II. Общие требования к выполнению расчетно-графической работы
Расчетно-графическая работа оформляется на листах формата A4 в распечатанном или рукописном варианте. Номер варианта выбирается по последней цифре номера зачетной книжки или студенческого билета. РГР с другим номером варианта не зачитываются. Работа выполняется аккуратно, в случае рукописного оформления чтение ее не должно вызывать затруднений.
РГР должна состоять из титульного листа, содержания, основной части и списка использованной литературы. Допускается включение в работу приложений, содержащих таблицы, рисунки, полученные на компьютере.
На титульном листе обязательно указывается наименование дисциплины («Финансовая математика»), ФИО студента, группа, номер зачетной книжки, вариант задания, ФИО преподавателя.
В основной части РГР до решения каждой задачи должны быть представлены собственные данные: вариант задания, формулировка задания, численные значения, соответствующие своему варианту. Далее должно быть представлено решение с расшифровкой формул и последовательности действий. Все вычисления сначала представляются в виде расчетных формул, затем в формулы подставляются численные значения и записывается ответ с указанием единиц измерений (без промежуточных расчетов). Все вычислительные процедуры следует производить с точностью до 0,01.
Выполненная и оформленная работа должна быть представлена преподавателю не позднее, чем за 10 дней до начала сессии.
При отсутствии выполненной работы и при выполненной работе с неправильным номером варианта студент до экзамена не допускается. При невозможности защиты 2 и более заданий РГР студент также не допускается до экзамена. Если студент не может защитить одно задание, он получает на экзамене дополнительную упрошенную задачу на соответствующий раздел.
III. Методические указания к выполнению работы
Тема 1. Потоки платежей
Проведение практически любой финансовой операции порождает движение денежных средств. Такое движение может характеризоваться возникновением отдельных платежей, или множеством выплат и поступлений, распределенных во времени.
В финансовой практике зачастую контракты предусматривают не отдельные разовые платежи, а серию платежей, распределенных во времени (регулярные выплаты). Например, погашение долгосрочного кредита, вместе с начисленными на него процентами; периодические взносы на расчетный счет, на котором формируется некоторый фонд различного назначения (инвестиционный, пенсионный, страховой, резервный, накопительный и т.д.); дивиденды, выплачиваемые по ценным бумагам; выплаты пенсий из пенсионного фонда и пр.
Поток платежей
(cash flow –
)
представляет собой ряд последовательных
во времени выплат и поступлений
,
,
…,
.
Потоки платежей являются неотъемлемой частью всевозможных финансовых операций: с ценными бумагами, в управлении финансами предприятий, при осуществлении инвестиционных проектов, в кредитных операциях, при оценке бизнеса, при оценке недвижимости, выборе альтернативных вариантов финансовых операций и т.п.
Члены потока могут быть как положительными величинами (поступления), так и отрицательными величинами (выплатами), а временные интервалы между членами такого потока могут быть равными и неравными.
Поток платежей, все члены которого имеют одинаковое направление (знак), а временные интервалы между последовательными платежами постоянны, называется финансовой рентой или аннуитетом.
При рассмотрении финансовой ренты используются основные категории:
член ренты
(
) – величина
каждого отдельного платежа;
период ренты
(
) – временной
интервал между членами ренты;
срок ренты
(
) – время
от начала финансовой ренты до конца
последнего ее периода;
процентная
ставка (
) – ставка,
используемая при наращении платежей,
из которых состоит рента;
наращенная
сумма (
) – сумма
долга на какой-либо момент в будущем;
современная
стоимость (
) – современная
величина потока платежей.
При определении члена ренты возможны два варианта, зависящие от того, какая величина является исходной:
а) наращенная сумма. Если сумма долга определена на какой-либо момент в будущем, тогда величину последующих взносов в течение k лет при начислении на них процентов по ставке n можно определить по формуле:
, (1)
б) известна современная величина финансовой ренты, тогда, исходя из ставки процента и срока ренты, разовый платеж находится по формуле:
. (2)
Как известно, погашение займа осуществляется за счет платежей, состоящих из части основного долга (суммы кредита) и процентов. Но рассчитываться размер этих платежей может по-разному.
