Вопрос 2.Пересечение прямой с плоскостью .Условия принадлежности прямой, плоскости.

1.Прямая принадлежит плоскости, если две её точки принадлежат этой плоскости.

2 .Прямая принадлежит плоскости, если имеет с плоскостью одну общую точку и параллельна какой-либо прямой расположенной в этой плоскости.

Условия принадлежности прямой к плоскости     Ax+By+Cz=0

Ax₁+By₁+Cz₁+D=0

Al+Bm+Cn+D=0 , 

первое уравнение - условие точка M(xi,yi,zj) через которую проходит прямая принадлежит плоскости;

второе - условие параллельности прямой и плоскости.

Билет 4

Вопрос 1.Ранг матрицы. Методы нахождения ранга матрицы.

Ранг матрицы— наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.

Существует несколько методов нахождения ранга матрицы:

Метод элементарных преобразований

Ранг матрицы равен числу ненулевых строк в матрице после приведения её к ступенчатой форме при помощи элементарных преобразований над строками матрицы.

Метод окаймляющих миноров

Пусть в матрице A найден ненулевой минор k-го порядка M. Рассмотрим все миноры (k + 1)-го порядка, включающие в себя (окаймляющие) минор M; если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k. В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой, и вся процедура повторяется.

Вопрос 2.Предел функции в точке. Свойства функции имеющие предел.

Предел функции(предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.

Значение называетсяпределом (предельным значением) функции в точке, если для любойпоследовательности точек , сходящейся к, но не содержащейв качестве одного из своих элементов (то есть в проколотой окрестности), последовательность значений функциисходится к.^[1]

Таблица пределов функций Держите эту таблицу основных пределов перед глазами при решении задач и примеров. Она значительно упростит Вам жизнь.

Билет 5

Вопрос 1.Обратная матрица. Свойства вычисления.

Квадратная матрица В называется обратной к квадратной матрице А того же порядка, если АВ = ВА = Е. При этом В обозначается .

Пример:

1)Находим detA,detA=3*2*(-1)+1*4*3+1*2*(-5)-3*2*(-5)-1*1*(-1)-2*4*3=3

2)Находим миноры. ;;;;;;;;

3)Составляем матрицу .

4)Транспонируем её. .

5).

=1/3

Вопрос 2.Первый замечательный предел.

Первый замечательный предел:

Билет 6

Вопрос 1.

Скаля́рное произведе́ние — операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр (число), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними. Данной операции соответствует умножение длины данного вектора x на проекциюдругого вектора y на данный вектор x.

Вопрос 2.Производные элементарных функций

7 билет

Вопрос 1.Совокупность уравнений

относительна неизвестных x₁, x₂, ..., x_n-1, x_n называется системой линейных алгебраических уравнений.

Числа a_ij — коэффициенты системы, b_i— правые части системы i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n.

Совокупность значений неизвестных, удовлетворяющая всем уравнениям системы, называется решениемсистемы.

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Система, у которой нет решений, называетсянесовместной.

Каждое решение совместной системы называется частным решением. Совокупность всех решений совместной системы называется общим решением.

Если среди правых частей b_i системы есть хоть одна, отличная от нуля, то система называется неоднородной системой линейных уравнений.

Если все правые части системы равны нулю, то система называется однородной.

Система линейных уравнений может быть записана в матричной форме A·x = b:

Здесь A — матрица системы, b — правая часть системы , x— искомое решение системы.

Иногда удобно записывать систему линейных уравнений в другой матричной форме:

A⁽¹⁾x₁ + A⁽²⁾x₂ + ... + A⁽ⁿ⁾x_n = b. Здесь  A⁽¹⁾, A⁽²⁾, ... , A⁽ⁿ⁾ — столбцы матрицы системы.

Матрица Ap называется расширенной матрицей системы.

Если исследуется неоднородная система A·x = b, b ≠ 0, то система A·x =0 называется приведенной однородной системой для системы A·x = b.

Вопрос 2)Числовая последовательность — это последовательность элементов числового пространства. Пусть множество X — это либо множество вещественных чиселR, либо множество комплексных чиселC. Тогда последовательность элементов множества X называется числовой последовательностью.

Число А€ Rназывается пределом числовой последовательности, если последовательностьявляется бесконечно малой, т. е. все её элементы, начиная с некоторого, по модулю меньше любого заранее взятого положительного числа.