Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

matan_3sem2015_pilot

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.03.2016

Размер:

4 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Следствие. Пусть [ , ] отрезок, лежащий в множестве сходимости степенного ряда. Как мы показали, на нем степенной ряд сходится равномерно

è	( ∞ ) =	(	)
∫	=0	∫
	∑	∑

Пусть

∞

∑

= ( )

Найдем первообразную функции ( ) на множестве сходимости:

	∞	+1	∞ −1
( ) = ∫	( ) = =0	+ 1 =	=1
	∑		∑

Òàê êàê ??? , то у нового ряда радиус сходимости будет таким же.

Лекция №11 по матанализу

Неофициальные записки лекций В. В. Галатенко

для студентов 1 (пилотного) потока 2 курса ПМИ ФКН НИУ ВШЭ записанные Ярославом Сергиенко *

12 октября 2015 г.

существует число (возможно,	∑	∞	+∞			и выяснили, что для них
					−∞
Мы рассматривали ряды вида		=0 ( − 0)
	равное			èëè			), что внутри интервала

( 0 − , 0 + ) она сходится абсолютно, а вне [ 0 − , 0 + ] расходится. Мы также получили формулу

=	1
		√

lim →∞ | |

Далее для удобства будем считать, что 0 = 0.

Для рядов можно ввести операцию интегрирования:

∞

∑

→ =0

= =1

+ 1

При помощи этого метода можно, например, найти

∫0 −

с нужной точ-

ностью.

Ряды можно также дифференцировать:

∞	∞	∞
∑	∑	∑
→	−1 =	+1( + 1)
=0	=1	=0

У нового ряда радиус сходимости будет таким же, как и у исходного ряда, так как

′ =

lim →∞

√| +1|( + 1)

lim →∞

√| +1|

lim →∞

√| |

1 +1

lim →∞((| +1|)

)

lim →∞

√| |

Утверждение. Радиус сходимости для ряда из почленных производных членов степенного ряда совпадает с радиусом сходимости самого ряда. ???

*Записки могут содержать ошибки.

Следствие. В интервале сходимости суммы степенного ряда непрерывно дифференцируемая функция.

Теорема. В интервале сходимости сумма степенного ряда бесконечно

дифференцируемая функция.
Доказательство применением следствия выше по индукции.
Пусть ( ) бесконечно дифференцируема на отрезке с концами 0	è . Òî-

гда для любого натурального существует точка интервала с концами0 è , ÷òî

( )( 0)

( +1)( )

( ) =

∑

( − 0) +

( − 0) +1

( + 1)!

Утверждение.

Докажем, что > 0:

lim

= 0

→∞

∑

< ∞.

По признаку Даламбера

lim

= lim

= 0

→∞ ( + 1)!

→∞ + 1

Пусть радиус сходимости

степенного ряда

∞

больше

( ) =

( − 0)

∑

íóëÿ,

∑

∞

Тогда

0 + 1( − 0) + 2( − 0)2 + 3( − 0)3 + · · ·

1 + 2 2( − 0) + 3 3( − 0)2 + · · ·

( 0) = 0

′( 0) = 1! · 1

...

( )( 0) = ! ·

= ( )( 0)!

Утверждение. Пусть в некоторой окрестности точки 0

∞	∞
∑	∑
( − 0) =	~ ( − 0)
=0	=0
Тогда для любого N {0}

= ~

Теорема (достаточное условие представимости функции степенным рядом). Пусть невырожденный промежуток R, ∞( ),

0 и существует > 0, что

N: | ( )( )| <

Тогда существует , что

( ) −

Примеры.

(1 + )

∞

( )( 0)

( ) =

∑

( − 0)

( − 0) = |

( |+· |1)!−

( )( )

( +1)( )

∑

( | − 0|)

→ →∞

( + 1)!

sin =

∞

(−1)

2 +1

−

· · ·

∑

=0 (2 + 1)!

cos = 1

+ 4

∞

(−1)

−

· · ·

∑

(2 )!

∞

= 1 +

∑

· · · =

+ 3

ln(1 + ) =

∞

(−1) +1

−

∑

= 1 + +

−

2 +

(

· · ·

( )

По признаку Даламбера

−

( + 1)!

