Введение

Все реальные технологические процессы, экспериментальные исследования, измерения и другие процедуры происходят в меняющихся и не полностью контролируемых условиях, что приводит к определенным погрешностям. Значительная часть погрешностей носит случайный характер, поэтому возможно их определение при помощи статистических методов, основанных на теории вероятностей. Вероятностный подход возможен лишь для массовых явлений, в которых закономерности проявляются при многократных повторениях или при значительном числе исходных данных. Статистические закономерности проявляются в явлениях любой физической природы, что делает статистические (вероятностные) законы универсальными, проявляющимися в самых разнообразных сферах деятельности человека и в различных природных явлениях.

В обобщенном смысле все экспериментальные результаты называют данными. Для их практического использования недостаточно иметь некоторый массив – требуется обработка данных. Эта обработка должна дать сведения о средних величинах экспериментальных данных, о мере их разброса, о возможных погрешностях измерений и степени их надежности.

Помимо указанных простейших характеристик обработка данных позволяет получить более сложные и полные сведения об изучаемых явлениях и объектах, выявить неочевидные закономерности. Например, можно устанавливать и количественно измерять взаимосвязи между различными величинами и факторами, искать причинно-следственные связи в наблюдаемых процессах и т.д. Эти вопросы изучаются в курсе «Статистические методы обработки данных», содержащем две части: «Теория вероятностей» и «Математическая статистика».

В настоящем домашнем задании ставится цель овладения навыками выполнения простейших статистических процедур – получения оценок математического ожидания и дисперсии заданного массива данных. Кроме того, при выполнении задания необходимо построить гистограмму распределения вероятностей значений и при ее аппроксимации оценить статистическую надежность, характеризующую степень согласованности экспериментальных

3

данных и выбранной теоретической модели.

Для выполнения задания достаточно сведений из первой части курса, поэтому оно выполняется в течение пятой-десятой недель в соответствии с индивидуальным вариантом. В данном пособии приводятся основные теоретические сведения о получении оценок случайных величин по опытным данным и методические рекомендации по выполнению задания.

1. Исходные данные и содержание расчетного задания

соответствии с номером варианта. Массив чисел представляет собой выборку значений случайного процесса (напряжения).

Содержание задания

1.Определить размах вариации значений в полученном массиве.

Спомощью найденной величины размаха вариации по табл. 1 выбрать соответствующие варианту единицы измерения исходных данных, а

также значение доверительной вероятности Pd для определения границ доверительного интервала.

Таблица 1

Выбор размерности исходных данных и величины Pd

2.Найти оценки математического ожидания и дисперсии значений в полученном массиве.

3.Найти оценки дисперсии для полученных в п. 2 оценок математического ожидания и дисперсии. По заданной доверительной

вероятности Pd определить доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии.

4.Рассчитать и построить две оценки плотности вероятности заданного массива данных в виде гистограмм. Количество групп (интервалов) выбирать по правилу «корень из N» и по правилу

Стерджеса. Сравнить полученные гистограммы, сделать

4

соответствующие выводы.

5.Аппроксимировать полученное распределение подходящей функцией на основе полученных в п. 4 результатов и априорных сведений о возможных распределениях исходных данных (см. табл. 2). Параметры аппроксимирующей функции подобрать методом моментов.

6.Используя критерий Пирсона «хи-квадрат», проверить согласованность теоретического и эмпирического распределений. Для обеих гистограмм из п. 4 найти вероятность того, что гипотеза о согласии распределений верна.

7.Сделать выводы по результатам обработки.

2. Общие рекомендации по выполнению

Для выполнения работы рекомендуется воспользоваться одним из пакетов компьютерного моделирования (MathCAD, MATLAB, LabView, Octave или др.) или одной из интегрированных сред разработки программ на языках общего назначения (Python, C/C++, Pascal, Fortran или др.)

