f гр ,1=50 кГц , дисперсия шума на выходе второго фильтра превышает

дисперсию на выходе первого в 10 раз. Найти частоту среза второго фильтра.

5.4. На RL-фильтр нижних частот с параметрами L= 2 мГн, R= 4 кОм подается квазибелый шум с дисперсией 25 В2 и наибольшей частотой в спектре f m=5 МГц . Определить дисперсию процесса на

выходе цепи.

(R1=R2=1 кОм). Найти корреляционную функцию и дисперсию процесса на выходе цепи, если a=4 В2 , b=100 1с .

6. Анализ нелинейных преобразований случайных процессов

Необходимые теоретические сведения

В настоящем разделе рассмотрение вопросов нелинейных преобразований случайных процессов ограничено случаем воздействия стационарных случайных процессов на нелинейные безынерционные цепи. Такие цепи не содержат реактивных элементов, поэтому мгновенное значение процесса η(t ) на выходе цепи в каждый момент

времени зависит только от мгновенного значения процесса ξ(t ) на

входе в этот же момент времени и не зависит от значений входного процесса в предыдущие моменты времени.

Примером нелинейной безынерционной цепи может служить нелинейное сопротивление. Если на него воздействует случайное напряжение, то отклик – протекающий через него случайный ток. Цепь в этом случае описывается вольт-амперной характеристикой i=ϕ(u) .

По заданной реализации случайного напряжения ξ(t ) и вольт-амперной характеристике i=ϕ(u) можно графическим методом определить реализацию тока η(t ) через нелинейное сопротивление

(см. рис. 6). Графическое решение задачи аналогично решению для случая детерминированного сигнала (см. [7]). Поскольку ξ(t ) –

случайная функция времени, то и процесс η(t ) тоже случаен, поэтому

отдельно взятая его реализация не обладает большой информативностью.

35

Рис. 6. Определение реализации случайного процесса на выходе нелинейного сопротивления графическим методом

Практический интерес заключается в определении неслучайных характеристик процесса на выходе нелинейной цепи.

Наиболее простым является расчет плотности вероятности f (η) по известной плотности вероятности f (ξ) процесса на входе и

проходной характеристике цепи. Поскольку закономерности нелинейных преобразований не зависят от физической природы отклика и воздействия, удобнее рассматривать проходную характеристику нелинейной безынерционной цепи (четырехполюсника) без уточнения ее физического смысла: y=ϕ(x) , где x – воздействие

(ток или напряжение), y – отклик (ток или напряжение).

Если заданы f (ξ) и проходная характеристика y=ϕ(x) , то

плотность вероятности процесса на выходе цепи определяется выражением:

36

вероятность того, что процесс на выходе примет значение из этого интервала, равна нулю. На рис. 6. значению входного напряжения –0,5

стремится к нулю, т. к. процесс на входе в каждый момент времени представляет собой непрерывную случайную величину.

дельта-функцию pδ(y1) площадью p=P {x11 <ξ<x12 } . Это

происходит, потому что все значения входного процесса из интервала [x11 , x12 ] отображаются проходной характеристикой в единственную

точку y1 , и вероятность P {η= y1} перестает быть бесконечно малой. Поэтому плотность вероятности устремляется к бесконечности.

На рис. 6 все значения процесса ξ(t ) из интервала [−0,5,0,5] В

отображаются проходной характеристикой в единственное значение

η=0,5 мА.

37

Вслучае, если обратная функция x=ϕ−1( y) обладает

неоднозначностью, т. е. какому-то значению y2 соответствуют k значений x1, x2, ... , xk , плотность вероятности процесса на выходе в точке η= y2 определяется как сумма:

Для определения корреляционной функции процесса на выходе нелинейной цепи необходимо знать двумерную плотность вероятности процесса на входе:

∞ ∞

K η(τ)=∫ ∫[ϕ(ξ1)−ϕ(mξ)][ϕ(ξ2)−ϕ(mξ)] f (ξ1 ,ξ2 ,t1 ,t1+ τ) d ξ1 d ξ2 .

−∞ −∞

Спектральную плотность мощности процесса η(t ) можно найти из корреляционной функции по теореме Винера-Хинчина.

Вопросы анализа нелинейных преобразований случайных процессов подробно рассмотрены в [3–5].

Найти плотность вероятности процесса η(t ) на выходе нелинейной цепи, проходная характеристика которой:

Решение

38

первом и третьем уравнениях системы (6.3) выразить ξ через η. Для этого следует в соответствующих уравнениях системы (6.2) заменить x на ξ, y на η:

В неравенствах, задающих интервалы, значения ξ выражены через η. Упрощая эти неравенства, получим:

39

Подставляя первое и второе уравнение (6.4) вместо ξ соответственно в первое и второе уравнение (6.3), получим выражение

Второе неравенство ( x1 a1+b1 <η x2 a3+b3 ) получено из анализа

графика проходной характеристики на рис. 6. Поскольку горизонтальный участок проходной характеристики расположен на верхней границе вертикального участка, то δ-функция, соответствующая горизонтальному участку, будет находиться на правой границе интервала, где плотность вероятности f (η) 0 ,

соответствующего вертикальному участку проходной характеристики. Таким образом, на интервале x1 a1+b1 <η x2 a3+b3 плотность

вероятности f (η)=0+ pδ(η−b2) .

Заметим, что на интервале η x1 a1+b1 функция f (η) совпадает с нормальным распределением, имеющим параметры m=b1 , σ=σξ a1 , а на интервале η> x2 a3+b3 – с нормальным распределением, имеющим параметры m=b3 , σ=σξ a3 . Вид распределения на этих интервалах не изменился, т. к. проходная характеристика на них линейна.

Найдем вероятность р (множитель при δ-функции) при помощи таблицы функции Лапласа:

p=Φ(σx2ξ )−Φ(σx1ξ )=Φ(0,5)−Φ(−0,5)=0,6915−0,3085=0,383 . Подставляя числовые значения в (6.5), получим окончательный

40

Рис. 7. Графическое представление преобразования плотности вероятности процесса ξ(t ) при прохождении его через нелинейную цепь

Ответ: f (η) имеет вид (6.6)

41

Задачи

6.1. Случайное напряжение с равномерным распределением в пределах [ξ1 , ξ2] В проходит подается на вход нелинейной цепи

y=x3 . Найти плотность вероятности процесса на выходе цепи, если

ξ1=−2 В , ξ2=2 В . Размерность отклика цепи – мА.

6.2.Случайный процесс с равномерным распределением в пределах [ξ1 , ξ2] подается на вход нелинейного элемента с проходной

аппаратуры требуется преобразовать равномерно распределенные числа от датчика в числа с показательным распределением:

6.4. Датчик случайных чисел выдает равномерно распределенные числа в интервале [0,1] . Для численного эксперимента необходимы числа с равномерным распределением на интервале [−15 ,15] . Определить проходную характеристику элемента, осуществляющего заданное преобразование.

6.5. Случайный процесс с нормальным распределением подается на нелинейный элемент с проходной характеристикой y=|x| . Найти математическое ожидание процесса на выходе цепи, если параметры распределения процесса на входе: m=0 , σ=3 мВ .

6.6. Процесс с равномерным распределением в пределах примерно от –4 до +4 В подается на односторонний ограничитель с

6.7. Процесс с равномерным распределением в пределах примерно от –4 до +4 В подается на идеальный двусторонний

42