+ 1)

−

→ →∞

+ 1

| |

Теперь

′( ) = +

(

−

1)+

· ( − 1) · ( − 2)

· · ·

· ( − 1) · · · ( − )

· · ·

Нетрудно проверить, что ′( )·(1+ ) = ( ). Также мы знаем, что (0) = 1. Мы получили дифференциальное уравнение на функцию , которое, как

будет доказано в курсе про дифференциальные уравнения, имеет одно решение ( ) = (1 + ) .

Пример. Замечательная функция
{0,			= 0
−	1	,	̸= 0
	2

обладает свойством, она бесконечно гладкая и все ее производные в нуле существуют и равны нулю, тем не менее она не тождественная равна нулю.

Лекция №12 по матанализу

Неофициальные записки лекций В. В. Галатенко

для студентов 1 (пилотного) потока 2 курса ПМИ ФКН НИУ ВШЭ записанные Ярославом Сергиенко *

16 октября 2015 г.

(0, 1).

∞

числовой ряд. Предположим, что

∑

∞

∑

( )

Определение.

Пусть

сходится на

Сумму этого ряда обозначим через

. Предположим,

что существует предел lim

( ) := . Тогда говорят, что

∞

→1−0

(которое может быть

∑∞

=1 сум-

мируется методом Абеля к числу

равно

Утверждение.

Åñëè

∞

, то методом Абеля он также сум-

мируется к числу .

∑ =1

∑

∞

Предположим, что

сходится. Тогда степенной рад

сходится в точке = 1.

∑

Значит, по теореме Абеля, он равномерно сходится

на отрезке [0, 1]. Значит, сумма этого ряда непрерывна на отрезке [0, 1].

∞

∑

= (1) =

lim ( )

→1−0

Это и означает, что методом Абеля ∑ суммируется к .

Пример. Äëÿ ðÿäà

∞

−

рассмотрим последовательность

1− /2 = 1 − 1− /2 . ∑

=1 2

( )

∑

. Ее первообразная равна

∑

∞

2 . Подставляя = 1

( ),

Возвращаясь к

получаем

−

, получаем,

( − 2 )

что сумма ряда равна двум.

Пример. Методом Абеля можно суммировать также и расходящиеся ря-

ды. Например, ряд

1 − 1 + 1 − 1 + · · ·

превращяется в ряд 1 − + 2 − 3 +· · · =

. Подставляя = 1, получаем,

что ряд сходится к 1

2 .

Упражнение. Просуммировать методом Абеля ряд

1 − 2 + 3 − 4 + · · ·

и получить предел 1

*Записки могут содержать ошибки.

Системы Фурье.

Пусть пространство со скалярным произведением, то есть

1)( , ) = ( , )

2)( 1 + 2, ) = ( 1, ) + ( 2, )

3)̸= 0: ( , ) > 0.

Определение. Рассмотрим систему ненулевых векторов { } =1 . Эта система называется ортогональный, если любые два различных векторов в ней являются ортогональными друг другу, то есть ̸= : ( , ) =

Определение. Ортогональная система называется ортонормированной, если она ортогональна и длины всех векторов равны 1: ‖ ‖ = 1 .

Оценим расстояние от вектора до плоскости, порожденной системой векторов { } =1:

2 (

)

− ∑ = − ∑ , − ∑ =

	=1		=1			=1

	∑			∑
	= ‖ ‖2 − 2	( , ) +				( , ) =
	=1			, =1

= ‖ ‖2 +	∑			∑		^2 ‖ ‖2 +	∑
= ‖ ‖2 +	( 2 − 2 ^ )‖ ‖2 = ‖ ‖2 −					^2 ‖ ‖2 +	( − ^ )2‖ ‖2,
	=1			=1			=1
ãäå
				( , )
		^ =			.
		^ =		‖ ‖2	.

Таким образом минимальное отклонение достигается, когда все совпада- þò ñ ^ .

Определение. Числа ^ = ( , )

‖ ‖2

элемента на { }.

называются коэффициентами Фурье

Теорема (экстремальное свойство коэффициентов Фурье). Для любого набора коэффициентов { } =1

−		>	−		^	,
	=1			=1
	∑			∑

причем равенство имеет место, если и только если все = ^ .

Теорема (тождество Бесселя).

	− ∑	^		= ‖ ‖2	− ∑ ^2 ‖ ‖2

Следствие (неравенство Бесселя).

∑

^2 ‖ ‖2 6 ‖ ‖2

Следствие. Åñëè { }∞=1 ортогональная система, то для любого век-

òîðà

∞

∑

^2 ‖ ‖2 6 ‖ ‖2

Вывод: ^ ‖ ‖ → 0 при → ∞.

