условия нормировки плотности вероятности.

3.9. Найти характеристическую функцию и математическое ожидание распределения Лапласа (двухстороннего показательного)

f (x)= λ2 e−λ|x| .

3.10. Случайная величина имеет равномерное распределение:

f ( x)={C,a x b, 0, x<a,x>b ,

где a = –1 В, b = 5 В. Найти значение константы C и характеристическую функцию распределения.

3.11. Найти коэффициент асимметрии и коэффициент эксцесса для равномерного распределения.

4. Характеристики случайных процессов

Необходимые теоретические сведения

Случайным процессом называется случайная функция времени ξ(t ) , значения которой в каждый момент времени t являются

случайной величиной.

Реализацией ξ(k )(t ) случайного процесса называется множество

зафиксированных (записанных, зарисованных) значений случайного процесса за некоторый промежуток времени; k – номер реализации.

В общем случае одна реализация не дает всей информации о случайном процессе, поэтому фиксируют множество (ансамбль)

реализаций {ξ(k )(t )}Nk =1 . На рис. 3 показаны первые две и последняя

реализации ( ξ(1)(t) , ξ(2)(t) , ξ(N )(t) ) из ансамбля, в котором всего N реализаций.

Совокупность значений случайного процесса ξ(t1)={ξ(k )(t1)}Nk =1 в

проведенные в моменты t1 ,t2 ,t n . Подразумевается, что всего сечений n штук.

21

Таким образом, интегральная функция распределения случайного процесса является функцией двух переменных: уровня ξ1 и момента

22

Характеристическая функция случайного процесса по аналогии с характеристической функцией случайной величины задается

∞

выражением E ( ju ,t1)=∫ f (ξ1 ,t1)e juξ1 d ξ1 и зависит от t1 .

−∞

Моменты случайного процесса также зависят от выбора момента времени t1 :

где mξ (t1)≡α1(t1) – математическое ожидание случайного процесса в момент времени t1 .

Приведенные выше функциональные и числовые характеристики случайного процесса определяются только по одному сечению в момент t1 и называются одномерными. Такие характеристики описывают

случайный процесс лишь в один момент времени и никак не отражают динамику его развития. Более полное описание случайного процесса можно получить, если одновременно рассмотреть два сечения в некоторые моменты t1 и t2 .

Два сечения ξ(t1) , ξ(t 2) можно рассматривать как систему из

двух случайных величин или случайный вектор в двумерном пространстве. Поэтому можно определить двумерную интегральную функцию распределения случайного процесса:

F (ξ1 ,ξ2 ,t1 ,t2)=P {ξ(t1)<ξ1 ,ξ(t2)<ξ2} .

Эта функция равна вероятности того, что в момент времени t1 процесс не достигнет уровня ξ1 и в момент t2 не достигнет уровня

ξ2 .

23

Двумерная плотность вероятности – вторая смешанная производная от двумерной интегральной функции распределения:

f (ξ1 ,ξ2 ,t1 ,t 2)= ∂2 F (ξ1 ,ξ2 ,t1 ,t2) .

∂ξ1∂ξ2

Двумерная плотность вероятности случайного процесса – предел отношения вероятности того, что при t=t1 процесс примет значение из

По двумерной плотности вероятности можно найти смешанные моменты случайного процесса. Смешанным начальным моментом порядка k +s называется величина:

αk , s(t1 ,t2)=∫ ∫ ξk1 ξ2s f (ξ1 , ξ2 , t1 , t2)d ξ1 d ξ2 .

−∞ −∞

Аналогично смешанный центральный момент порядка k +s :

∞ ∞

μk , s(t1 ,t2)=∫ ∫ [ξ1−mξ(t1)]k [ξ2−mξ (t 2)]s f (ξ1 , ξ2 ,t1 ,t2) d ξ1 d ξ2 .

−∞ −∞

При k =0 или s=0 смешанные моменты обращаются в моменты одномерного распределения: α0, s(t1 ,t2)=αs (t 2) , μk ,0(t1 ,t2)=μk (t1) .

Второй смешанный центральный момент называется корреляционным моментом, а его зависимость от моментов времени t1

и t2 называется корреляционной функцией:

24

K (t1 ,t2)=∫ ∫ [ξ1−mξ(t1)][ξ2−mξ (t 2)] f (ξ1 , ξ2 , t1 , t2)d ξ1 d ξ2 .

−∞ −∞

Корреляционная функция K ξ(t1 , t2) является мерой линейной статистической связи между значениями случайного процесса ξ(t ) в моменты времени t1 и t2 . При t2=t1 корреляционная функция равна дисперсии случайного процесса в момент t=t1 : K (t1 ,t1)=Dξ (t1) .

