Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

UMK_po_mikroekonomike / 50_лекций по микроэкономике / 50_II. Эластичность функции

.pdf
Скачиваний:
17
Добавлен:
26.03.2016
Размер:
574 Кб
Скачать

II. Эластичность функции 563

Упражнения

1. Суммарная величина описывается функцией

f(õ) = à + bõ + ñõ2, à > 0, b > 0, ñ > 0.

Найдите явные выражения для f(x) è f(x) , участки возрастания и убывания средней величины и положение ее минимума; представьте результаты графичес ки.

2.Функция f(х) задана графически (рис. 5). Постройте качественно графики функций f(x) è f(x) . Чем интересны

точки а, b, с, d?

3.Суммарная величина описывает-

ся степенной функцией f(x) = ахb. Докажите, что при всех х средние затраты пропорциональны предельным.

Советуем Вам

после прочтения

 

Математического приложения II вы-

 

полнить следующие упражнения, в ко-

 

торых f(х) предполагается непрерывно

 

дифференцируемой

 

положительной

 

функцией при х > 0.

 

 

 

4. Докажите тождества:

 

Εx[f] = f(x) /

 

(x);

 

f

 

Рис. 5. К упражнению 2.

 

 

 

 

 

 

 

Εx[

 

] = Εx[f] 1.

 

f

 

5. Докажите, что

 

(x) возрастает при

убывает при Εx (f) < 1 и принимает

f

экстремальное значение при Εx(f) = 1.

 

II. Эластичность функции

Пусть величина y зависит от величины х, и эта зависимость описывается функцией у = f(х). Главный вопрос анализа зависимостей — это выяснение того, как изменится зависимая переме нная у вследствие изменения аргумента х. Основное понятие дифференциального исчисления — производная — определяется как пр едел отношения абсолютных приращений переменных

dy

= lim

y

.

(1)

dx

 

x0

x

 

Но очень часто относительные изменения интересуют экономи-

564 Математическое приложение

ста гораздо больше, чем абсолютные. Если, например, маленький арбуз подорожал на 15 коп., то при этом большой арбуз подорожал, скажем, на 50 коп. или даже на рубль. В то же время, если арбузы подорожали в 1.5 раза, то в 1.5 раза дороже стал и маленький, и большой арбуз, и килограмм, и вагон арбузов.

Анализ относительных изменений позволяет судить о многи х экономических явлениях с большей степенью общности, чем а нализ абсолютных изменений. Поэтому наряду с производными п ри анализе различных зависимостей в экономике широко польз уются особыми показателями — эластичностями. Введем обозначен ия

для относительных приращений:

Dx

 

 

 

 

dx =

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

dy =

Dy

=

f(x + Dx) - f(x)

.

y

 

f(x)

Эластичностью переменной у по переменной х называется предел

Εx[f] = lim

δ y

.

(2)

 

δx0

δ x

 

Разумеется, относительные отклонения имеют смысл лишь дл я величин, которые могут принимать только положительные зн аче- ния. Это относится и к эластичностям. Поэтому дальше мы всю ду будем полагать х > 0, у > 0. При этом случаи х = 0 или у = 0 могут рассматриваться только как предельные.

Так как условие предельного перехода δx 0

равносильно условию

Dx ® 0, равенство (2) может

áûòü

раскрыто следующим образом:

Εx[f] = lim

Dy / y

æ

Dyö

x

 

 

= ç lim

 

÷ ×

 

,

Dx/ x

 

y

x0

è x0

Dxø

 

а с учетом определения производной (1)

получаем

Εx[f] = dy

× x .

 

 

 

 

(3)

dx

y

 

 

 

 

 

Поскольку х и у положительны, знак эластичности всегда совпадает

со знаком производной:

Εx[y] > 0 — для возрастающий функций,

Εx[y] < 0 — для убывающих. При разных значениях аргумента эластич-

ность может принимать различные значения: Εx[y] > 0 — на участках

возрастания, Εx[y] < 0 —

на участках убывания функции.

Чтобы сделать понятие эластичности более доходчивым, нек оторые авторы определяют его так: эластичность показывает, н а сколько

II. Эластичность функции 565

процентов увеличится значение функции, если аргумент уве личится на 1 %. Это определение не совсем точно: относительное приращение 0.01 в обычных случаях можно cчитать малой величиной, но все-таки не бесконечно малой, как это предполагается опре делением (2). Так, для функции у = Ах2 эластичность, как показывает равенство (3), равна 2, а увеличение х на 1 % влечет за собой увеличение у на 2.01 % (проверьте!).

