2. Расчеты по формуле полной вероятности и формуле Бейеса

определяется по формуле полной вероятности:

N

P ( A)=∑ P (Hi ) P(A|Hi ) .

i=1

В случае, если известно, что событие A наступило, можно найти условные вероятности гипотез (их называют апостериорными, т. е. «послеопытными») по формуле Бейеса (Байеса):

За дополнительной информацией следует обратиться, например, к [1,

2].

Пример 2.1

На рынке представлена модель процессоров с номинальной тактовой частотой F. При этом 60% процессоров произведены первым заводом, 30% – вторым и 10% – третьим. Вероятность устойчивой (т. е. без ошибок) работы на частоте 1,3F для процессоров, произведенных первым заводом, составляет 0,2; вторым – 0,4; третьим – 0,9. Какова вероятность, что купленный наугад процессор этой модели будет устойчиво работать на частоте 1,3F ?

Решение

Пусть событие A заключается в устойчивой работе купленного процессора на частоте 1,3F.

Введем обозначения гипотез: H1 – купленный процессор произведен заводом 1, H2 – заводом 2, H3 – заводом 3. Вероятности

7

приобретения процессоров, произведенных каждым из заводов, равны долям их продукции на рынке: P (H 1)=0,6 , P (H 2)=0,3 , P (H 3)=0,1.

Вероятности устойчивой работы на частоте 1,3F являются условными вероятностями: P ( A|H 1)=0,2 , P ( A|H 2 )=0,4 ,

P ( A|H 3)=0,9 .

Вероятность события A найдем по формуле полной вероятности:

N

P ( A)=∑ P (Hi ) P(A|Hi )=0,6 0,2+0,3 0,4+0,1 0,9=0,33.

i=1

Ответ: вероятность того, что купленный наугад процессор будет устойчиво работать на частоте 1,3F, составляет 0,33.

Пример 2.2

При условиях примера 2.1 известно, что купленный процессор устойчиво работает на тактовой частоте 1,3F. Найти вероятность того, что этот процессор произведен заводом 3.

Решение

В обозначениях из примера 2.1 требуется найти апостериорную вероятность P (H 3|A) . Найдем ее по формуле Байеса:

Задачи

2.1.Для загрузки файла сайт перенаправляет пользователя на один из трех серверов (случайным образом). Вероятность загрузки файла менее, чем за 1 минуту с сервера 1 составляет 0,3; с сервера 2 – 0,1; с сервера 3 – 0,4. Найти вероятность загрузки файла менее, чем за 1 минуту.

2.2.В первой урне лежат 4 черных и 5 белых шаров, во второй – 3 черных и 2 белых. Из первой урны извлекают не глядя один шар и

8

кладут во вторую урну. Какова вероятность, что извлеченный после этого из второй урны шар будет белым?

2.3.На сборочный конвейер поступают детали с двух автоматов. Первый производит в среднем 0,1% бракованных деталей, второй – 0,2%. На конвейер поступило 2000 деталей от первого автомата и 1500 от второго. Найти вероятность поступления на конвейер бракованной детали.

2.4.Вероятность аппаратного сбоя в работе компьютера и вероятность программного сбоя относятся как 1:3. Вероятность выявления аппаратного сбоя 0,99; программного – 0,9. Найти вероятность того, что при работе компьютера будет обнаружен сбой. Определить область значений вероятностей аппаратного и программного сбоя.

2.5.В локальной вычислительной сети работают 3 сервера, вероятности поломки которых 0,01; 0,03 и 0,02 соответственно. Известно, что вышел из строя один сервер, найти вероятность того, что это первый.

2.6.Напряжение в сети питания бывает повышенным в среднем 3 часа в сутки. Вероятность отказа прибора при повышенном напряжении в сети 0,2; при нормальном – 0,05. Прибор вышел из строя. Найти вероятность того, что причина этого в повышенном напряжении питания.

2.7.Среди 25 студентов одной группы трое готовились к экзамену 3 дня, 16 человек – 2 дня, 4 человека – 1 день, остальные не готовились. Вероятность получить положительную оценку (от «удовлетворительно» до «отлично») для тех, кто готовился 3 дня, 0,95; 2 дня – 0,85; 1 день – 0,65; для не готовившихся – 0,1.