В финансовой практике наиболее часто встречаются так называемые простые или обыкновенные аннуитеты (ordinary annuity, regular annuity), которые предполагают получение или выплаты одинаковых по величине сумм на протяжении всего срока операции в конце каждого периода (года, полугодия, квартала, месяца и т.д.).
Простой аннуитет обладает двумя важными свойствами:
все его элементы равны между собой;
отрезки между
выплатой/поступлением сумм
одинаковы.
Если рассматривать кредитные отношения, то за аннуитетный платеж будем считать равный по сумме ежемесячный платеж по кредиту, который включает в себя сумму начисленных процентов за кредит и сумму основного долга.
Расчёт аннуитетного платежа можно производить по формуле (2), в этом случае вводится обозначение:
–размер
ежемесячного аннуитетного платежа по
кредиту;
–сумма
кредита;
–процентная
ставка в долях за период (месяц);
–количество
месяцев, на которые берётся кредит.
Другим не менее распространенным способом погашения ссуды сегодня являются дифференцированные платежи, размер которых каждый месяц будет разным и постепенно уменьшающимся. Основной долг при этом делится на количество месяцев действия кредита и уплачивается равными долями. Проценты начисляются на остаток задолженности, за счет чего их сумма всегда уменьшается.
Таким образом, основное отличие между аннуитетом и дифференцированными взносами заключается в том, изменяется ли сумма ежемесячного платежа по кредиту или остается постоянной на протяжении всего срока займа.
В случае дифференцированных платежей величина погашения долга определяется следующим образом:
, (3)
где
– величина
погашения основной суммы долга;
–первоначальная
сумма кредита;
–количество
периодов (месяцев), на которые берётся
кредит;
Проценты начисляются на уменьшаемую сумму основного долга:
, (4)
где
– величина
погашения процентов по кредиту за
-ый
месяц;
–остаток
ссудной задолженности (суммы обязательства)
на начало
-го
месяца;
–процентная
ставка в долях за период (месяц), равная
1/12 от годовой процентной ставки,
установленной на сумму кредита;
.
Тогда величина дифференцированного платежа по кредиту по каждому месяцу определяется как сумма уплачиваемых процентов и сумма погашения основного долга:
, (5)
где
– размер
дифференцированного платежа по кредиту
за
-ый
месяц,
.
В финансовых операциях возможны ситуации, когда выплаты по кредиту производятся в сумме, большей установленного аннуитета. В таких случаях говорят о частичном досрочном погашении кредита. При этом кредитный договор с банком позволяет уменьшить либо размер ежемесячного аннуитетного платежа, либо срок кредитования.
Рассмотрим оба варианта развития событий в случае частичного досрочного погашения кредита.
1. Уменьшение размера ежемесячного аннуитетного платежа (без изменения срока кредитования).
Для определения новой суммы аннуитета достаточно подставить в формулу аннуитета новое значение суммы кредита (остаток после погашения) и срок, оставшийся до погашения кредита.
2. Уменьшение срока кредитования (без изменения размера ежемесячного аннуитетного платежа).
Новый срок кредитования (с момента частичного досрочного погашения кредита) можно определить по формуле:
, (6)
где
– новый
срок кредитования (с момента частичного
досрочного погашения кредита);
–остаток
ссудной задолженности (суммы кредита)
после частичного досрочного погашения
в
-ый
месяц;
–процентная
ставка в долях за период (месяц), равная
1/12 от годовой процентной ставки,
установленной на сумму кредита;
–размер
ежемесячного аннуитетного платежа по
кредиту.
Замечание.
Значение
всегда округляется в сторону увеличения,
т.е. если
,
то принимаем
.
Задание
На приобретение квартиры взят кредит на 3 года в размере 500 тыс. руб. под 12% годовых. Проценты по кредиту начисляются ежемесячно на остаток долга.
Необходимо:
1. Определить размер ежемесячного аннуитетного платежа по кредиту.
2. Составить в Microsoft Excel график аннуитетных платежей.
3. Определить общую сумму начисленных процентов.