3. Требования и рекомендации по оформлению расчетно-пояснительной записки

Расчетно-пояснительная записка к индивидуальному заданию должна содержать:

–титульный лист;

–введение;

–исходные данные к расчетам;

–результаты расчетов, разбитые на разделы в соответствии со структурой задания;

–выводы по работе с обсуждением основных результатов, полученных при выполнении каждого пункта задания;

–список использованных литературных источников, ссылки на которые давались в тексте расчетно-пояснительной записки.

Ниже пояснены требования к каждому из перечисленных разделов работы.

5

Таблица 2 Априорные сведения о возможных распределениях данных

*Даны выражения для распределений, смещенных на a (в справочной литературе, как правило, полагают a = 0 и рассматривают только правосторонние показательное и Рэлеевское распределения).

6

Требования к оформлению титульного листа

Титульный лист расчетно-пояснительной записки должен содержать:

–министерскую принадлежность и полное название образовательного учреждения, полные названия института и кафедры;

–название работы и наименование учебного курса;

–номер варианта задания;

–фамилию и инициалы студента, группу;

–фамилию, инициалы и должность преподавателя, которому сдается работа.

Требования к оформлению разделов задания

В тексте расчетно-пояснительной записки должны быть выделены обособленные разделы:

–введение;

–исходные данные к расчетам;

–разделы, согласно пунктам задания;

–выводы по результатам проделанной работы,

–список использованной литературы.

Введение должно отражать общее понимание студентом круга задач, поставленных в расчетном задании; осознание места вопросов, затронутых в задании, в структуре курса СМОД; а также понимание вопросов науки и техники, решение которых приводит к задачам из основных пунктов задания. Раздел «Введение» не нумеруется.

Исходные данные к расчетам состоят из номера задания и массива выданных чисел. Массив чисел следует привести в наглядном и компактном представлении – в виде графика, на котором по оси абсцисс откладывать номера отсчетов (1, 2, …, N), а по оси ординат – значения соответствующих отсчетов (x1, x2, …, xN). Раздел с исходными данными – первый, который следует нумеровать: «1. Исходные данные к расчетному заданию».

Каждый раздел, соответствующий пункту задания, должен иметь заголовок с номером и начинаться с текста этого пункта задания. Далее следует привести краткое описание методики расчетов (т. е. пояснить, каким образом предполагается решать этот пункт

7

задания) и расчетные формулы в общем виде.

Следует указывать источники, из которых взяты основные расчетные формулы и константы. Источники указываются цифрами в квадратных скобках: «[5]». Цифра означает номер источника в списке литературы в конце работы.

После приведения основных расчетных формул следует привести полученные результаты, обязательно с указанием их размерностей. Численные результаты расчетов следует округлять до 3-4 значащих цифр (например: 1,29 мВ; 0,0231 В; 32100 (мВ)2; 7,24·103 мкВ), т. к. статистическая погрешность (обусловленная случайным характером данных) для большинства исследуемых

величин грубо может быть оценена как √aN , где a – результат

не прибавляют ответу точности, но существенно затрудняют прочтение и понимание приведенных численных результатов.

При необходимости полученные результаты следует сводить в таблицы (например, при использовании критерия Пирсона) или представлять в виде графиков (например, при построении гистограмм).

На координатных осях графиков следует в обязательном порядке указывать наименование и размерности величин, например: «x, мкВ».

После разделов, соответствующих пунктам задания, должен следовать пункт «Выводы». Этот пункт не нумеруется. В выводах необходимо кратко обсудить результаты, полученные по каждому пункту задания, а также сделать общие заключения по проделанной работе.

Далее должен следовать пункт «Список использованной литературы», в котором приводится пронумерованный список источников (учебники, монографии, статьи, Интернет-ресурсы), на которые делались ссылки в тексте. Заголовок раздела не нумеруется.

Расчетно-пояснительная записка может содержать раздел «Приложение» (его наличие не обязательно), в котором можно привести тексты программ, разработанных для решения расчетного задания, подробный вывод формул или иную информацию по

8