А.Каков ожидаемый процент оценок «неудовлетворительно» на экзамене?

Б. Студент получил положительную оценку на экзамене. Сколько дней он, вероятнее всего, готовился?

2.8. Вероятность попадания первого стрелка в мишень при одном выстреле равна 0,6. Вероятность попадания второго – 0,9. Первый произвел 5 выстрелов, второй – 2 выстрела (по той же мишени). Было отмечено два попадания в мишень. Найти вероятность того, что: а) оба раза попал первый, б) оба раза попал второй, в) каждый попал по

9

одному разу.

3. Характеристики случайных величин

Необходимые теоретические сведения

Случайной величиной X называется величина, принимающая некоторое, заранее неизвестное значение в результате испытания.

К дискретным относятся случайные величины, которые могут принимать значения из дискретного (счетного или несчетного) множества. Значения, принимаемые дискретной случайной величиной, обозначаются той же буквой, что и сама величина, но строчной и с нижним индексом: x1 , x5 , xi .

Непрерывные случайные величины имеют непрерывное (ограниченное или неограниченное) множество значений. Значения, принимаемые непрерывной случайной величиной, обозначаются той же буквой, что и сама величина, но строчной: x .

Различают числовые и функциональные характеристики случайных величин.

К функциональным характеристикам дискретных случайных величин относятся ряд распределения и интегральная функция распределения.

Ряд распределения p ( xi) дискретной случайной величины X – это зависимость вероятности того, что X примет значение xi , от xi :

p( xi)=P { X =xi } .

Интегральная функция распределения F ( xi ) – это зависимость вероятности того, что X примет значение меньше xi , от xi :

F ( xi )=P {X <xi } .

Интегральная функция может быть получена из ряда распределения:

k =1

Из интегральной функции можно получить ряд распределения:

p( xi)=F ( xi +1)−F ( xi ) .

Ряд и интегральная функция распределения могут быть записаны в

10

виде аналитических выражений, таблиц или графиков. График ряда распределения называется многоугольником распределения.

К функциональным характеристикам непрерывных случайных величин относятся интегральная функция распределения, плотность вероятности (дифференциальная функция распределения) и характеристическая функция.

Плотностью вероятности f (x) называется предел отношения вероятности попадания значения непрерывной случайной величины X

в интервал [x− 2x , x+ 2x ] к ширине интервала x , при последней, стремящейся к нулю:

Определение интегральной функции распределения непрерывной случайной величины не отличается от случая дискретной величины:

F ( x)=P {X <x} .

Связь плотности вероятности и интегральной функции

где t – подынтегральная переменная.

Плотность вероятности и интегральная функция распределения непрерывной случайной величины могут быть представлены в виде аналитических выражений и графически.

Вероятность попадания значений непрерывной случайной величины в интервал [ x1, x2 ] может быть найдена следующим образом:

11

вероятности:

−∞

где j – мнимая единица.

Характеристическая функция используется как вспомогательная во многих задачах анализа случайных величин и случайных процессов (см. далее). При сложении двух случайных величин их характеристические функции перемножаются: X +Y E x ( ju) E y ( ju) .

Возможен расчет характеристической функции и дискретной случайной величины [1].

К числовым характеристикам случайных величин относятся моменты, среднеквадратическое значение, среднеквадратическое отклонение, коэффициент асимметрии, коэффициент эксцесса, мода, медиана. В табл. 1 приведены выражения для нахождения моментов.

Таблица 1

Моменты случайных величин

Первый начальный момент называется математическим ожиданием, обозначается mx или M [ X ] . Математическое ожидание

имеет смысл среднего значения случайной величины. Свойства математического ожидания:

1) если С – константа, то M [C ]=C ;

2) M [CX ]=CM [ X ] (математическое ожидание произведения случайной величины на константу);

3) M [ X +Y ]=M [X ]+M [Y ] (математическое ожидание суммы случайных величин);

12

величина.

