1. Совершенные нигде не плотные множества на прямой

1.1 Множество Кантора

Рассмотрим сегмент [0,1] и назовем его сегментом нулевого ранга .

Разделим его на три равные части и выбросим серединный интервал - .

Два оставшихся сегмента назовем сегментами первого ранга, а выброшенный интервал –смежным интерваломпервого ранга. Далее так же продолжаем делить каждый из отрезков первого ранга и удалять из них средние интервалы (смежные сегменты второго ранга). Объединение отрезков второго ранга обозначим за. Продолжая процесс счетное число раз, мы получим на шагеn в качестве- объединениеотрезковn-го ранга. Множествоназываетсяпредканторовым множеством n-го ранга, а их счетное пересечениеканторовым множеством.

Если посчитать суммарную длину выброшенных интервалов, то получится 1. Тогда выходит, что мы выбросили практически все тоски сегмента [0,1]. Остается ли что-то в множестве ? Очевидно, что все концы смежных интерваловостаются во множестве. Назовем их точками множества Кантора первого рода, они образуют счетное множество (было доказано на семинаре). Легко заметить, что ему принадлежит, например, точка, так как сегмент любого ранга, которому она принадлежит, она делит в соотношении 1:3.

Множество Кантора обладает следующими свойствами:

• оно замкнуто¹;

• не содержит изолированных точек²;

• представляет собой пример совершенного множества³ на прямой;

• оно сепаратабельное⁴;

• нигде не плотное⁵ на прямой ;

• каждая его точка является точкой конденсации⁶.

Все перечисленные свойства были доказаны в рамках курса «Избранные главы математического анализа».

1.2 Задача 1.

Исследовать на непрерывность функцию, заданную на отрезке [0,1] следующими равенствами:

1. при ;

2. в середине смежного интервала;

3. Для точек смежного интервала (поэтому,,) функцияопределяется как линейная наи на.

Решение.На первый взгляд рассматриваемая функция является непрерывной, кажется, что мы просто “строим линейные крышки”, “затыкая” промежутки в множестве Кантора. Левая картинка только усиливает эту мысль, но правая дает понять, что это не так.

Действительно, на смежных интервалах функция непрерывна. Поэтому остается исследовать ее на пределы в точках множества Кантора. Любу. Точку множества Кантора можно получить как предел точек множества Кантора (т.к. в любой окрестности их нечетное число), так и как предел середин смежных интервалов (т.к. в любой окрестности найдется смежный интервал). Далее, так как предел по точкам из множества Кантора равен нулю, а по серединам смежных интервалов – единице, то получаем, что в точках множества кантора функция терпит разрыв.

Отметим однако, что в точках множества кантора первого рода (за исключением точек 1 и 0) со стороны смежного интервала предел функции существует и равен 0. Поэтому мы можем только говорить об односторонней непрерывности в данных точках.

1.3 Задача 2.

Существует ли непрерывная функция, которая “пересекает ось абсцисс” несчетное число раз?

Функция непрерывна. Будем говорить, что функция “пересекает ось абсцисс” в точкеx, если выполнено:

1. f(x)=0;

2. в любой окрестности точки x найдутся точкиyиzтакие, чтоf(y)<0,f(z)>0

Решение.Да, существует. Проведем построение графика искомой функцииf(x)на счетное число шагов. На нулевом шаге кладемf(x) = 0 при всех. На первом шаге построим нижнюю полуокружность на смежном интервале первого ранга, как на диаметре. На втором шаге построим верхние полуокружности на двух смежных интервалах второго ранга, как на диаметрах. На третьем шаге построим нижние полуокружности на четырёх смежных интервалах третьего ранга, и т.д., на(2n-1)-ом шаге строим нижние, а на2n-ом шаге верхние полуокружности на смежных интервалах(2n-1)-го и2n-го рангов, соответственно, и т.д. счётное число раз.

Построенная функция f(x)обращается в нуль в континууме точек множества. И, сколь угодно близко от точки изнайдутся смежные интервалы(2n-1)-го и2n-го рангов, на которыхисоответственно.