UMK_po_mikroekonomike / 50_лекций по микроэкономике / 50_VI. Аддитивные функции
.pdf
604 Математическое приложение
Зависит ли отношение m/l от того, какая из эквивалентных функций полезности использована в качестве целевой функции?
Что дает сопоставление отношения m/l с часовой ставкой заработной платы, имеющей ту же размерность?
VI. Аддитивные функции
1. В настоящем приложении доказываются утверждения, сформ у- лированные в разделе 2 лекции 18 и относящиеся к аналитическ ому выражению функции роста вклада. Одним из основных элемент ов построения функции роста было рассмотрение условия адди тивности. Под аддитивной функцией понимают функцию, которая для любых значений аргумента х, у удовлетворяет соотношению
f(x + y) = f(x) + f(y). |
(1) |
Соотношения, связывающие значения неизвестной функции п ри различных значениях аргумента, называют функциональными ур авнениями. Примером функционального уравнения является равенство (1).
Легко проверить, что при любом значении коэффициента k функция f(x) = kx удовлетворяет уравнению (1). Покажем, что любая непрерывная функция, удовлетворяющая этому уравнению, имеет вид kx.
Обозначим |
f(1) = k. Тогда f(2) |
= f(1 + 1) |
= f(1) |
+ f(1) = k + k |
= 2k; f(3) = |
f(2 + 1) = 2k + k = 3k и т. д. (индукция!). Таким |
|||
образом, для |
любого натурального |
значения |
õ ìû |
получаем |
|
f(x) = |
kx. |
|
|
Теперь возьмем какое-либо натуральное число М и обозна- чим f(1/M) = m. Повторяя приведенные выше рассуждения, получаем f(2/M) = 2m, f(3/M) = 3m и т. д.; для любого натурального числа N имеем f(N/M) = Nm. В частности, при N = M получаем
f(M/M) = Ìm = f(1) = k,
òàê ÷òî m = k/M, è
f(N/M) = k·(N/Ì).
Итак, мы убедились в том, что для любого рационального зна- чения х аддитивная функция имеет вид f(x) = kx.
Пусть теперь х — какое угодно вещественное число, {xn} — последовательность рациональных чисел, сходящаяся к х. Так как f(x) предполагается непрерывной,
VII. Математика производственных функций 605
f(x) = lim f(x |
) = lim kx |
= k lim x = kx, |
||
n→∞ |
n |
n→∞ |
n |
n→∞ n |
чем и исчерпывается доказательство.
2. Полученный результат может быть использован и при решен ии некоторых других функциональных уравнений, в частности, т ого, которое возникло в связи с условием согласованности во врем ени:
k(T1 + T2) = k(T1)k(T2), |
(2) |
причем неизвестная функция здесь должна принимать положительные значения.
Почленно логарифмируя функциональное уравнение (2) lnk(T1 + T2) = lnk(T1) + lnk(T2),
мы убеждаемся в том, что функция L(T) = lnk(T) аддитивна:
L(T1 + T2) = L(T1) + L(T2),
и в силу только что доказанного свойства аддитивных функц ий L(T) = = bT. Итак, мы видим, что lnk(T) = bT и, следовательно, решением интересующего нас уравнения является
k(T) = eβ T.
Этот результат и был использован при построении функции р оста.
VII. Математика производственных функций
Эластичность производственной функции и отдача от масшт аба
В настоящем пункте мы несколько раз будем ссылаться на Математическое приложение II, которое для краткости будем обозначать МП II.
Как указывалось в лекции 22, предельный продукт некоторого ресурса характеризует абсолютное изменение выпуска продукта, приходящегося на единицу изменения расхода данного ресу рса, причем изменения предполагаются малыми. Для производств енной функции q = = f(x1, ..., xn) предельный продукт i-того ресурса равен частной производной:
MPi = ∂f .
∂xi