Центральные моменты могут быть выражены через начальные:

k

μk =∑Cik (−1)i αi αk i , (3.5)

1 −

В ряде случаев вычисления по формулам из табл. 1 оказываются весьма сложными, тогда для расчетов используют характеристическую функцию:

Второй начальный момент называют средним квадратом. Корень из среднего квадрата называют среднеквадратическим значением. Средний квадрат и среднеквадратическое значение являются мерами разброса значений случайной величины относительно нуля.

Второй центральный момент называют дисперсией, обозначается Dx или D[ X ] . Корень из дисперсии называют среднеквадратическим

среднеквадратическое отклонение являются мерами разброса значений случайной величины относительно математического ожидания.

Свойства дисперсии:

1)D[C ]=0 ;

2)D[CX ]=C 2 D[ X ] ;

3)D[ X +Y ]=D[ X ]+ D[Y ] (если случайные X и Y величины независимы).

является мерой симметричности многоугольника распределения или

13

графика плотности вероятности относительно математического ожидания. Если K А=0 , то распределение симметрично относительно

mx .

Для нормального распределения справедливо «правило 3-х сигма»: вероятность того, что случайная величина X, имеющая нормальное распределение, примет значение из интервала [mx −3σx ; mx +3σx ] ,

составляет 0,997, т. е. это практически достоверное событие.

Модой MO называется наиболее вероятное значение случайной

Использованные в настоящем разделе обозначения в основном соответствуют принятым в [1, 2].

Пример 3.1

Найти ряд распределения, интегральную функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию числа очков, выпадающих при бросании двух игральных костей.

Решение

Обозначим случайную величину (число выпавших очков) X. Поскольку на каждой из костей при броске выпадает от 1 до 6 очков, X принимает целые значения от 2 до 12, т. е. X – дискретная случайная величина. Всего принимаемых значений 11, значит индекс i может принимать значения 1, 2, …, 11.

Вероятности p( xi) можно найти непосредственным подсчетом.

14

Всего могут наступить 36 исходов: могут выпасть 1 и 1, 1 и 2, 2 и 1, 1 и 3 и т. д. очков. 2 очка могут выпасть только при одном исходе (1 и 1),

значит, вероятность p (2)=361 . Аналогично p(3)=363 и т. д. Табл. 2

представляет ряд распределения.

Интегральную функцию распределения определим из найденного

Таблица 2

Ряд распределения случайной величины X ( pi= p( xi) )

Таблица 3 Интегральная функция распределения случайной величины X

Графики p ( xi) и F ( xi ) показаны на рис. 1.

Рис. 1. Ряд распределения (а) и интегральная функция распределения (б) числа очков при бросании двух игральных костей

Найдем математическое ожидание случайной величины X:

15

Найдем дисперсию и среднеквадратическое отклонение:

σx =√Dx≈2,42 .

Ответ: p(xi) и F (xi ) приведены выше в виде таблиц и графиков, mx=7 , Dx≈5,83 , σx ≈2,42 .

Пример 3.2

Случайная величина (напряжение) имеет показательное распределение:

{0, x<0,

f (x)= λe−λ x мВ1 , x 0.

Найти интегральную функцию распределения, вероятность попадания значений случайной величины в интервал [0,5 ; 1] мВ; математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение, коэффициент асимметрии и коэффициент эксцесса, если

λ=3 мВ1 .

Решение 1

Найдем F ( x) по формуле (3.2):

16

F ( x)={0, x<0,x

1−e−3 , x 0.

Графики плотности вероятности и интегральной функции распределения случайной величины X приведены на рис. 2.

Рис. 2. Плотность вероятности (а) и интегральная функция распределения (б) случайной величины X

Вероятность попадания значений случайной величины в интервал [0,5 ; 1] мВ найдем с помощью найденной F ( x) по формуле (3.3):

P {0,5< X <1}=F (1)−F (0,5)=(1−e−3 1)−(1−e−3 0,5 )≈0,173 . Найдем математическое ожидание по формуле из табл. 1:

=−λx e−λx − λ12 e−λ x=−e−λx (λx + λ12 ).

mx=−e−λx (x+ λ1 )|+∞0 =−e−∞(∞+ 1λ)+e0 (0+ λ1 )=λ1 =13 мВ .