4. Составить в Microsoft Excel график погашения кредита при условии, что основная сумма долга погашается равными частями, и сравнить суммы начисленных процентов при дифференцированных и аннуитетных платежах.
5. Составить в Microsoft Excel график аннуитетных платежей при условии частичного досрочного погашения кредита (без каких-либо ограничений по сумме и штрафов), если 26-ой платеж составляет 50 тыс.руб., а кредитный договор с банком позволяет уменьшить:
а) размер ежемесячного платежа;
б) срок кредитования.
6. Ответить на вопрос: «Как изменится общая сумма выплат в случае частичного досрочного погашения кредита?»
Решение.
1. Размер ежемесячного аннуитетного платежа по кредиту определим двумя способами.
1 способ. Используя формулу (2) для расчета ежемесячного аннуитетного платежа, получим
руб.
Таким образом, ежемесячно необходимо будет возвращать сумму 16 607,15 руб.
2 способ. Выполним расчеты с использованием Microsoft Excel.
Создадим новую книгу в Microsoft Excel и назовем ее «Потоки платежей». Введем в ячейки A1:B4 листа 1 книги «Потоки платежей» исходные данные, как на рис. 1.
Рис. 1. Ввод исходных данных задачи 1
Далее для вычисления размера ежемесячного аннуитетного платежа по кредиту выполним следующие действия:
а) в ячейку А6 ввести текст «CF»;
б) выделить ячейку В6 и выполнить команду «Вставка»/«Функция», в открывшемся окне Мастера функции выбрать категорию «Финансовые», функцию ПЛТ(). Данная функция возвращает сумму периодического платежа для аннуитета на основе постоянства сумм платежей и постоянства процентной ставки;
в) заполнить поля функции ПЛТ согласно рис. 2: в поле «Ставка» указывается процентная ставка в долях за месяц, равная 1/12 от годовой процентной ставки, установленной в ячейкеВ4, в поле «Кпер» – общее количество месяцев выплат по кредиту, равное произведению, в поле «Пс» – сумма кредита.
Рис. 2. Окно аргументов функции ПЛТ
Результат расчета величины отдельного аннуитетного платежа с использованием встроенной функции ПЛТ в Microsoft Excel представлен на рис. 3.
Рис. 3. Результат вычисления по функции ПЛТ
Полученное значение отрицательно, поскольку оно представляет собой величину ежемесячного платежа по кредиту. Абсолютное значение аннуитета, рассчитанного с помощью функции ПЛТ в Microsoft Excel, совпадает со значением, найденным по формуле (2).
2. В финансовых операциях зачастую требуется вычисление обобщающих характеристик по каждому платежу и последующему их суммированию.
В этом случае для
расчета аннуитетного платежа по кредиту
по каждому месяцу удобно использовать
формулу (2),
где
– размер
аннуитетного платежа по кредиту за
-ый
месяц;
–остаток
ссудной задолженности (суммы обязательства)
на начало
-го
месяца;
–процентная
ставка в долях за период (месяц), равная
1/12 от годовой процентной ставки,
установленной на сумму кредита;
–количество
процентных периодов (месяцев), оставшихся
до окончательного погашения ссудной
задолженности (суммы обязательства).
С помощью Microsoft Excel составим график аннуитетных платежей (т.е. график погашения кредита) для рассматриваемой задачи.
Для этого на листе 1 книги «Потоки платежей» Microsoft Excel создадим таблицу как на рис. 4.
В ячейку С11 таблицы
введем формулу (2) для определения размера
аннуитетного платежа, в ячейку Е11 –
формулу для определения размера платежа
в погашение процентов, как произведение
остатка по кредиту к моменту
-го
платежа на процентную ставку в долях
за месяц, в ячейкуD11
– формулу для определения размера
платежа в погашение долга, как разницу
между величиной аннуитета и размером
платежа в погашение процентов по кредиту
(рис. 4). В ячейку F11
вводим формулу для определения остатка
задолженности по кредиту после платежа,
как разницу между остатком по кредиту
к моменту
-го
платежа и размером
-го
платежа в погашение долга (рис. 4).
