Условный экстремум и функция Лагранжа
Формулировка задачи
Для начала сформулируем задачу на условный экстремум:
Пусть имеется функция f (x), где x n и есть m ограничений ϕi (x)= 0, i =1, m . Требуется найти локальный экстремум функции f (x) при условиях ϕi (x)= 0 . Для этого задача о нахождении
условного экстремума сводится к задаче нахождения безусловного экстремума методом множителей Лагранжа.
Составляется функция Лагранжа, как линейная комбинация функции f (x) и функций ϕi (x), взятых с коэффициентами λi - множители Лагранжа):
L(x,λ)= |
m |
, ,λm ). |
f (x)+ ∑λi ϕi (x), где λ = (λ1 |
||
|
i=1 |
|
Далее составляется система из n + m уравнений, которая получается из приравнивания к нулю всех частных производных функции Лагранжа L(x,λ)по компонентам векторов x и λ :
|
∂ |
|
|
L(x,λ)= 0 |
|
||
∂x |
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
||
|
|
|
L(x,λ)= 0 |
|
|||
|
|
|
|||||
|
∂xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∂ |
|
|
|
|
||
∂λ |
|
|
L(x,λ)= 0 |
|
|||
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
L(x,λ)= 0 |
|
||
|
|
|
|
||||
∂λm |
|
|
|
|
|
||
Получаем систему n + m уравнений с n + m |
неизвестными (поскольку dim(x)= n и dim(λ)= m ), |
||||||
значит ее можно решить. Если в точке M 0 = |
(x1(0) , , xn(0) ) все производные обращаются в ноль, то |
||||||
она необходимо удовлетворяет полученной системе. Иными словами, эта точка может быть локальным экстремумом.
Для того, чтобы точка M 0 была точкой локального экстремума, достаточно, чтобы d 2 L , как квадратичная форма, была знакоопределенной. Это не всегда удается получить сразу, возможно, придется дифференцировать условия связи ϕi (x), чтобы понять её знакоопределенность.
Теперь рассмотрим наш конкретный случай трехмерной графики. Функция f (x) должна быть задана на плоскости, значит имеем f (x, y) и одно условие ϕ(x, y). И тогда функция Лагранжа имеет следующий вид:
L(x, y,λ)= f (x, y)+λ ϕ(x, y)
Вспомним, что задача о нахождении условного экстремума сводится к поиску безусловного экстремума функции Лагранжа. Не многие догадываются, как это на самом деле происходит геометрически.
4