Из равенства (3) следуют основные свойства эластичности:

а) эластичность — безразмерная величина, значение которо й не зависит от того, в каких единицах измерены аргумент и функ ция. Если и = Ах, v = By, то

Εu[x] = dudv × uv = BA × dxdy × ByAx = Εx[y];

б) эластичности взаимно обратных функций — взаимно обрат ные величины:

Εy[x] =

dx

×

y

=

 

1

 

.

dy

x

Εx[y]

 

 

 

 

Это следует непосредственно из определения (2); в) эластичность переменной у по переменной х равна производной

логарифма у по логарифму х. Так как

d ln x =

1

,

d ln y

=

1

× dy

,

 

dx

y

dx

 

x

 

dx

 

 

справедливо равенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dlny = dlny / dx = x × dy = Ε

 

[y],

dlnx

dlnx / dx

y

dx

x

 

 

 

 

èëè

= dlog y .

 

 

 

 

 

 

Εx[y]

 

 

 

 

 

(4)

 

dlog x

 

 

 

 

 

 

В последнем выражении использованы логарифмы по произвольному основанию: переход от одного основания логарифм ов к другому равносилен умножению на константу и числителя, и знаменателя дроби (4), а это не изменит ее значения.

Равенство (4) показывает, что изучение различных свойств э ластичности легко свести к изучению соответствующих свойс тв производных: достаточно перейти от величин x и y к их логарифмам.

566 Математическое приложение

Допустим, нас интересует эластичность произведения uv двух переменных, зависящих от одного и того же аргумента х:

Εx[uv] = d ln uv d ln x

= ddlnln ux + ddlnlnxv = Εx[u] + Εx[v].

Òàê êàê Εx[x] = 1, из последнего равенства получаем выражение важного частного слу- чая:

 

 

 

Εx[xy] = Εx[y] + 1.

(5)

 

 

Отсюда следует, что произве-

 

 

дение ху убывает с ростом х,

 

 

åñëè

Εx[y] < −1,

и возрастает,

 

 

åñëè

Εx[y] > −1

(ðèñ. 1).

 

 

 

Как можно оценить эластич-

 

 

ность функции у = f(х) по ее

 

 

графику? Рассмотрим вначале

 

 

возрастающую функцию

(ýëàñ-

 

 

тичность при этом положитель-

 

 

на). Выберем на графике точку

Рис. 1. Изменение произведения ху

ïðè

М и проведем через эту точку

касательную; обозначим

À è Â

различных значениях эластичности.

 

 

— точки пересечения касатель-

 

 

ной с осями абсцисс и ординат, а С и D — проекции точки М на

координатные оси. Допустим, что касательная пересекает ос ь ординат в отрицательной области, как это показано на рис. 2,а.

Рис. 2. Геометрические характеристики эластичности: вариа нты положения касательной к графику функции.

II. Эластичность функции 567

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

MC

 

=

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Èç

свойств производной

 

 

следует,

÷òî

 

 

 

 

 

.

 

 

AC

 

dx

Íî

 

MC

 

= y,

 

MD

 

=

 

OC

 

 

 

 

= x, à

из подобия треугольников BMD

 

 

 

 

 

 

и MAC следует

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

MB

 

 

MD

 

 

 

 

x dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

=

 

 

×

 

 

 

,

 

 

 

 

èëè

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

MA

 

 

 

AC

 

 

 

 

y

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ε

[y] =

 

 

MB

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(6)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

MA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Все приведенные выкладки и результат (6) полностью примени мы и к положению касательной на рис. 2,б.

Разница состоит лишь в том, что в первом случае |МВ| > |МА|,

òàê ÷òî

он относится к значениям

Εx[y] > 1;

во втором случае |МВ|

< |ÌÀ|,

так что здесь 0 < Εx[y]

< 1. Ïðè

Εx[y] = 1 касательная

проходит через начало координат.

 

 

График для функции с отрицательной эластичностью предст авлен на рис. 2,в. Все обозначения оставлены прежними. Рассуждая по аналогии, читатель без труда установит, что в этом случае

Ε

[y] = −

 

MB

 

.

