- •Введение.
- •1. Совершенные нигде не плотные множества на прямой
- •1.1 Множество Кантора
- •1.2 Задача 1.
- •1.3 Задача 2.
- •Совершенные нигде не плотные множества на плоскости7
- •2.1 Кладбище Серпинского
- •2.2 Гребенка Кантора
- •3 Функция Кантора
- •Всюду непрерывная, но нигде не дифференцируемая функция
- •Заключение.
- •Литература.
Заключение.
В своей работе я реализовала некоторые примеры из курса «Избранные главы математического анализа». В данную работу были вставлены скриншоты визуализированных мною программ. На деле они все интерактивные, студент может посмотреть вид функции на конкретном шаге, строить их сам итерационно и приближать масштаб. Алгоритмы построения, а также некоторые функции библиотеки Skeleton были специально подобраны и усовершенствованы под данный тип задач (рассматривались в основном фракталы).
Данный материал, несомненно будет полезен преподавателям и учащимся и является хорошим сопровождением лекций курса «Избранные главы математического анализа». Интерактивность данных визуализаций помогает лучше понять природу построенных множеств и облегчают процесс восприятия материала учащимися.
Описанные программы вошли в библиотеку визуальных модулей проекта www.visualmath.ru, например, вот уже рассмотренная нами функция Кантора:
В дальнейшем предполагается расширять список визуализируемых задач и улучшать алгоритмы построения для более эффективной работы программ. Работа в проекте www.visualmath.ru, несомненно принесла много пользы и опыта, навыки работы в команде, умение оценивать и максимально понятно преподносить учебный материал.
Литература.
Б. Гелбаум, Дж Олмстед, Контрпримеры в анализе. М.: Мир.1967.
Б.М. Макаров и др. Избранные задачи по вещественному анализу. Невский диалект, 2004.
Б.Мандельброт. Фрактальная геометрия природы. Институт компьютерных исследований, 2002.
Ю.С. Очан, Сборник задач и теорем по ТФДП. М.: Просвещение. 1963.
В.М. Шибинский Примеры и контрпримеры в курсе математического анализа. М.: Высшая школа, 2007.
Р.М.Кроновер, Фракталы и хаос в динамических системах, М.:Постмаркет, 2000.
А. А. Никитин, Избранные главы математического анализа // Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, 2011 / ред. С. А. Ложкин. М.: Издательский отдел факультета ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова, 2011. С. 71-73.
Р.М.Кроновер, Фракталы и хаос в динамических системах, М.:Постмаркет, 2000.
Фрактал и построение всюду непрерывной, но нигде недифференцируемой функции // XVI международные Ломоносовские чтения: Сборник научных трудов. – Архангельск: Поморский госуниверситет, 2004. С.266-273.
1 Объединение счетного числа открытых множеств (смежных интервалов) открыто, а дополнение открытому множеству – замкнуто.
2 любой окрестности точкиа множества Кантора, найдется хотя бы одна точка из, отличная ота.
3 Замкнуто и не содержит изолированных точек (каждая точка является предельной).
4 Существует не более чем счетное множество , всюду плотное в.
5 Множество A – нигде не плотно в пространстве R, если любое открытое множество этого пространства содержит другое открытое множество, целиком свободное от точек множества A.
6 Точка , в любой окрестности которой содержится несчетное множество точек данного множества.
7Будем говорить, что множество на плоскости нигде не плотно в метрическом пространствеR, если любой открытый круг этого пространства содержит другой открытый круг, целиком свободный от точек данного множества.