило n раз для выисления n-ой производной, однако существует способ получения форумулы в явном виде. Правило дифференцирования n-го порядка линейной комбинации не меняется, для произведения n-го порядка известно Правило Лейбница. Для производной n-го порядка композиции функций правило нужно вывести. Эта задача существенно менее тривиальна, поэтому я введу несколько понятий и лемм из расширенного курса Дискретной математики.

6

2.3. Элементы Дискретной математики

Определение. Числом Стирлинга 2-го рода называется количество способов разбить множество из n элементов на m подмножеств.

Лемма. Количество способов разбиения числа n на m слагаемых равно количеству способов разбить множество из n элементов на m подмножеств.

Определение. Мультиноминальным коэффициентом называется функция вида

N N , где размерность векторного аргумента не превосходит скалярный аргумент,

ставящая в соответствие этой паре число, равное количеству ориентированных разбиений множества мощности скаляра на подмножества мощности, которых заданы векторным аргументом.

2.4. Формула производной композиции n-го порядка

Формула означает, что производная n-го порядка от композиции есть сумма из n слагаемых, каждое из которых состоит из 2-х множителей. 1-ый - ( ( )), второй -

Выше показанные примеры наглядно показывают природу поведения композиции функций при дифференцировании. Поведение произведения по правилу Лейбница и самой композиции на первых четырех производных позволяют угадать сущность множителей при очередной композиции. Далее подставление формул для чисел стирлинга и мультиномиального коэффициента дают формулу. Для строгости, докажем ее по индукции.

2правило композиции выбрано следующее: левая функция подставляется в правую

7

Доказательство Базу проверим на первой производной. Слагаемое одно, количество способов разбить 1 на 1 слагаемое - 1. Других разбиений числа 1 на слагаемые нет. База проверена.

Для шага индукции рассмотрим конкретное слагаемое. При дифференцировании множителя композиции левый множитель не поменяется, но при приведении слагаемых к нему добавятся левая продифференцированного слагаемого со следующим индексом. Для дальнейшего анализа рассмотрим как ведет себя произвольное произведение при дифференцировании. Оно переходит в сумму произведений с теми же множителями, но в каждом слагаемом своя прооизводная увеличилась на 1. Таким образом при приведении подобных, скобка будет содержать произведения, соответствующие разбиениям числа на слагаемые.ч.т.д.

2.5. Алгоритм и сложность

В нашей задаче имеем − 12 = − −2, степенную функцию, производная берется за(1) . Дифференцирование так же занимает (0), а если точнее то вообще не

занимает времени. Таким образом количество сложность вычисления ( ) есть ( ), а ( ) - бесплатно. композиция как и сложение и умножение есть (1). Таким образом сложность вычисления формулы:

≈( 4) * ( ) = ( 6)

=1

Таким образом сложность алгоритма порядка ( 6). Что является весьма трудоем-

ким процессом. В нашем случае, дифференцирование должно иметь очень высокий порядок, но при этом поведение функций гораздо более тривиальное и вычислять

числа стирлинга на каждом шаге, что является самой дорогостоящей операцией -( 2). Задачу можно решать методом динамического программирования, то есть бу-

дем на n-ом шаге использовать результаты вычисления предыдущих шагов. Пусть

{( ) - есть пример Коши, тогда

{′( ) = {( ) · 2 −3

{′′( ) = {( ) · (−6 −4 + 4 −6)

{′′′( ) = {( ) · (24 −5 − 36 −7 + 8 −9)

Легко заметить, что производная всегда содержит пример Коши, умноженный на необычный многочлен, необычность состоит в том, что степени отрицательные. С програмистской точки зрения это не важно. Главный вывод, который можно сделать - информацию о производной высокого порядка можно хранить, как массив пар

8