∑∞

Определение. Ðÿä =1 ^ называется рядом Фурье элемента по ортогональной системе { }∞=1.

∞		сходится к		тогда и только тогда, когда
Следствие. Ðÿä ∑ =1	^		∞
	‖ ‖2 =		∑
	‖ ‖2 =		^2 ‖ ‖2
			=1

(следует из тождества Бесселя, называется равенством Парсеваля ).

Определение. Система { }∞=1 называется замкнутой, åñëè è> 0 существуют N и 1, . . . , , ÷òî

			<
− ∑			<


=1

Теорема. Если ортогональная система { }∞=1 замкнута, то для любогоряд Фурье элемента по нашей системе сходится к разлагаемому

элементу:

∞

∑

^ = .

Зафиксируем произвольное > 0. Найдем N, что 1, . . . , , ÷òî


			<
− ∑			<


=1

Тогда для любого индекса > имеем
−		^	6	−		<
	=1				=1
	∑				∑

Лекция №13 по матанализу

Неофициальные записки лекций В. В. Галатенко

для студентов 1 (пилотного) потока 2 курса ПМИ ФКН НИУ ВШЭ записанные Ярославом Сергиенко *

19 октября 2015 г.

Если есть пространство со скалярным произведением и ортогональная система { }∞=1, то имеется сопоставление


								∑
							→		,
								=1
ãäå = ^ =	( , )
ãäå = ^ =	( , ) . Тогда
								∞
								→	^
								∑
								=1


	− ∑ ^							= ‖ ‖2 − ∑ ^2 ‖ ‖2

	∞ 2		=1					2	=1
	∞ 2			2				2	^ ‖ ‖ −→ →∞ 0
	^	‖ ‖			6 ‖ ‖				^ ‖ ‖ −→ →∞ 0
	=1
	∑
Если { } замкнуто, то								∞
								∞
							=		^ ,
								=1
								∑
								∞
						‖ ‖2 =			^2 ‖ ‖2
								=1
								∑
Пусть = [− , ]/{ :
Пусть = [− , ]/{ :							− 2 = 0} пространство интегрируемых
по Риману функций, в			котором функции, разность которых имеет меру
по Риману функций, в						∫

нуль, считаются одинаковыми.

Утверждение. Система

1, cos , sin , cos 2 , sin 2 , cos 3 , sin 3 , . . .

является ортогональной.

*Записки могут содержать ошибки.

(cos , sin ) = ∫− cos sin = 0

(cos , cos ) =

ãäå ̸=

∫− cos cos =

∫− (cos( + ) +cos( − ) ) ,

То, что (sin , sin ) = 0 при ̸= проверяется аналогично.

cos 2

(cos , cos ) = ∫− cos2 = ∫−

+ 1

(sin , sin ) =

(1, 1) = 2

Определение.

Åñëè

= ∫− ( ) cos ,

= ∫− ( ) sin ,

то для функции [− , ]

ðÿä

∞

∑

( cos + sin )

называется рядом Фурье функции , а и называются коэффициентами

Фурье.

Утверждение.

Для любой [− , ] ее коэффициенты Фурье стре-

мятся к нулю.

Определение.

Ядром Дирихле порядка называется выражение

sin 2

− sin 2 + sin 23

sin

+ 21

· · ·

(

)

+cos +cos 2 +

+cos =

2 sin 2

( ) =

2 sin

Обозначим

( ; ) =

0 +

( cos + sin )

∑

Тогда

( ; ) =

2 ∫− ( ) + =1

∫− ( ( ) cos cos + ( ) sin sin ) =

∑

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
02.06.20158 Мб11Marketing_L9(2013-2014).pdf
#
02.06.2015188 Кб18marketing_lektsii.doc
#
02.06.201545 Кб9Martin_van_Kreveld.docx
#
02.06.20151 Мб8Marx-Engels_Manifest_kommunisticheskoy_partii.pdf
#
01.04.2025219 Кб1MATAN (1).docx
#
26.03.20164 Мб7matan_3sem2015_pilot.pdf
#
26.03.20164 Мб14matan_3sem2015_pilot.pdf
#
01.07.2025679 Кб2Matan_teoria_Raspechat 23.06.docx
#
02.06.2015726 Кб14matan_zachet.docx
#
01.07.20251 Мб5matan(1).docx
#
21.11.20187 Мб41MathCAD 2001.doc