(7)

 

 

 

 

x

 

 

MA

 

 

 

 

 

 

 

 

Мы могли бы применить равенство (6) и к этому случаю, если бы условились считать отношение отрезков положительным, если они направлены в одну сторону (от точки M), и отрицательным — если в противоположные.

Рассмотрим теперь эластич- ность двух видов функций, широко используемых в различ- ных экономических моделях.

Рассмотрим степенную функцию (рис. 3) вида

ó = ÀõB.

(8) Рис. 3. Степенные функции.

568 Математическое приложение

Åå

производная равна

dy

= ABxB1,

 

 

dx

 

 

à

эластичность

 

 

 

 

 

 

 

 

Ε

[y] = ABxB1 ×

x

 

= B

(9)

 

 

 

x

 

 

 

AxB

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при любых значениях х. Иными словами, эластичность степенной функции постоянна и совпадает с показателем степени.

Линейная функция (рис. 4)

 

ó = à + bõ

(10)

имеет постоянную производную, но ее эластичность при

a ¹ 0 èç-

меняется с изменением х.

 

Понятие эластичности распространяется и на функции неск ольких переменных:

y = f(x1, x2, ..., xN).

Под частной эластичностью функции по одному из аргументо вxk понимается эластичность переменной у, рассматриваемой в зависимости только от xk, при постоянных значениях остальных аргументов. Она связана с частной производной по этому аргументу соотношением

Εx [y] =

¶y

× xk .

¶xk

k

y

 

 

Следующие утверждения могут быть доказаны читателем как самостоятельные упражнения.

1.Для линейной функции (10): а) если а > 0, b > 0, то с изменением

õот 0 до +¥ эластичность возрастает от 0 до +1 (рис. 4,а);

б) если а < 0, b > 0, то с изменением x oт –a/b до + ¥ эластич- ность убывает от + ¥ до +1 (рис. 4,б);

в) если а > 0, b < 0, то с изменением х от 0 до –a/b эластичность убывает от 0 до –¥ ; в середине этого отрезка Εx [y] = −1 (рис. 4,в); 2. Эластичность показательной функции у = АВx изменяется

пропорционально х.

Рис. 4. Варианты линейной функции.

III. Выпуклые множества и функции 569

3.Все функции одной переменной с постоянной эластичность ю имеют вид (8) (воспользоваться равенством (4)).

4.Функции нескольких переменных с постоянными частными эластичностями — это степенные функции вида

y= Ax1B1x2B2,...,xNBN .

III.Выпуклые множества и функции

При исследовании экономических явлений математическими методами весьма значительным оказывается такое свойство м ногих множеств и функций, как выпуклость. Характер поведения мн огих экономических объектов связан с тем. что определенные зав исимости, описывающие эти объекты, являются выпуклыми. С выпукл о- стью функций и множеств часто связано существование или е динственность решения экономических задач: на этом же свойст ве основаны многие вычислительные алгоритмы.

Справедливость многих утверждений, относящихся к выпукл ым множествам и функциям, совершенно ясна, они почти очевидн ы. В то же время их доказательство зачастую очень сложно. Поэтому здесь будут изложены некоторые основные факты, связанные с выпу клостью, без доказательств, в расчете на их интуитивную убедит ельность.

1. Выпуклые множества на плоскости

Любая геометрическая фигура на плоскости может рассматр иваться как множество точек, принадлежащих этой фигуре. Одни множества (например, круг, прямоугольник, полоса между параллел ьными прямыми) содержат и внутренние, и граничные точки; другие ( например, отрезок, окружность) состоят только из граничных точе к.

Множество точек на плоскости называется выпуклым, если он о обладает следующим свойством: отрезок, соединяющий любые две точки этого множества, целиком содержится в этом множестве (рис . 1).

Примерами выпуклых множеств являются: треугольник, отрезок, полуплоскость (часть плоскости, лежащая по одну сторону от какой-либо прямой), вся плоскость. Другие примеры выпуклых множеств приведены на рис. 2,а. На рис. 2,б приведены примеры невыпуклых множеств.

Множество, состоящее из одной-единственной точки, и пусто е множество, не содержащее ни одной точки, по принятому соглаше нию, также считаются выпуклыми. Во всяком случае, в этих множес твах невозможно провести отрезок, соединяющий какие-то точки э тих множеств и не принадлежащий этим множествам целиком, — в них