Билет 2

Вопрос 1.Определители 2-3 порядка. Основные понятия, методы исчисления.

определитель- число, характеризующее квадратную матрицу, необходимо для решения систем линейных алгебраических уравнений.

Определитель матрицы обозначают,,.

1)Определители 2-го порядка вычисляются:

Определители 3го порядка вычисляются:

2)Определителем матрицы 3-го порядка .

Данная формула получила название правила треугольников или правило Сарруса.

При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоваться следующей схемой, показывающей произведения каких элементов берутся со знаком “+”, а каких со знаком “-“:

Свойства определителей:

1)Определитель не изменится если в нём строки и столбцы поменять местами.

2)Определитель меняет знак,если поменять местами любые 2е строки или 2а столбца матрицы.

3)Определитель равен 0, если элементы 2х строк(столбцов) матрицы соответственно пропорциональны.

4)Общий множитель всех элементов любой строки(столбца) можно вынести за знак определителя.

5)Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов её главной диагонали.

6)определитель не изменится если к элементам одной строки(столбца) прибавить элементы др. строки(столбца),умнож. на произвольный множитель.

Вопрос 2.Асимптоты графика функций. Общая схема исследования функций и построения графика.

Асимптоты-прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. В зависимости от поведения аргумента при этом, различаются два вида асимптот: вертикальные и наклонные.

Вертикальной асимптотой графика функцииназывается вертикальная прямая, еслиилипри каком-либо из условий:,,. Заметим, что мы при этом не требуем, чтобы точкапринадлежала области определения функции, однако она должна быть определена по крайней мере в какой-либо из односторонних окрестностей этой точки:или, где.

Наклонной асимптотой графика функции приназывается прямая, если выполнены два условия: 1) некоторый лучцеликом содержится в; 2) расстояние по вертикали между графиком и прямой стремится к 0 при:

(7.1)

Наклонной асимптотой графика функции приназывается прямая, если 1) некоторый лучцеликом содержится в; 2) расстояние по вертикали между графиком и прямой стремится к 0 при:

    

.Графики функций, имеющие наклонные асимптоты при и при

В случае, если наклонная асимптота расположена горизонтально, то есть при , она называется горизонтальной асимптотой. Таким образом, горизонтальная асимптота -- частный случай наклонной асимптоты; прямаяявляется горизонтальной асимптотой графикаприили, если

или

.

Схема общего исследования функции:

1)Найти обл. определения. D(f).

2)Обл.значений функций Е(f).

3)Интервалы знакопостоянства.

4)Чётность(нечётность) функции.

5)Периодичность(непериодичность).

6)точки пересечения с осями координат.

7)Экстремумы.

8)Выпуклость вогнутость, точки перегиба.

9)пределы, асимптоты.

10)График.

Билет 3

Вопрос 1.Решение системы линейных уравнений. Теорема Кронекера Капелли.

Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

RgA = RgA*.

            Очевидно, что система может быть записана в виде: 

            Доказательство.

            1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход А->А* не изменяют ранга.

            2) Если RgA = RgA*, то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше.

Пример. Определить совместность системы линейных уравнений:

A =

~ .RgA = 2. A* =RgA* = 3.

Система несовместна.

Пример. Определить совместность системы линейных уравнений.

А = ;= 2 + 12 = 14 не равно 0;    RgA = 2;

A* =

RgA* = 2. Система совместна. Решения: x₁= 1;  x₂=1/2.