matan_3sem2015_pilot

Получаем ядро Дирихле:

Из определения следует, что ядро Дирихле непрерывная 2 -периодическая четная функция, при этом

∫

( ) = ,

−

так как интегралы всех косинусов обращаются в нуль и берется только интеграл от 1

2 .

Делая замену = − , получаем

Теорема (принцип локализации Римана.). Пусть , 2 -периодические, из [− , ] и совпадающие в некоторой -окрестности точки . Тогда триго-

нометрические разложения, соответствующие этим функциям, либо одновременно сходится, либо одновременно расходятся к одному тому же числу

âточке .

Нам достаточно доказать, что ( ; ) − ( ; ) −→ →∞ 0:

Тогда частичная сумма ( ; ) сходится к при → ∞.

3

4

Лекция №15 по матанализу

Неофициальные записки лекций В. В. Галатенко

для студентов 1 (пилотного) потока 2 курса ПМИ ФКН НИУ ВШЭ записанные Ярославом Сергиенко *

2 ноября 2015 г.

Пусть пространство со скалярным произведением и в нем задана

{ }∞=1 - ортогональная система, то элементу мы можем сопоставить коэффициенты

→^ = ( , )

=1

Утверждение. Åñëè { }∞=1 замкнутая ортогональная система, то

,

Ряды Фурье

Мы рассматриваем пространство [− ; ] интегрируемых на отрезке [− ; ] функций со скалярным произведением

∫

( , ) = ( ) ( )

−

*Записки могут содержать ошибки.

1

с базисом

1, cos , sin , cos 2 , . . . .

Заметим, что

(cos , cos ) = (sin , sin ) = , íî

(1, 1) = 2

∫ | ( + ) + ( − ) − 2 |

сходится (например, эта сходимость имеет место, если сходятся

Определение. удовлетворяет условию Гельдера-Липшица порядка в точке , если существует > 0 и > 0, что при лежащем в -окрестности

точки

| ( ) − ( )| 6 | − |

Следствие. Если удовлетворяет условию Г¼льдера-Липшица порядка

> 0 в точке , то ( ; ) → ( ) при → ∞.

Признак Дини с = ( )

2

у будет существовать левая производная в точке , а также можно переопределить в точке 0 так, что у нее будет существовать правая производная в точке .

Тогда тригонометрический ряд Фурье в точке будет сходиться к среднему арифметическому

( ; ) → ( + 0) + ( − 0). 2

Следствие. Если функция 2 -периодическая, непрерывно диффе-

ренцируемая, то ее ряд Фурье по тригонометрической системе поточечно сходится к ней.

Лемма 1. Пусть

∞

20 + ∑( cos + sin )

=1

тригонометрический ряд, который на отрезке [− , ] равномерно сходится к функции ( ). Тогда он является рядом Фурье функции ( ).

Возьмем произвольное натуральное число и покажем, что ( ( )) =

3

Лемма 2. Если 2 -периодическая и непрерывно дифференцируемая, то е¼ ряд Фурье по тригонометрической системе сходится равномерно.

∑

следовательно | ( )| < ∞.

Теорема. Если 2 -периодическая непрерывно дифференцируемая функ-

ция, то ее тригонометрический ряд Фурье равномерно сходится к ней на

[− , ].

4

Лекция №16 по матанализу

Неофициальные записки лекций В. В. Галатенко

для студентов 1 (пилотного) потока 2 курса ПМИ ФКН НИУ ВШЭ записанные Ярославом Сергиенко *

6 ноября 2015 г.

Мы рассматривали 2 -периодические функции, интегрируемые по Риману на интервале [− , ]. Коэффициенты Фурье равнялись

2

=1

Определение. Тригонометрическим многочленом называется конечная

сумма вида

∑

0 + ( cos + sin )

=1

Следствие из теоремы. Пусть 2 -периодическая, непрерывно дифференцируемая функция. Тогда для любого > 0 существует тригонометрический многочлен такой, что R| ( ) − ( )| < .

Пусть непрерывная 2 -периодическая функция, равномерно непрерывна на R, то есть

> 0 > 0 1, 2 R: | 1 − 2| < , | ( 1) − ( 2)| <

Заменим на функцию

1 ∫ +

( ) = ( ).

2 −

*Записки могут содержать ошибки.

1

ßñíî, ÷òî ( ) является 2 -периодической, непрерывно дифференцируемой функцией.

Покажем, что : | ( ) − ( )| < :

Таким образом мы доказали следующую теорему

Теорема. Для любой 2 -периодической непрерывной функции и > 0 существует 2 -периодическая непрерывно дифференцируемая функция, что | ( ) − ( )| < для любого вещественного .

Теорема Вейерштрасса. Пусть непрерывная 2 -периодическая функция. Тогда для любого > 0 существует тригонометрический многочлен , что для любого R: | ( ) − ( )| < .

−

~

Для любого > 0 существует многочлен с нулевым свободным членом:

2

тригонометрический многочлен.

Метод средних арифметических суммирования ряда. Пусть есть

∑∞

ðÿä =1 и его -ная частичная сумма. Будем рассматривать среднее арифметическое частичных сумм

= 1 + · · · +

∑∞

Определение. =1 суммируется методом средних арифметических к числу , если lim →∞ = .

∑∞

Замечание. Åñëè =1 сходится к , то методом средних арифмети- ческих он тоже суммируется к .

Пример. Ðÿä 1−1+1−· · · не сходится, но суммируется методом средних арифметических.

Теорема. Пусть 2 -периодическая непрерывная функция.

∞

20 + ∑( cos + sin )

=1

ее тригонометрический ряд Фурье, ( ) -ная частичная сумма этого ряда и

( ) = 1( ) + · · · + ( )

R

Из теоремы Вейерштрасса следует замкнутость тригонометрической системы в рассматриваемом пространстве:

Утверждение. Для любой 2 -периодической, интегрируемой по Риману на отрезке [ ; ] и любого > 0 существует тригонометрический многочлен

3

Лекция №17 по матанализу

Неофициальные записки лекций В. В. Галатенко

для студентов 1 (пилотного) потока 2 курса ПМИ ФКН НИУ ВШЭ записанные Ярославом Сергиенко *

9 ноября 2015 г.

Пусть функция 2 -периодическая непрерывная и интегрируемая на отрезке [− , ]. Тогда для любого > 0 существует тригонометрический многочлен , что

то есть тригонометрическая система в данном пространстве со скалярным произведением является замкнутой.

В замкнутых системах есть равенство Парсеваля и существование предела сходящихся последовательностей.

Следствие. Пусть 2 -периодическая интегрируемая по Риману на [− , ] функция,

*Записки могут содержать ошибки.

1