Введение

Курс «Статистические методы обработки данных» читается студентам направлений «Радиотехника» и «Инфокоммуникационные технологии и системы связи» в третьем семестре. Цель курса – сообщить студентам необходимые знания из области теории вероятностей, математической статистики и некоторых их приложений, связанных с задачами обработки сигналов.

Основные вопросы, связанные с основами теории вероятностей, случайными величинами и случайными процессами, изучаются на практических занятиях. Для освоения знаний в области математической статистики и приобретения навыков обработки экспериментальных данных в программе курса предусмотрено индивидуальное расчетное задание.

Настоящая методическая разработка содержит материал для работы на практических занятиях и самостоятельной работы студентов. По каждой теме приводятся необходимые для решения задач теоретические сведения, примеры решения типовых задач с кратким обсуждением особо важных результатов, а также задачи для самостоятельного решения.

Для упрощения поиска более подробных сведений по рассматриваемым темам даны ссылки на литературные источники.

1. Случайные события. Сумма и произведение событий

Необходимые теоретические сведения

Событие A называется случайным, если в результате опыта (испытания) оно может наступить или не наступить, причем исход заранее не известен. Величина P ( A) называется вероятностью

наступления события A, 0 P (A) 1 .

Если P ( A)=0 , событие A является невозможным, если P (A)=1 , то A является достоверным событием.

Суммой событий A и B называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий A, B, т. е. сумма событий наступает, если наступает только A, только B или A и B одновременно. Обозначение суммы событий: A+B .

В случае, если события A и B несовместны, т. е. не могут наступить

3

одновременно, вероятность их суммы равна сумме вероятностей:

P ( A+ B)=P ( A)+P (B) .

Если события A и B совместны, то

P ( A+ B)=P ( A)+P (B)−P ( AB) .

Несовместные события A1, A2, …, AN образуют полную группу

N

событий, если ∑ P(Ak )=1 . Противоположные события A , A всегда

k =1

Произведением событий A и B называется событие, состоящее в наступлении событий A и B, т. е. произведение событий наступает, если в одном опыте наступают события A и B. Обозначение произведения событий: AB .

Если события A и B независимы, т. е. вероятность наступления A не зависит от наступления B и наоборот, то вероятность их произведения равна произведению вероятностей:

P ( AB)=P (A) P (B) .

В случае, если события A и B зависимы, вероятность произведения определяется следующим образом:

P ( AB)=P (A) P (B|A)=P (B) P ( A|B ) ,

где P (B|A ) , P ( A|B ) – условные вероятности: P (B|A ) – вероятность наступления B, если A уже наступило; P ( A|B ) –

вероятность наступления A, если B уже наступило. Более подробные сведения по теме могут быть найдены в [1, 2].

Пример 1.1

Система связи состоит из передатчика и приемника. Вероятность сбоя в работе передатчика в течение сеанса связи 0,01; вероятность сбоя приемника 0,02. Ошибки приемника и передатчика наступают независимо. Найти вероятность того, что в течение сеанса связи произойдет сбой.

Решение 1

Пусть A – событие, состоящее в сбое передатчика; B – сбой приемника. По условию P ( A)=0,01 , P (B)=0,02 .

4

Сеанс связи пройдет со сбоем, если хотя бы в одном из устройств произойдет сбой. Могут наступить оба события A и B, т. е. требуется найти вероятность суммы совместных и независимых событий:

P (A+ B)=P (A)+P (B)−P ( AB)=P(A)+P ( B)−P(A)P (B)=

=0,01+0,02−2 10−4=0,0298 .

Решение 2

В ряде случаев проще оказывается сначала найти вероятность противоположного события, а потом ответ по формуле (1.1).

Сеанс пройдет без сбоев, если наступят оба события: A (работа передатчика без сбоев) и B (работа приемника без сбоев). Их вероятности

P (A)=1−P (A)=0,99 ;

P (B)=1−P (B)=0,98 .

Вероятность сеанса без сбоев P ( A B)=0,99 0,98=0,9702 . Найдем вероятность противоположного события (сбоя во время сеанса):

P ( A+ B)=1−P ( A B)=1−0,9702=0,0298 .

Ответ: вероятность того, что сеанс пройдет со сбоем 0,0298.

Пример 1.2

Время обзора радиолокационной станции 3 с. Вероятность обнаружить цель за один обзор равна 0,85 и не зависит от результатов предыдущих обзоров. Найти вероятность того, что цель останется незамеченной в течение минуты.

Решение

В течение минуты радиолокационная станция совершит 60/3 = 20 циклов обзора.

Цель останется незамеченной в течение 20 обзоров, если наступят все 20 событий Ak , т. е. требуется найти вероятность их произведения.

Так как по условию все эти события независимы, найдем:

5

Ответ: вероятность того, что цель останется незамеченной в

течение минуты, равна 3,3 10−17 , т. е. это практически невозможное событие.

Задачи

1.1.Два стрелка сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания первого – 0,9, второго – 0,8. Найти вероятность того, что а)оба попали в цель; б) попал хотя бы один.

1.2.Некто забыл пароль от учетной записи на сервере электронной почты, но помнит, что пароль состоит из 5 цифр, причем повторяющихся цифр нет. Какова вероятность угадать пароль с первой попытки?

1.3.В ящике с деталями есть 6 годных и 4 бракованных детали одного вида. Из ящика вынимают подряд две детали. Какова вероятность того, что обе детали годные?

1.4.В урне 8 красных, 4 зеленых и 3 черных шара. Определить вероятность того, что взятые наудачу 2 шара будут разных цветов.

1.5.Сколько раз необходимо бросить две игральных кости, чтобы с вероятностью 0,95 хотя бы один раз выпало 12 очков?

1.6.В круг радиусом R вписан квадрат. Какова вероятность того, что две точки, поставленные в круг наугад, не попадут в квадрат?

1.7.В лотерее 1000 билетов, стоимость каждого билета – 10 руб. На один билет приходится выигрыш 1000 руб, на 2 – 500 руб, на 10 – по 100 руб, на 50 – по 50 руб. Некто покупает 1 билет. Найти вероятность того, что его выигрыш будет более 50 руб. Какова выручка организаторов лотереи?

1.8.Техпроцесс изготовления детали включает 10 этапов. Какой должна быть вероятность брака на каждом этапе, чтобы в среднем доля бракованных деталей составила 1%? (считать вероятности брака на всех этапах равными).

1.9.В урне 2 белых шара и 3 черных. Два игрока тянут по очереди по одному шару, не вкладывая их обратно. Выигрывает тот, кто первым вытянет белый шар. Какова вероятность того, что победит первый игрок? У кого из них больше вероятность выигрыша?

6