Двумерные характеристики также не дают всей информации о случайном процессе. Полностью описывает случайный процесс любая

Если n-мерная плотность вероятности случайного процесса при любом n зависит только от взаимного расположения моментов времени t1 ,t2 ,... , tn и не зависит от выбора момента t1 , то процесс называется

стационарным в узком смысле.

На практике чаще используется менее строгое определение стационарности. Процесс называется стационарным в узком смысле, если его двумерная плотность вероятности не зависит от выбора t1 и

зависит лишь от интервала τ=t2−t1 . Если процесс стационарен в

узком смысле, то он стационарен и в широком, обратное не всегда верно.

Одномерная плотность вероятности, одномерная интегральная функция распределения, одномерная характеристическая функция, а также одномерные моменты стационарного процесса не зависят от времени. Моменты одномерного распределения при этом становятся константами:

Спектральной плотностью мощности (дисперсии) стационарного

25

Спектральная плотность мощности может быть определена как результат усреднения по множеству реализаций квадрата модуля преобразования Фурье от случайного процесса:

плотность мощности будет иметь вид δ-функции:

Как правило, рассматриваются процессы, спектральная плотность мощности которых не содержит δ-функции при ω=0 , т. е. процессы без постоянной составляющей: mξ≡α1=0 .

В соответствии с теоремой Винера-Хинчина спектральная плотность мощности и корреляционная функция случайного процесса с нулевым математическим ожиданием ( mξ≡α1=0 ) связаны парой

преобразований Фурье:

26

Энергетической шириной спектра стационарного случайного процесса называется величина:

В ряде случаев стационарные процессы обладают эргодическим свойством, которое заключается в том, что усреднение по множеству реализаций можно заменить усреднением по времени для одной, достаточно длинной реализации длительностью T :

При решении задач, если не указано другое, случайные процессы следует считать стационарными и эргодическими.

Дополнительные сведения по теме раздела могут быть найдены в [1, 3–5].

Пример 4.1

Случайный процесс ξ(t ) представляет собой нормальный квазибелый шум и имеет спектральную плотность мощности:

G(ω)={G0 , |ω| ωm , 0, |ω|>ωm .

Найти дисперсию, математическое ожидание, плотность вероятности, размах, корреляционную функцию, интервал корреляции и энергетическую ширину спектра случайного процесса, если

случайного процесса.

Решение

Из определения спектральной плотности (4.1) мощности следует,

что

27

пояснение выше) mξ=0 .

По условию процесс имеет нормальное распределение. Запишем

Ξр≈6σξ≈0,339 В .

Корреляционную функцию процесса найдем в соответствии с теоремой Винера-Хинчина как обратное преобразование Фурье от спектральной плотности мощности (4.3.2):

Воспользуемся выражением (4.4) для определения интервала корреляции:

28

Последний несобственный интеграл является табличным (см., например, [6]).

Рис. 4. Плотность вероятности (слева) и корреляционная функция (справа) случайного процесса

Найдем энергетическую ширину спектра по формуле (4.5):

При построении временной диаграммы учтем, что случайный процесс имеет нулевое среднее значение и область значений примерно

[−0,169 ;0,169]В ( ±Ξ2р ). Так как плотность вероятности спадает к

краям плавно и имеет максимум в нуле, среднее число пересечений нулевого уровня будет максимально, а пересечения уровней ±0,169 В практически невозможны. Поскольку спектр ограничен частотой

ωm=104 радс , реализация не должна содержать видимых колебаний с

29

ΔωЭ=104 радс .

Рис. 5. Возможный вид реализации случайного процесса ξ(t)

Пример 4.2

В условиях примера 4.1 случайный процесс ξ(t ) на входе усилителя суммируется с процессом η(t ) , имеющим дисперсию

3 10−3 В2 и математическое ожидание 0,3 В . Найти математическое ожидание и дисперсию процесса на выходе усилителя, если его коэффициент усиления равен 50.

Решение

Обозначим процесс на входе усилителя ζвх (t ) , на выходе – ζвых (t ). По условию ζвх (t )=ξ(t )+η(t) , поэтому, используя свойства математического ожидания и дисперсии, найдем:

mζ , вх=mξ+mη=0,3В ;

Dζ , вх=Dξ +Dη=6,18 10−3 В2 .

Усиление процесса ζвх (t ) в 50 раз равносильно умножению его на 50, поэтому можно записать:

mζ , вых=50 mζ ,вх=15 В

Dζ , вых=502 Dζ , вх=15,45 В2 .

Ответ: mζ , вых=15 В , Dζ , вых=15,45 В2 .

Задачи

4.1. Случайный процесс представляет собой белый шум: G(ω)=G0 . Каковы дисперсия, энергетическая ширина спектра и

интервал корреляции?

30