В последнем выражении учтено, что lim x e−x =0 .

x ∞

Найдем дисперсию случайной величины X:

17

t2 2 t 2 +∞ ( 1 2 2 ) 1 1

Dx =−λ e−1 e−λ t (λ + λ2 + λ3 )|−λ1 =−λ e−1 e1 λ3− λ3 + λ3 =λ2 = 9 (мВ)2 . В последнем выражении учтено, что lim x e−x =0 , lim x2 e−x=0 .

Аналогичным образом найдем третий и четвертый центральный моменты для определения коэффициентов асимметрии и эксцесса:

Найдем среднеквадратическое отклонение и коэффициенты асимметрии и эксцесса:

σx =√Dx= 13 мВ;

KА=σμ33 =λ23 λ3=2 ;

x

KЭ= μσ44 −3= λ94 λ4−3=6 .

x

Решение 2

18

Для того, чтобы обойтись без многократного интегрирования при расчете моментов, можно найти начальные моменты по формуле (3.6), а затем найти центральные моменты, используя формулу (3.5). Найдем характеристическую функцию по формуле (3.4):

E ( ju)=∫ f ( x)e jux dx=∫λ e−λ x e jux dx=λ∫ex ( ju−λ) dx=

При расчетах учтено следующее:

lim ex ( ju−λ)=lim e−λ x e jux=lim e−λ x cos ux+ j lim e−λ x sin ux=0+ j 0 .

Найдем математическое ожидание (первый начальный момент) как значение первой производной характеристической функции при u = 0:

Найдем второй начальный и второй центральный моменты:

2

Dx≡μ2=α2−α21= λ22 −(1λ ) = λ12 =19 ( мВ)2 .

Аналогично по 3-й и 4-й производным характеристической функции можно найти третий и четвертый начальные моменты. Формула (3.5) для нахождения третьего и четвертого центральных моментов примет вид:

μ3=α3−3α1 α2+2α31 ;

μ4=α4−4α1 α3+6α12 α3−3α41 .

19

Задачи

3.1.Вероятность работы каждого из четырех комбайнов без поломок в течение определенного периода времени равна 0,9. Построить многоугольник распределения случайной величины X – числа комбайнов, работавших безотказно. Найти mx , Dx , σx .

3.2.Вероятность успешной сдачи экзамена первым студентом составляет 0,5; вторым – 0,8. В случае неудовлетворительной оценки каждый из них имеет возможность одной пересдачи во время сессии. Построить многоугольник распределения случайной величины X – числа студентов, сдавших экзамен по окончании сессии. Найти математическое ожидание и моду.

3.3.Математическое ожидание случайной величины X равно 5, математическое ожидание величины Y равно 2. Дисперсии этих величин равны 1 и 4 соответственно. Случайные величины независимы. Найти математические ожидания и дисперсии случайных величин: а) X + Y, б) 2(X – Y), в) 2(X + 3Y).

3.4.Водитель заводит двигатель автомобиля. Вероятность того, что двигатель заведется, равна 0,6 для каждой попытки. Длительность одной попытки tп=5 с. Найти ряд распределения случайной величины

T – времени, которое потребуется, чтобы завести двигатель. Найти наивероятнейшее число попыток.

3.5. Производятся выстрелы по мишени. Случайная величина R – расстояние от центра мишени до точки попадания, распределена по

{0, r<0,

закону Рэлея: f (r)= r − r2 2 1

σ2 e 2σ см ,r 0.

Найти среднее и наиболее вероятное расстояние от центра до точки попадания, если σ=3 .

3.6. Случайная величина имеет равномерное распределение с математическим ожиданием 10 В и дисперсией 25 В2 . Какова вероятность того, что напряжение будет больше 12 В ? В каких границах будут находиться все значения напряжения?

3.7. Случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами m = 3 B, σ = 2 B? В каких пределах будут лежать 99,7% значений случайной величины?

20